S1 Høst 2015

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Tre likninger med logaritme og potens	—
2	Forenkling av potens- og kvadratuttrykk	—
3	Likningssystem med andregradsledd	—
4	Andregradsulikhet med faktorer	—
5	Vekstfart og monotoni for tredjegradsfunksjon	—
6	Skisse av rasjonal funksjon med asymptoter	—
7	Pascals talltrekant og brusflasker	—
8	Lineær optimering av poteter og gulrøtter	—
9	Eksponentiallikning med substitusjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Hypergeometrisk trekking til muntlig eksamen	—
2	BMI-formel med likningssystem	—
3	Regresjon for månedslønnsutvikling	—
4	Rektangel under fallende graf med CAS	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Tre likninger med logaritme og potens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene nedenfor

2x^2 - 3x = 0

2^{3x+1} = 4^{17}

\lg(2x + 2) = 3 + \lg 2

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Andregradslikning, Eksponentiallikning, Logaritmelikning

Oppgave 1-2 : Forenkling av potens- og kvadratuttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv uttrykkene så enkelt som mulig

\dfrac{8a^3(a^{-1}b)^2}{(2ab)^2}

(x+y)(x-y) + (y+x)(y-x) - (x+y)(x-y)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Potensregler, Algebra, Kvadratsetningene

Oppgave 1-3 : Likningssystem med andregradsledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningssystemet

\begin{cases} 2x^2 + x + y = 7 \\ 3x + y = -5 \end{cases}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Andregradslikning

Oppgave 1-4 : Andregradsulikhet med faktorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten

-3(x-2)(x+1) < 0

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Ulikhet, Fortegnslinje

Oppgave 1-5 : Vekstfart og monotoni for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - x^2 - x + 3

Bestem funksjonens gjennomsnittlige vekstfart i intervallet $[0, 2]$ .

Bestem $f'(x)$ og bruk denne til å avgjøre om grafen til $f$ stiger eller synker for $x = 0$ .

Bestem $x$ -verdien til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Vekstfart, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-6 : Skisse av rasjonal funksjon med asymptoter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \qquad , \qquad x \neq -1

Bestem grafens skjæringspunkter med koordinataksene.

Lag en skisse av grafen til $g$ med eventuelle asymptoter i et koordinatsystem.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonal funksjon, Asymptoter, Skjæringspunkt

Oppgave 1-7 : Pascals talltrekant og brusflasker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv ned de 6 første radene i Pascals talltrekant.

I kjøleskapet står det fem flasker brus: sitronbrus, appelsinbrus, pærebrus, champagnebrus og cola. Erik skal hente tre av flaskene.

Hvor mange mulige kombinasjoner av flasker kan han velge?

Erik tar tilfeldig tre flasker.

Bestem sannsynligheten for at colaflasken er én av de tre.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Pascals talltrekant

Oppgave 1-8 : Lineær optimering av poteter og gulrøtter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde eier et område som er 15 dekar stort. Han vil dyrke poteter og gulrøtter.

Det tar 5 timer å klargjøre 1 dekar for gulrotdyrking og 2,5 timer å klargjøre 1 dekar for potetdyrking. Han kan maksimalt bruke 50 timer på å klargjøre området.

Bonden lurer på hvor stor del av arealet han bør bruke til gulrøtter, og hvor stor del han bør bruke til poteter, for at inntekten skal bli størst mulig.

Vi tenker oss at han bruker $x$ dekar til gulrotdyrking og $y$ dekar til potetdyrking.

Forklar at situasjonen ovenfor gir oss følgende ulikheter

\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ x + y &\leq 15 \\ 2x + y &\leq 20 \end{aligned}

Skraver i et koordinatsystem området som er begrenset av ulikhetene.

Bonden regner med at inntekten fra avlingen er 12 000 kroner for hvert dekar han bruker til gulrøtter, og 8000 kroner for hvert dekar han bruker til poteter.

Hvor stor del av arealet må han bruke til gulrøtter, og hvor stor del må han bruke til poteter, for at den samlede inntekten skal bli størst mulig? Hvor stor blir inntekten da?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentiallikning, Substitusjon, Andregradslikning

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Hypergeometrisk trekking til muntlig eksamen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en S1-gruppe er det 10 gutter og 15 jenter. Geir er elev i gruppen. Seks av elevene skal trekkes ut til muntlig eksamen i faget. Vi går ut fra at det skjer ved loddtrekning.

Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter.

Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter.

Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter, der Geir er én av guttene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Komplementhendelse

Oppgave 2-2 : BMI-formel med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kroppsmasseindeksen $BMI$ er en internasjonal standard som brukes for å si noe om vekt i forhold til høyde hos voksne mennesker. Formelen som brukes, er

BMI = \frac{m}{h^2}

Her er $m$ vekten i kilogram, mens $h$ er høyden i meter.

Bestem $BMI$ for en person som veier $78\mathrm{~kg}$ og er $177\mathrm{~cm}$ høy.

Bestem høyden til en person som veier $85\mathrm{~kg}$ og har $BMI$ lik $28$ .

Svein er 4 kg tyngre og 4 cm høyere enn Terje. Begge har $BMI$ lik $28$ .

Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme høyde og vekt for Svein og Terje.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Formelregning, Likningssystem, CAS

Oppgave 2-3 : Regresjon for månedslønnsutvikling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for heltidsansatte norske arbeidstakere i noen år i tidsrommet 1998–2008.

Årstall	1998	2000	2002	2004	2006	2008
Gjennomsnittlig månedslønn	21 600	23 600	26 350	28 250	30 550	34 250

Bruk regresjon til å finne en eksponentialfunksjon som beskriver månedslønnen som funksjon av antall år etter 1998. Hva er den årlige prosentvise lønnsveksten ifølge denne modellen?

Hva blir gjennomsnittlig månedslønnen i 2015 ifølge denne modellen?

Prisene på varer og tjenester har økt med ca. 2,5 % per år de siste tiårene.

Lag en modell for den gjennomsnittlige månedslønnen $x$ år etter 1998 dersom lønnen følger prisutviklingen.

I hvilket år ville modellen i oppgave a) ha gitt en gjennomsnittlig månedslønn som er 10 000 kroner høyere enn den gjennomsnittlige månedslønnen i modellen i oppgave c)?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering

Oppgave 2-4 : Rektangel under fallende graf med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{5}{x^2 + 2} \qquad , \qquad x > 0

Rektangel OABC under grafen til f med B på grafen

Rektangelet $OABC$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$ .

Vis at arealet $F$ til rektangelet kan skrives som

F(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}

Bruk graftegner til å bestemme $x$ slik at rektangelet får areal lik $1{,}0$ .

Bruk CAS til å bestemme eksakt $x$ -verdi når rektangelet har størst mulig areal. Bestem det største arealet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Areal, CAS

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Tre likninger med logaritme og potens

Oppgave 1-2 : Forenkling av potens- og kvadratuttrykk

Oppgave 1-3 : Likningssystem med andregradsledd

Oppgave 1-4 : Andregradsulikhet med faktorer

Oppgave 1-5 : Vekstfart og monotoni for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-6 : Skisse av rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave 1-7 : Pascals talltrekant og brusflasker

Oppgave 1-8 : Lineær optimering av poteter og gulrøtter

Oppgave 1-9 : Eksponentiallikning med substitusjon

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Hypergeometrisk trekking til muntlig eksamen

Oppgave 2-2 : BMI-formel med likningssystem

Oppgave 2-3 : Regresjon for månedslønnsutvikling

Oppgave 2-4 : Rektangel under fallende graf med CAS

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave