S1 Høst 2025

Oppgave 1-1Derivasjon og tolkning av stigningstall

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \sqrt{x} + 2

Funksjon $g$ gitt ved

g (x) = \frac{2 x - 3}{e^{x}}

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in ℝ$ .

Bestem $g^{'} (2)$ og $g^{'} (3)$ .

Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$ ?

Fasit

$f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}}$ , $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}}$

Grafen til $g$ har et toppunkt i intervallet $⟨ 2, 3 ⟩$

Løsningsforslag

Vi bruker potensregler og derivasjonsregler:

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{1 / 2} + 2

f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x^{- 1 / 2} = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}

$f^{'} (x) = x^{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Vi bruker kvotientregelen på $g (x) = \frac{2 x - 3}{e^{x}}$ :

g^{'} (x) = \frac{2 \cdot e^{x} - (2 x - 3) \cdot e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = \frac{e^{x} (2 - 2 x + 3)}{e^{2 x}} = \frac{5 - 2 x}{e^{x}}

Dermed:

\begin{matrix} g^{'} (2) & = \frac{5 - 2 \cdot 2}{e^{2}} = \frac{1}{e^{2}} \\ g^{'} (3) & = \frac{5 - 2 \cdot 3}{e^{3}} = - \frac{1}{e^{3}} \end{matrix}

$g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}}$ og $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}}$

Siden $g^{'} (2) = \frac{1}{e^{2}} > 0$ , er grafen til $g$ stigende i $x = 2$ .

Siden $g^{'} (3) = - \frac{1}{e^{3}} < 0$ , er grafen til $g$ synkende i $x = 3$ .

Fordi $g^{'}$ er kontinuerlig og skifter fortegn fra positivt til negativt i intervallet $⟨ 2, 3 ⟩$ , har $g$ et toppunkt et sted i dette intervallet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må derivere to av leddene riktig for å få 1 poeng.

1 poeng for å derivere uttrykket og 1 poeng for å regne ut verdiene av de deriverte.

Kandidaten må kommentere fortegnet til deriverte for å få uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Logaritmiske likninger og logbaser

Løs likningen

{(\lg x)}^{2} - 2 \lg x = 8

Bestem $a$ slik at

\log_{a} \frac{1}{64} = - 3

Fasit

$x = 10 000$ og $x = 0,01$

$a = 4$

Løsningsforslag

Vi setter $u = \lg x$ og skriver om likningen:

\begin{matrix} u^{2} - 2 u - 8 & = 0 \\ (u - 4) (u + 2) & = 0 \\ u = 4 & eller u = - 2 \end{matrix}

Tilbake til $x$ :

\lg x = 4 ⟹ x = 10^{4} = 10 000

\lg x = - 2 ⟹ x = 10^{- 2} = 0,01

Vi bruker definisjonen av logaritme:

\log_{a} \frac{1}{64} = - 3 ⟹ a^{- 3} = \frac{1}{64} ⟹ a^{3} = 64 ⟹ a = \sqrt[3]{64}

$a = 4$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng for å finne verdiene til $\lg x$ og 1 poeng for å finne verdiene til $x$ . Kandidatene må finne begge løsningene for å få full uttelling.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Logaritmer, Likninger
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Grenseverdier og eksistens

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4 x + 2}{x^{2} - 2 x - 8}

Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} + a x + 2}{x^{2} - 2 x - 8}

Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$ .

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke

$a = 3$ , grenseverdi $= \frac{1}{6}$

Løsningsforslag

Vi sjekker nevneren i $x = - 2$ :

x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2) ⟹ nevner = 0 når x = - 2

Telleren i $x = - 2$ :

{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \neq 0

Siden nevneren er $0$ og telleren er $\neq 0$ i $x = - 2$ , eksisterer ikke grenseverdien.

Del 1 – bestem $a$ :

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være $0$ i $x = - 2$ :

{(- 2)}^{2} + a \cdot (- 2) + 2 = 0 ⟹ 6 - 2 a = 0 ⟹ a = 3

Del 2 – bestem grenseverdien:

Med $a = 3$ faktoriserer vi teller og nevner:

\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} = \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)}

Kansellerer $(x + 2)$ (vi ser bort fra $x = - 2$ siden vi tar grenseverdi):

\lim_{x \to - 2} \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{- 2 + 1}{- 2 - 4} = \frac{- 1}{- 6}

Grenseverdien er $\frac{1}{6}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten får uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm \infty$ .

1 poeng for å finne $a$ og 1 poeng for å finne grenseverdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Grenseverdi, Kontinuitet
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Kombinatorikk og passord

Et passord skal bestå av tre tegn og lages av sifrene 1–9 og bokstavene A–F.
Det første tegnet skal være en bokstav, og de to neste tegnene skal være to ulike siffer.

Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?

Et annet passord skal også bestå av tre tegn.

Hvert tegn skal være et av sifrene 1, 2, 3, 4 eller en av bokstavene A, B, C.
Både sifrene og bokstavene kan forekomme flere ganger.
Passordet må inneholde minst én bokstav og minst ett siffer.

Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?

Fasit

$432$

$252$

Løsningsforslag

Første tegn: én av bokstavene A–F → $6$ valg
Andre tegn: ett av sifrene 1–9 → $9$ valg
Tredje tegn: ett av de resterende 8 sifrene → $8$ valg

6 \cdot 9 \cdot 8 = 432

Det er mulig å lage $432$ ulike passord.

Totalt $7$ tegn: ${1, 2, 3, 4, A, B, C}$ . Uten begrensninger: $7^{3} = 343$ passord.

Vi trekker fra de som ikke oppfyller kravet om minst én bokstav og minst ett siffer:

Kun siffer ${1,2,3,4}$ : $4^{3} = 64$ passord
Kun bokstav ${A, B, C}$ : $3^{3} = 27$ passord

343 - 64 - 27 = 252

Det er mulig å lage $252$ ulike passord.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten som ikke har tatt hensyn til ulike siffer får ikke uttelling.

Kandidater som lager passord som mangler en betingelse kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kombinatorikk
Kompetansemål: Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Topp- og bunnpunkter med ln

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Fasit

Bunnpunkt: $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$

Løsningsforslag

Vi har $f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x$ definert for $x > 0$ . Deriverer med produktregelen:

f^{'} (x) = 8 x \cdot \ln x + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 8 x \ln x + 4 x = 4 x (2 \ln x + 1)

For $x > 0$ er $4 x > 0$ alltid, så $f^{'} (x) = 0$ krever:

2 \ln x + 1 = 0 ⟹ \ln x = - \frac{1}{2} ⟹ x = e^{- 1 / 2} = \frac{1}{\sqrt{e}}

Fortegnsskjema for $f^{'} (x)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f^{'}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ , så det er et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

f (\frac{1}{\sqrt{e}}) = 4 \cdot \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e}

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for å derivere riktig og 1 poeng for å finne koordinatene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Logaritmer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Einars straffesparkkonkurranse

Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.

from random import choice
#choice returnerer en tilfeldig verdi fra en liste

alternativer = ["bom", "bom", "bom", "treff", "treff"]
#liste med alternativer

skuddserie = 3
antall_treff = 0

for i in range(skuddserie):
	skudd = choice(alternativer)
	if skudd == "treff":
		antall_treff = antall_treff + 1
		
print(antall_treff/skuddserie)

Hvilke mulige verdier kan programmet skrive ut?

Bestem sannsynligheten for at programmet skriver ut $1,0$ .

Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, $30 %$ .

Hva er det minste antallet straffespark Einar må ta for at sannsynligheten for at han scorer minst ett mål, skal være $50 %$ eller mer?

Fasit

0, 0,333, 0,666 eller 1,0

$\frac{8}{125}$

$2$ straffespark

Løsningsforslag

Programmet kjører løkken for i in range(3) tre ganger. Hvert skudd gir enten "treff" (sannsynlighet $\frac{2}{5}$ ) eller "bom". Programmet skriver ut $\frac{𝚊𝚗𝚝𝚊𝚕𝚕_𝚝𝚛𝚎𝚏𝚏}{3}$ .

Programmet kan skrive ut: 0, 0,333, 0,666 eller 1,0.

Programmet skriver ut $1,0$ kun hvis alle tre skudd er treff:

P (alle tre treff) = {(\frac{2}{5})}^{3} = \frac{8}{125}

$P = \frac{8}{125}$

Sannsynligheten for at Einar scorer minst ett mål på $n$ straffespark:

P (minst ett mål) = 1 - {0,7}^{n} \geq 0,5

{0,7}^{n} \leq 0,5

Vi prøver:

$n = 1$ : $1 - 0,7 = 0,30 < 0,5$
$n = 2$ : $1 - 0,49 = 0,51 \geq 0,5$ ✓

Einar må ta minst $2$ straffespark.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidater som oppgir svaret som brøk får full uttelling.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Programmering
Kompetansemål: Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.

År	1910	1913	1919	1921	1925	1927	1931	1935
Folketall	800	963	1253	1511	1720	1879	2387	2774

Krever PC

Bruk informasjonen til å lage en modell på formen

F (t) = a \cdot b^{t}

for antall personer $F (t)$ som bodde i bygda $t$ år etter 1910.

Vurder modellens gyldighetsområde.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?

Fasit

$F (t) \approx 820,6 \cdot {1,051}^{t}$ , gyldighetsområde $t \in [0, 25]$

Fra og med 1924 ( $t \approx 13,5$ )

Etter 25 år

Løsningsforslag

Vi setter $t = 0$ i 1910 og bruker eksponentiell regresjon på datapunktene:

$t$	$0$	$3$	$9$	$11$	$15$	$17$	$21$	$25$
$F$	$800$	$963$	$1253$	$1511$	$1720$	$1879$	$2387$	$2774$

Eksponentiell regresjon (f.eks. i GeoGebra) gir:

F (t) \approx 820,6 \cdot {1,051}^{t}

Grafen under viser at kurven passer godt til datapunktene ( $R^{2} \approx 0,99$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-1a

Gyldighetsområde: Modellen passer for dataene i perioden 1910–1935, det vil si $t \in [0, 25]$ . Utenfor dette tidsrommet kan vekstmønsteret endre seg og modellen mister gyldighet.

Vekstfarten er den deriverte av $F$ :

F^{'} (t) = 820,6 \cdot {1,051}^{t} \cdot \ln (1,051)

Vi løser $F^{'} (t) = 80$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

CAS gir $t \approx 13,5$ , dvs. fra og med $t = 14$ (år 1924).

Befolkningen økte med mer enn 80 personer per år fra og med 1924 ifølge modellen.

Gjennomsnittlig befolkningsvekst fra 1910 til år $t$ er $\frac{F (t) - F (0)}{t}$ . Vi løser:

\frac{F (t) - 820,6}{t} = 80

i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1c

CAS gir $t \approx 24,6$ , så vi runder opp til $t = 25$ .

Det gikk $25 år$ (til 1935) før den gjennomsnittlige veksten fra 1910 var større enn 80 personer per år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne modellen og 1 poeng for å vurdere gyldighetsområde.

Kandidater som svarer kun et år kan få 1 poeng.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Eksponentiell vekst, Modellering, Regresjon, Derivasjon
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon og kontinuitet

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 2 & x \leq - 2 \\ 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x & - 2 < x < k \\ 4 & x \geq k \end{matrix} der k \in ⟨ - 2, \to ⟩

For hånd

Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x = - 2$ .

For hånd

Bestem $k$ slik at $f$ er kontinuerlig når $x = k$ .

Fasit

Ikke kontinuerlig (venstregrense $= - 6$ , høyregrense $= 0$ )

$k = - 1$ , $k = - \sqrt{2}$ eller $k = \sqrt{2}$

Løsningsforslag

Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i $x = - 2$ :

\lim_{x \to - 2^{-}} (2 x - 2) = 2 (- 2) - 2 = - 6

\lim_{x \to - 2^{+}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 2 (- 8) + 2 (4) - 4 (- 2) = - 16 + 8 + 8 = 0

Siden $\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = - 6 \neq 0 = \lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ eksisterer ikke grenseverdien i $x = - 2$ .

$f$ er ikke kontinuerlig i $x = - 2$ .

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = k$ må:

\lim_{x \to k^{-}} (2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x) = 4

2 k^{3} + 2 k^{2} - 4 k = 4

k^{3} + k^{2} - 2 k - 2 = 0

Vi faktoriserer:

k^{2} (k + 1) - 2 (k + 1) = (k^{2} - 2) (k + 1) = 0

k = \sqrt{2}, k = - \sqrt{2}, k = - 1

Alle tre verdiene er større enn $- 2$ og dermed i gyldighetsområdet $k \in ⟨ - 2, \to ⟩$ .

$k = \sqrt{2}$ , $k = - \sqrt{2}$ eller $k = - 1$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidatene kommunisere godt med et matematisk språk.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Sannsynlighet med drops

Sander, Henny og Kari har hver sin pose med drops. I alle posene er det 3 grønne, 8 gule og 7 røde drops.

Sander tar 2 tilfeldige drops fra sin pose.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at han tar 2 gule drops.

Henny tar 3 tilfeldige drops fra sin pose.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at hun tar et drops av hver farge.

Sander og Henny legger tilbake dropsene de tok i oppgave a og b. Alle tre tar så et drops fra hver sin pose.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at alle får samme farge på dropset de tar.

Fasit

$\frac{28}{153}$

$\frac{7}{34}$

$\frac{49}{324}$

Løsningsforslag

Hver pose inneholder $3 + 8 + 7 = 18$ drops.

Sander tar $2$ drops. Sannsynligheten for $2$ gule:

P (2 gule) = \frac{(\binom{8}{2})}{(\binom{18}{2})} = \frac{28}{153}

$P = \frac{28}{153}$

Henny tar $3$ drops. Sannsynligheten for én av hver farge:

P (en av hver) = \frac{(\binom{3}{1}) (\binom{8}{1}) (\binom{7}{1})}{(\binom{18}{3})} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 7}{816} = \frac{168}{816} = \frac{7}{34}

$P = \frac{7}{34}$

Alle tre tar ett drops fra hver sin pose – uavhengige hendelser.

P (alle samme) = P (alle grønn) + P (alle gul) + P (alle rød)

= {(\frac{3}{18})}^{3} + {(\frac{8}{18})}^{3} + {(\frac{7}{18})}^{3} = \frac{27 + 512 + 343}{5832} = \frac{882}{5832} = \frac{49}{324}

$P = \frac{49}{324}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Kandidater som finner en rekkefølge, kan få 1 poeng.

En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. Kandidater som regner med at de tre personene trekker fra samme pose kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Kompetansemål: Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Kostnad, pris og overskudd

En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden $K (x)$ kroner ved produksjon og salg er gitt ved

K (x) = 0,02 x^{2} + 60 x + 12000

Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet.

Kalkulator

Hvor stort er det største overskuddet elevbedriften kan få?

Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.

Kalkulator

Hva er den laveste prisen elevbedriften kan selge produktet for, dersom de skal unngå å gå med underskudd?

Fasit

$8 000 kr$

$88 kr$

Løsningsforslag

Inntekt per enhet er 100 kr. Overskuddet er:

O (x) = 100 x - K (x) = 100 x - 0,02 x^{2} - 60 x - 12 000 = - 0,02 x^{2} + 40 x - 12 000

Vi finner maksimum ved å sette $O^{'} (x) = 0$ og beregner i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-4a

CAS bekrefter at $O^{'} (x) = 0$ i $x = 1000$ og at $O (1000) = 8000$ .

Det største overskuddet er $8 000 kr$ , oppnådd ved produksjon og salg av 1000 enheter.

Nye faste kostnader er 8000 kr. Ved salg av $x = 1000$ enheter:

K (1000) = 0,02 \cdot 1000^{2} + 60 \cdot 1000 + 8000 = 20 000 + 60 000 + 8000 = 88 000 kr

For å unngå underskudd må inntektene dekke kostnadene:

1000 \cdot p \geq 88 000 ⟹ p \geq 88

Den laveste prisen er $88 kr$ per enhet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne overskuddsfunksjonen og 1 poeng for å finne overskuddet.

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Derivasjon, Funksjoner, Optimering, Overskudd
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Luktintensitet og logaritmer

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$ . Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ( $O U / m^{3}$ ).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

I = 1,4 \cdot \lg (C) - 0,3

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ( $I$ )	Vurdering
$< 1$	uproblematisk
$1$ – $2$	akseptabelt
$2$ – $3$	kan aksepteres kortvarig
$3$ – $4$	plagsom lukt, bør begrenses
$> 4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 O U / m^{3}$ og $1400 O U / m^{3}$ .

Kalkulator

Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Kalkulator

Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Fasit

Ja ( $I$ mellom $3,48$ og $4,10$ )

$8,5 \leq C \leq 44 O U / m^{3}$

Løsningsforslag

Vi beregner luktintensiteten $I = 1,4 \cdot \lg (C) - 0,3$ for begge grenseverdiene:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5a

CAS gir:

$I (500) \approx 3,48$ : «plagsom lukt, bør begrenses»
$I (1400) \approx 4,10$ : «plagsomt, tiltak kreves»

Prøvene viser luktintensiteter i området $3,48$ til $4,10$ , noe som tilsvarer kategoriene «plagsom» og «tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage.

For at luktintensiteten skal bli akseptabel, trenger vi $1 \leq I \leq 2$ . Vi løser i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-5b

CAS gir:

$I = 2$ gir $C \approx 44$
$I = 1$ gir $C \approx 8,5$

Nye prøver må vise luktverdier i intervallet $8,5 \leq C \leq 44 O U / m^{3}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å regne ut verdiene og 1 poeng for å vurdere om de har grunnlag for å klage.

1 poeng for finne verdien og 1 poeng for å tolke svaret. Bruk av glider for å finne svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Modellering
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Terningspill og forventningsverdi

Ola spiller et spill med mange vanlige terninger. Spillet går over flere runder.

For å kaste terninger og spille bruker Ola programmet nedenfor.

from random import randint
#randint(a,b) gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b

runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
	for i in range(terninger):
		if randint(1,6) == 6:
			terninger = terninger + 3
		else:
			terninger = terninger - 1
	runder = runder + 1

print(runder)

For hånd

Hva er reglene for spillet?

Ola spiller mange ganger.

Krever PC

Bestem det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare.

Fasit

Start med 100 terninger; 6 → +3, annet → −1; fortsett til 0 terninger

$\approx 8,5$ runder

Løsningsforslag

Spilleregler:

Spillet starter med 100 terninger.
Hver runde kastes alle terningene (antallet er fast ved rundens start).
For hvert kast som viser 6: legg til 3 terninger.
For hvert kast som ikke viser 6: ta bort 1 terning.
Etter at alle terningene er kastet, økes rundetelleren med 1.
Spillet fortsetter til det ikke er noen terninger igjen.

La $n$ være antall terninger ved starten av en runde. For hvert enkelt kast er:

E [netto endring per terning] = \frac{1}{6} \cdot 3 + \frac{5}{6} \cdot (- 1) = \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = - \frac{1}{3}

Forventet antall terninger etter én runde: $n - \frac{n}{3} = \frac{2 n}{3}$

Etter $r$ runder er forventet antall terninger:

E [n_{r}] = 100 \cdot {(\frac{2}{3})}^{r}

Simulering av programmet over mange kjøringer gir et gjennomsnitt på ca. $8,5$ runder.

Det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare, er $\approx 8,5$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som har fått med seg deler av reglene kan få 1 poeng.

Kandidater som kjører programmet fra oppgave a mange ganger og regner ut et gjennomsnitt kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
Kompetansemål: Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler
Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 21 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon og tolkning av stigningstall

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Logaritmiske likninger og logbaser

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Grenseverdier og eksistens

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Kombinatorikk og passord

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Topp- og bunnpunkter med ln

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Einars straffesparkkonkurranse

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 28 poeng

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon og kontinuitet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Sannsynlighet med drops

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Kostnad, pris og overskudd

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Luktintensitet og logaritmer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Terningspill og forventningsverdi

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 21 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon og tolkning av stigningstall

Oppgave 1-2·Logaritmiske likninger og logbaser

Oppgave 1-3·Grenseverdier og eksistens

Oppgave 1-4·Kombinatorikk og passord

Oppgave 1-5·Topp- og bunnpunkter med ln

Oppgave 1-6·Einars straffesparkkonkurranse

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 28 poeng

Oppgave 2-1·Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Oppgave 2-2·Stykkevis funksjon og kontinuitet

Oppgave 2-3·Sannsynlighet med drops

Oppgave 2-4·Kostnad, pris og overskudd

Oppgave 2-5·Luktintensitet og logaritmer

Oppgave 2-6·Terningspill og forventningsverdi

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon og tolkning av stigningstall

Oppgave 1-2Logaritmiske likninger og logbaser

Oppgave 1-3Grenseverdier og eksistens

Oppgave 1-4Kombinatorikk og passord

Oppgave 1-5Topp- og bunnpunkter med ln

Oppgave 1-6Einars straffesparkkonkurranse

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon og kontinuitet

Oppgave 2-3Sannsynlighet med drops

Oppgave 2-4Kostnad, pris og overskudd

Oppgave 2-5Luktintensitet og logaritmer

Oppgave 2-6Terningspill og forventningsverdi