S1 Høst 2015

Vi faktoriserer ut $x$ fra venstre side:

Et produkt er null når minst én faktor er null:

Vi skriver $4$ som en potens av $2$, slik at begge sider får samme grunntall:

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

Vi samler logaritmene på én side. Regelen $\lg a-\lg b=\lg {\displaystyle \frac{a}{b}}$ gir:

Vi bruker definisjonen av logaritme ($\lg a=3\iff a={10}^3$):

Vi sjekker at svaret ligger innenfor definisjonsområdet ($2x+2>0\Rightarrow x>-1$), noe $x=999$ gjør.

Vi bruker potensreglene ${(ab)}^n=a^n{b}^n$ og $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ i telleren og nevneren hver for seg.

Telleren:

Nevneren:

Setter vi dette sammen og forkorter, får vi:

Vi bruker konjugatsetningen $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ på hvert av leddene:

Uttrykket blir dermed:

Ledd 1 og ledd 2 kansellerer hverandre ($x^2-y^2+y^2-x^2=0$), og vi står igjen med det siste leddet med motsatt fortegn:

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,2]$ er

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Dette gir

Vi deriverer $f(x)=x^3-x^2-x+3$ ledd for ledd:

Vi setter inn $x=0$:

Siden $f^{\prime }(0)=-1<0$, betyr det at grafen til $f$ synker for $x=0$.

Eventuelle topp- og bunnpunkt finner vi der $f^{\prime }(x)=0$:

Vi bruker abc-formelen med $a=3$, $b=-2$ og $c=-1$:

Dette gir $x=1$ eller $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

For å avgjøre hva slags punkt hvert av dem er, undersøker vi fortegnet til $f^{\prime }(x)$ omkring nullpunktene, for eksempel ved å sette inn testverdier:

• $f^{\prime }(-1)=3-(-2)-1=4>0$ (stigende for $x<-\frac{1}{3}$)
• $f^{\prime }(0)=-1<0$ (synkende mellom $-\frac{1}{3}$ og $1$)
• $f^{\prime }(2)=12-4-1=7>0$ (stigende for $x>1$)

Grafen går fra stigende til synkende ved $x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, så dette er et toppunkt. Grafen går fra synkende til stigende ved $x=1$, så dette er et bunnpunkt.

Skjæringspunktet med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $\underline{\underline{(0,-3)}}$.

Skjæringspunktet med $x$-aksen finner vi ved å sette $g(x)=0$. En brøk er null når telleren er null:

Grafen skjærer $x$-aksen i $\underline{\underline{(\frac{3}{2},0)}}$.

Vertikal asymptote: Funksjonen er ikke definert der nevneren er null, altså $x=-1$. Dette gir en vertikal asymptote:

Horisontal asymptote: Vi utfører polynomdivisjon for å skrive om $g(x)$:

Når $x\to \pm \infty$, går brøkleddet ${\displaystyle \frac{5}{x+1}}\to 0$, slik at $g(x)\to 2$. Dette gir en horisontal asymptote:

Grafen har altså en gren i hvert av de fire feltene som asymptotene deler planet i, og passerer gjennom punktene $(0,-3)$ og $(\frac{3}{2},0)$ funnet i a):

De 6 første radene i Pascals talltrekant er

Erik skal velge 3 av 5 flasker, og rekkefølgen har ingenting å si. Dette er en kombinasjon, og antall muligheter er

Det er $\underline{\underline{10}}$ mulige kombinasjoner av flasker.

Vi bruker den klassiske sannsynlighetsmodellen: gunstige utfall delt på mulige utfall.

Antall mulige utvalg av 3 flasker er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)=10$, som funnet i b).

Antall gunstige utfall (colaflasken er med, og de to andre velges blant de resterende 4 flaskene) er

Sannsynligheten for at colaflasken er én av de tre valgte blir dermed

Bonden bruker $x$ dekar til gulrøtter og $y$ dekar til poteter. Siden det ikke gir mening å dyrke et negativt areal, må vi ha

Det totale arealet han eier er 15 dekar, og han kan ikke bruke mer enn dette til sammen:

Det tar 5 timer å klargjøre 1 dekar med gulrøtter, så $x$ dekar gulrøtter tar $5x$ timer. Det tar 2,5 timer å klargjøre 1 dekar med poteter, så $y$ dekar poteter tar $\mathrm{2,5}y$ timer. Til sammen har han maksimalt 50 timer tilgjengelig:

Deler vi denne ulikheten på 2,5 på begge sider, får vi

Dermed har vi vist at situasjonen gir ulikhetene $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 15$ og $2x+y\le 20$.

Vi finner hjørnene i området ved å sette grenselinjene til likhet parvis:

• $x=0$ og $y=0$: gir punktet $A=(0,0)$.
• $y=0$ og $2x+y=20$: gir $x=10$. Punkt $B=(10,0)$.
• $x+y=15$ og $2x+y=20$: trekker vi den første fra den andre, får vi $x=5$, og da $y=10$. Punkt $C=(5,10)$.
• $x=0$ og $x+y=15$: gir $y=15$. Punkt $D=(0,15)$.

Området er firkanten med hjørner $A(0,0)$, $B(10,0)$, $C(5,10)$ og $D(0,15)$.

Inntekten er $12000$ kr per dekar gulrøtter og $8000$ kr per dekar poteter, altså

Siden $I$ er en lineær funksjon, må den største verdien over området finnes i et av hjørnene. Vi setter inn hjørnene fra b):

Den største inntekten får vi i punktet $C(5,10)$, altså når bonden bruker $5$ dekar til gulrøtter og $10$ dekar til poteter. Dette illustreres på figuren ved at den røde stiplede linja $12000x+8000y=140000$ akkurat tangerer området i punktet $C$.

Svar: Bonden bør bruke $\underline{\underline{5\mathrm{dekar}}}$ til gulrøtter og $\underline{\underline{10\mathrm{dekar}}}$ til poteter. Da blir den samlede inntekten $\underline{\underline{140000\mathrm{kr}}}$.

Vi skal finne sannsynligheten for at nøyaktig $3$ av de $10$ guttene og $3$ av de $15$ jentene blir trukket ut. Antall gunstige utfall er antall måter å velge $3$ gutter av $10$, multiplisert med antall måter å velge $3$ jenter av $15$:

Beregning i GeoGebra CAS (se P_a i utklippet):

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,3083}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter. Komplementhendelsen er at alle $6$ som trekkes ut har samme kjønn, altså enten $6$ gutter eller $6$ jenter (ikke begge, siden disse hendelsene er disjunkte):

Beregning i GeoGebra CAS (se P_b i utklippet over):

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,9706}}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at det blir trukket ut $3$ gutter og $3$ jenter, der Geir er én av de $3$ guttene. Vi tenker på det som at Geir allerede er valgt ut, og at vi må velge de resterende $2$ guttene blant de $9$ andre guttene, samt alle $3$ jentene blant de $15$ jentene:

Beregning i GeoGebra CAS (se P_c i utklippet over):

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,0925}}}$

Vi setter $m=78$ og $h=177\mathrm{cm}=\mathrm{1,77}\mathrm{m}$ inn i formelen:

BMI for personen er $\underline{\underline{BMI\approx \mathrm{24,9}}}$.

Vi setter $m=85$ og $BMI=28$ inn i formelen, og løser for $h$:

Personen er omtrent $\underline{\underline{h\approx \mathrm{1,74}\mathrm{m}}}$ høy.

La $h_T$ og $m_T$ være henholdsvis høyden (i meter) og vekten (i kg) til Terje. Siden Svein er $4\mathrm{kg}$ tyngre og $4\mathrm{cm}=\mathrm{0,04}\mathrm{m}$ høyere enn Terje, er Sveins høyde $h_T+\mathrm{0,04}$ og vekt $m_T+4$.

Begge har $BMI=28$, som gir likningssystemet

Vi løser systemet med CAS i GeoGebra:

CAS gir løsningen $h_T\approx \mathrm{1,76571}$ og $m_T\approx \mathrm{87,29691}$. Dermed er:

• Terje: høyde $\approx \mathrm{1,77}\mathrm{m}$, vekt $\approx \mathrm{87,3}\mathrm{kg}$
• Svein: høyde $\approx \mathrm{1,77}+\mathrm{0,04}=\mathrm{1,81}\mathrm{m}$, vekt $\approx \mathrm{87,3}+4=\mathrm{91,3}\mathrm{kg}$

Terje er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,77}\mathrm{m}}}$ høy og veier omtrent $\underline{\underline{\mathrm{87,3}\mathrm{kg}}}$, mens Svein er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,81}\mathrm{m}}}$ høy og veier omtrent $\underline{\underline{\mathrm{91,3}\mathrm{kg}}}$.

Vi lar $x$ være antall år etter 1998, slik at tabellen gir punktene

Punktene ligger tilnærmet på en eksponentiell kurve, så vi bruker eksponentiell regresjon på grafisk kalkulator/GeoGebra. Dette gir modellen

se f i utklippet under (avrundet til $f(x)\approx 21650\cdot {\mathrm{1,046}}^x$). Vekstfaktoren er $\mathrm{1,046012}$, som tilsvarer en årlig vekst på

Ifølge modellen har den gjennomsnittlige månedslønnen altså økt med omtrent $\mathrm{4,6}\%$ per år i perioden.

For å finne lønnen i 2015 setter vi $x=2015-1998=17$ inn i $f$:

Punktet $P=(17,f(17))$ er markert grønt i utklippet. Ifølge modellen blir gjennomsnittlig månedslønn i 2015 omtrent $\underline{\underline{46500\mathrm{kr}}}$.

Dersom lønnen i stedet følger prisveksten på $\mathrm{2,5}\%$ per år, med samme startlønn som i 1998 ($21600\mathrm{kr}$ ved $x=0$), blir vekstfaktoren $\mathrm{1,025}$. Modellen blir

vist i grønt (g) i utklippet.

Vi skal finne $x$ slik at $f(x)-g(x)=10000$. Dette løses grafisk ved å se på skjæringen mellom differansen $f(x)-g(x)$ og linjen $y=10000$, se markeringen Q i utklippet, som gir

Siden $x=0$ svarer til 1998, svarer $x\approx \mathrm{13,9}$ til $1998+\mathrm{13,9}=\mathrm{2011,9}$, altså mot slutten av 2011/i løpet av 2012. Vi svarer derfor at modellen i a) gir en lønn som er $10000\mathrm{kr}$ høyere enn modellen i c) $\underline{\underline{\text{i }2012}}$ ($x\approx \mathrm{13,9}$).

Rektangelet $OABC$ har hjørnet $O$ i origo, $A$ på $x$-aksen, $B$ på grafen til $f$ og $C$ på $y$-aksen. Da er

• bredden til rektangelet lik $x$-koordinaten til $B$, altså $x$,
• høyden til rektangelet lik $y$-koordinaten til $B$, altså $f(x)$.

Arealet av et rektangel er bredde ganger høyde, så

som skulle vises.

Vi tegner grafen til $F(x)={\displaystyle \frac{5x}{x^2+2}}$ sammen med den vannrette linja $y=1$, og leser av skjæringspunktene.

Grafen viser at $F(x)=1$ for

(eksakt: $x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{17}}{2}}$).

Vi bruker CAS til å derivere $F$, løse $F^{\prime }(x)=0$ og regne ut det tilhørende arealet.

Av utklippet ser vi at

og at $F^{\prime }(x)=0$ gir $x=-\sqrt{2}$ eller $x=\sqrt{2}$. Siden $x>0$, forkaster vi den negative løsningen og står igjen med

Rektangelet har da størst mulig areal, og CAS gir

Det største arealet rektangelet kan ha er altså om lag $\mathrm{1,77}$.