S1 Høst 2022

Oppgave 1-1Forenkle uttrykk med potenser og brøk S1 H22

Skriv så enkelt som mulig

{(2 a^{- 2} b)}^{- 1} \cdot {(\frac{b^{2}}{a})}^{2}

Fasit

\frac{b^{3}}{2}

LøsningsforslagKI-generert

Vi forenkler steg for steg ved å bruke potensreglene ${(x y)}^{n} = x^{n} y^{n}$ , ${(x^{m})}^{n} = x^{m n}$ og $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ .

{(2 a^{- 2} b)}^{- 1} \cdot {(\frac{b^{2}}{a})}^{2}

Løs opp parentesene:

= 2^{- 1} \cdot a^{2} \cdot b^{- 1} \cdot \frac{b^{4}}{a^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot a^{2} \cdot b^{- 1} \cdot b^{4} \cdot a^{- 2}

Samle $a$ -leddene og $b$ -leddene:

= \frac{1}{2} \cdot a^{2 - 2} \cdot b^{- 1 + 4}

= \frac{1}{2} \cdot a^{0} \cdot b^{3} = \frac{b^{3}}{2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Funksjonen $O$ gitt ved

O (x) = - 0,05 x^{2} + 100 x - 10 000

er en god modell for overskuddet i kroner som en bedrift har hver uke, dersom den produserer og selger $x$ enheter av en vare.

Bestem $O^{'} (500)$ . Gi en tolkning av svaret i denne situasjonen.

Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen $O$ ?

Fasit

$O^{'} (500) = 50$ . Overskuddet øker med omtrent 50 kroner per ekstra enhet når bedriften produserer 500 enheter.

Maksimalt ukentlig overskudd er 40 000 kroner (ved $x = 1000$ enheter).

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $O (x) = - 0,05 x^{2} + 100 x - 10 000$ :

O^{'} (x) = - 0,1 x + 100

Vi setter inn $x = 500$ :

O^{'} (500) = - 0,1 \cdot 500 + 100 = - 50 + 100 = 50

Tolkning: Når bedriften produserer 500 enheter per uke, øker overskuddet med omtrent 50 kroner for hver ekstra enhet som produseres og selges.

Overskuddet er størst når $O^{'} (x) = 0$ :

- 0,1 x + 100 = 0

x = \frac{100}{0,1} = 1000

Siden andregradsleddet i $O (x)$ er negativt ( $- 0,05 < 0$ ), er $x = 1000$ et maksimumspunkt.

Det maksimale ukentlige overskuddet er:

O (1000) = - 0,05 \cdot 1000^{2} + 100 \cdot 1000 - 10 000

= - 50 000 + 100 000 - 10 000 = 40 000

Det maksimale ukentlige overskuddet er 40 000 kroner.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Optimering, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Logaritmeligningen lg(x-3) pluss lg x lik 1

Løs likningen

\lg (x - 3) + \lg x = 1

Fasit

$x = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logaritmeregelen $\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b)$ :

\lg (x - 3) + \lg x = 1

\lg ((x - 3) \cdot x) = 1

x (x - 3) = 10^{1} = 10

x^{2} - 3 x - 10 = 0

Vi løser andregradslikningen med andregradsformelen:

x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}

Dette gir $x = 5$ eller $x = - 2$ .

For at $\lg (x - 3)$ og $\lg x$ skal være definert, må $x > 3$ . Løsningen $x = - 2$ forkastes.

x = 5

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Temaer: Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Bestem grenseverdien

\lim_{h \to 0} \frac{{(4 + h)}^{2} - 4^{2}}{h}

Fasit

$8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider og forenkler telleren algebraisk:

\lim_{h \to 0} \frac{{(4 + h)}^{2} - 4^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{16 + 8 h + h^{2} - 16}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 h + h^{2}}{h}

Vi faktoriserer $h$ i telleren og forkorter:

= \lim_{h \to 0} \frac{h (8 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (8 + h)

Nå kan vi sette inn $h = 0$ :

= 8 + 0 = 8

Grenseverdien er $8$ , og dette er per definisjon den deriverte av $f (x) = x^{2}$ i punktet $x = 4$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Derivasjon, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

I en krukke er det 2 hvite og 6 svarte kuler. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene er hvit.

I en annen krukke ligger det et ukjent antall kuler. Her er 2 av kulene hvite, mens resten av kulene er svarte. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging. Du ønsker at sannsynligheten for at du trekker 2 svarte kuler, skal være minst 50 prosent.

Lag en algoritme som du kan bruke for å bestemme det minste antallet svarte kuler som det da må være i krukken. Ta med nødvendige formler som du må bruke for å følge algoritmen.

Fasit

$P (minst én hvit) = \frac{13}{28}$

Det må være minst 6 svarte kuler.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker komplementærregning: $P (minst én hvit) = 1 - P (ingen hvite)$ .

Alle mulige måter å trekke 2 kuler fra 8:

(\binom{8}{2}) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

Antall måter å trekke 2 svarte kuler fra de 6 svarte:

(\binom{6}{2}) = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

P (ingen hvite) = \frac{15}{28}

P (minst én hvit) = 1 - \frac{15}{28} = \frac{13}{28} \approx 0,464

La $s$ være antall svarte kuler. Totalt er det $s + 2$ kuler i krukken.

Formel som brukes:

P (2 svarte) = \frac{(\binom{s}{2})}{(\binom{s + 2}{2})} = \frac{s (s - 1)}{(s + 2) (s + 1)}

Algoritme:

Start med $s = 2$ (minste mulige antall for å i det hele tatt trekke 2 svarte).
Beregn $P = \frac{s (s - 1)}{(s + 2) (s + 1)}$ .
Hvis $P \geq 0,5$ : stopp — $s$ er svaret.
Ellers: øk $s$ med 1 og gå til steg 2.

Gjennomføring:

$s$	$P (2 svarte)$	$\geq 0,5$ ?
2	$\frac{2}{12} \approx 0,17$	nei
3	$\frac{6}{20} = 0,30$	nei
4	$\frac{12}{30} = 0,40$	nei
5	$\frac{20}{42} \approx 0,48$	nei
6	$\frac{30}{56} \approx 0,54$	ja

Det må være minst 6 svarte kuler i krukken.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Turister i butikk binomisk sannsynlighet

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Undersøkelser viser at 70 prosent av kundene til en butikk er turister.

En dag hadde butikken til sammen 145 kunder.

Legg nødvendige forutsetninger til grunn, og bestem sannsynligheten for at minst 100 av disse kundene var turister.

Fasit

$P (X \geq 100) \approx 0,6453$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $X$ være antall turister blant de 145 kundene.

Forutsetninger for binomisk fordeling:

Hver kunde er enten turist eller ikke (to mulige utfall)
Sannsynligheten for at en tilfeldig kunde er turist er konstant $p = 0,70$
Kundene er uavhengige av hverandre

Da er $X \sim Bin (145; 0,70)$ .

Vi skal finne $P (X \geq 100)$ .

P (X \geq 100) = 1 - P (X \leq 99)

Med CAS (BinomialDist):

P (X \geq 100) = 1 - P (X \leq 99) \approx 0,6453

Sannsynligheten for at minst 100 av de 145 kundene var turister er omtrent $0,6453$ , det vil si cirka 64,5 %.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 1 - x^{2}, D_{f} = [0, 1]

La $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P (a, f (a))$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A$ og $y$ -aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

Graf som viser parabelen f(x)=1-x^2 på [0,1] med tangent i P som skjærer aksene i A og B

Kalkulator

Bestem arealet av $△ O A B$ når $P (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ .

Kalkulator

Bestem det minste arealet $△ O A B$ kan ha.

Fasit

$\frac{25}{32}$

$\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en generell tangentligning til $f (x) = 1 - x^{2}$ i punktet $P (a, f (a))$ .

Siden $f^{'} (x) = - 2 x$ , er stigningstallet til tangenten i $P$ lik $f^{'} (a) = - 2 a$ .

Tangentens ligning blir

t (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = (1 - a^{2}) - 2 a (x - a) = a^{2} - 2 a x + 1

Skjæringspunkt A med $x$ -aksen ( $y = 0$ ):

0 = a^{2} - 2 a x + 1 ⟹ x = \frac{a^{2} + 1}{2 a}

Så $A = (\frac{a^{2} + 1}{2 a}, 0)$ .

Skjæringspunkt B med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

t (0) = a^{2} + 1

Så $B = (0, a^{2} + 1)$ .

Her er $a = \frac{1}{2}$ .

O A = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4}

O B = {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 = \frac{5}{4}

T = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{32}

Arealet av $△ O A B$ som funksjon av $a$ er

T (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2} + 1}{2 a} \cdot (a^{2} + 1) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}, a \in ⟨ 0, 1 ⟩

Vi deriverer og setter $T^{'} (a) = 0$ :

T^{'} (a) = \frac{2 (a^{2} + 1) \cdot 2 a \cdot 4 a - {(a^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}{{(4 a)}^{2}}

Teller satt lik null (og $a^{2} + 1 > 0$ kan forkortes):

4 a \cdot 2 (a^{2} + 1) - 4 {(a^{2} + 1)}^{2} = 0

4 (a^{2} + 1) [2 a - (a^{2} + 1)] \cdot \dots

Vi bruker kvotientregelen direkte. Med $u = {(a^{2} + 1)}^{2}$ og $v = 4 a$ :

T^{'} (a) = \frac{4 a (a^{2} + 1) \cdot 2 a - (a^{2} + 1)^{2} \cdot 4}{16 a^{2}} = \frac{4 (a^{2} + 1) [2 a^{2} - (a^{2} + 1)]}{16 a^{2}} = \frac{(a^{2} + 1) (a^{2} - 1)}{4 a^{2}} \cdot \dots

CAS gir

T^{'} (a) = \frac{3 a^{4} + 2 a^{2} - 1}{4 a^{2}}

Telleren faktoriseres:

3 a^{4} + 2 a^{2} - 1 = (3 a^{2} - 1) (a^{2} + 1)

Siden $a^{2} + 1 > 0$ for alle $a$ , er $T^{'} (a) = 0$ bare når $3 a^{2} - 1 = 0$ , det vil si

a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

(Vi forkaster den negative løsningen siden $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ .)

Fortegnslinjen til $T^{'} (a)$ :

Fortegnslinje for T'(a) med sjablongkurve for T(a)

$T$ har et (globalt) minimum ved $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Minste areal:

T (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{1}{3} + 1)}^{2}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}

Det minste arealet av $△ O A B$ er $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Vareeksport modellering eksponential og lineær

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser verdien av den totale vareeksporten fra Norge for noen år i perioden 1980–2018.

År	1980	1990	2000	2010	2018
Verdien av vareeksporten (i milliarder kroner)	91,7	211,6	529,8	788,1	1000,3

Krever PC

Bruk tallene fra tabellen til å lage to ulike modeller som kan brukes til å anslå verdien av norsk vareeksport i årene framover. Begrunn hvilken av modellene du mener passer best i denne situasjonen. Kall denne modellen for $g$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Anslå den gjennomsnittlige årlige veksten av norsk vareeksport fra 2015 til 2025 for hver av de to modellene du fant i oppgave a).

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 91 \cdot {1,057}^{x}

er en modell for verdien av den totale vareimporten til Norge i milliarder kroner, $x$ år etter 1980.

Kalkulator

Når vil verdien av vareimporten til Norge være 10 ganger større enn det den var i 1980?

Dersom verdien av vareeksporten i et land er større enn verdien av vareimporten, sier vi at landet har et handelsoverskudd.

Oppsett for hånd

Bruk modellene $f$ og $g$ til å vurdere når Norge har et handelsoverskudd.

Fasit

Lineær modell passer best: $g (x) = 24,90 x + 36,32$

Lineær modell: ca. 24,9 mrd kr/år. Eksponentiell modell: ca. 55,4 mrd kr/år.

Ca. i løpet av 2021 (x ≈ 41,5)

Norge har handelsoverskudd for ca. $2,8 \leq x \leq 46,4$ , dvs. fra ca. 1983 til ca. 2026.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være antall år etter 1980 og setter opp dataene:

$x$	0	10	20	30	38
$y$	91,7	211,6	529,8	788,1	1000,3

Vi bruker regresjonsverktøy til å finne to modeller:

Lineær regresjon:

g (x) = 24,90 x + 36,32, r^{2} = 0,985

Eksponentiell regresjon:

h (x) = 173,29 \cdot {1,0486}^{x}, r^{2} = 0,957

Den lineære modellen har høyere $r^{2}$ -verdi ( $0,985 > 0,957$ ), noe som tyder på at den passer bedre til dataene. I tillegg ser vi at veksten i vareeksporten avtar mot slutten av perioden, mens en eksponentiell modell vil gi stadig raskere vekst. Den lineære modellen beskriver denne tendensen bedre.

Vi velger derfor den lineære modellen som modell $g$ :

g (x) = 24,90 x + 36,32

Gjennomsnittlig årlig vekst fra 2015 til 2025 tilsvarer intervallet fra $x = 35$ til $x = 45$ .

Lineær modell $g$ :

For en lineær funksjon er den gjennomsnittlige veksten lik stigningstallet, uavhengig av intervall:

\frac{g (45) - g (35)}{10} = \frac{(24,90 \cdot 45 + 36,32) - (24,90 \cdot 35 + 36,32)}{10} = \frac{24,90 \cdot 10}{10} \approx 24,9 mrd kr/år

Eksponentiell modell $h$ :

\frac{h (45) - h (35)}{10} = \frac{173,29 \cdot {1,0486}^{45} - 173,29 \cdot {1,0486}^{35}}{10} \approx \frac{1465,3 - 911,8}{10} \approx 55,4 mrd kr/år

De to modellene gir svært forskjellige anslag: den lineære modellen gir ca. 24,9 mrd kr/år, mens den eksponentielle gir ca. 55,4 mrd kr/år.

Vi skal finne $x$ slik at $f (x) = 910$ , altså når importen er 10 ganger 1980-verdien ( $10 \cdot 91 = 910$ ):

91 \cdot {1,057}^{x} = 910

Vi løser i CAS:

CAS-utklipp fra GeoGebra: linje 1 løser 91 · 1,057^x = 910 og gir x = 41,54. Linje 2 og 3 definerer f(x) = 91 · 1,057^x og g(x) = 24,9x + 36,32, og linje 4 løser g(x) = f(x) med løsningene x = 2,81 og x = 46,40.

CAS gir $x \approx 41,5$ .

$x = 41,5$ tilsvarer ca. midt i 2021. Vareimporten vil altså være 10 ganger 1980-verdien i løpet av 2021.

Vi kan også løse for hånd:

{1,057}^{x} = 10 ⟹ x = \frac{\ln 10}{\ln 1,057} \approx \frac{2,3026}{0,0555} \approx 41,5

Vi har eksportmodellen $g (x) = 24,90 x + 36,32$ og importmodellen $f (x) = 91 \cdot {1,057}^{x}$ .

Norge har handelsoverskudd når $g (x) > f (x)$ , dvs. når eksport er større enn import.

Fra CAS (linje 4 i screenshoten over) finner vi at $g (x) = f (x)$ når:

x \approx 2,81 og x \approx 46,40

Det vil si at grafene skjærer hverandre ca. i 1983 og ca. i 2026.

Vi sjekker for eksempel $x = 20$ (år 2000):

$g (20) = 24,90 \cdot 20 + 36,32 = 534,32$ mrd kr
$f (20) = 91 \cdot {1,057}^{20} \approx 278,5$ mrd kr

Her er $g (20) > f (20)$ , så Norge har handelsoverskudd i dette intervallet.

Konklusjon: Norge har handelsoverskudd for $2,8 ≲ x ≲ 46,4$ , det vil si fra ca. 1983 til ca. 2026. Etter ca. 2026 vil importen (som vokser eksponentielt) overstige eksporten (som vokser lineært), og Norge vil få et handelsunderskudd.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tenk deg at du har en terning med $n$ sider der antall øyne på sidene er $1, 2, \dots, n$ . Når du kaster terningen, er alle utfallene like sannsynlige.

Du kaster terningen to ganger. La $X$ være produktet av antall øyne i de to kastene. Dersom for eksempel første kast gir $7$ og andre kast gir $3$ , blir $X$ lik $3 \cdot 7 = 21$ .

Oppsett for hånd

La $n = 10$ . Lag et program som kan brukes til å anslå $P (X > 60)$ .

Oppsett for hånd

Hva er den minste verdien for $n$ som gjør at $P (X > 60)$ er større enn 0,5?

Fasit

$P (X > 60) = \frac{13}{100} = 0,13$

$n = 17$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en terning med $n = 10$ sider. Programmet simulerer mange kast og teller andelen der produktet er større enn 60:

import random

n = 10
antall = 100000
gunstige = 0

for _ in range(antall):
    kast1 = random.randint(1, n)
    kast2 = random.randint(1, n)
    if kast1 * kast2 > 60:
        gunstige += 1

print(gunstige / antall)

Programmet gir en tilnærmet verdi nær $0,13$ .

Vi kan også beregne eksakt ved å telle alle 100 utfall $(i, j)$ der $i \cdot j > 60$ :

Par $(i, j)$	Produkt
$(7, 9)$	$63$
$(7, 10)$	$70$
$(8, 8)$	$64$
$(8, 9)$	$72$
$(8, 10)$	$80$
$(9, 7)$	$63$
$(9, 8)$	$72$
$(9, 9)$	$81$
$(9, 10)$	$90$
$(10, 7)$	$70$
$(10, 8)$	$80$
$(10, 9)$	$90$
$(10, 10)$	$100$

Det er 13 gunstige utfall av totalt $10 \cdot 10 = 100$ , så

P (X > 60) = \frac{13}{100} = 0,13

Vi utvider programmet til å søke gjennom ulike verdier av $n$ :

for n in range(1, 200):
    total = n * n
    gunstige = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i * j > 60:
                gunstige += 1
    p = gunstige / total
    if p > 0.5:
        print(f"Minste n = {n}, P(X > 60) = {gunstige}/{total} = {p:.4f}")
        break

Programmet gir:

$n$	$P (X > 60)$
$14$	$\approx 0,372$
$15$	$\approx 0,418$
$16$	$\approx 0,465$
$17$	$\approx 0,505$

For $n = 16$ er $P (X > 60) = \frac{119}{256} \approx 0,465 < 0,5$ .

For $n = 17$ er $P (X > 60) = \frac{146}{289} \approx 0,505 > 0,5$ .

Den minste verdien for $n$ som gjør at $P (X > 60) > 0,5$ er $n = 17$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Arnt har fått en sykdom og må ta en tablett som inneholder 100 mg av et virkestoff.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = 100 \cdot e^{- 0,012 t}

er en modell for hvor mye av tablettens virkestoff som er igjen i kroppen $t$ timer etter at han tok den.

Kalkulator

Hvor mye virkestoff er igjen i kroppen 24 timer etter at han tok en tablett?

Arnt tar en tablett hver morgen klokken åtte.

La $g$ være en funksjon som beskriver mengden virkestoff han har i kroppen $t$ timer etter at han tok den første tabletten.

For hånd

Avgjør om $g$ er en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

Kalkulator

Hvor mye virkestoff har Arnt i kroppen like før han tar den sjette tabletten?

Kalkulator

Hva er den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen dersom han tar én tablett i døgnet over lang tid?

Fasit

$f (24) \approx 75,0$ mg

$g$ er ikke kontinuerlig fordi mengden hopper med 100 mg ved hvert tablettinntak.

$\approx 228,6$ mg

$\approx 299,6$ mg

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $t = 24$ inn i $f (t) = 100 \cdot e^{- 0,012 t}$ :

f (24) = 100 \cdot e^{- 0,012 \cdot 24} = 100 \cdot e^{- 0,288} \approx 75,0 mg

Det er igjen omtrent 75,0 mg virkestoff i kroppen etter 24 timer.

$g$ er ikke en kontinuerlig funksjon.

Rett før Arnt tar den andre tabletten (like før $t = 24$ ) er mengden virkestoff $f (24) \approx 75,0$ mg. I det han tar tabletten hopper mengden plutselig opp med 100 mg, til ca. 175 mg. Tilsvarende sprang skjer ved $t = 48, 72, 96, \dots$

Fordi $g$ har slike sprang ved hvert tablettinntak, er $g$ ikke kontinuerlig.

Like før Arnt tar den sjette tabletten har det gått 24 timer siden den femte tabletten, 48 timer siden den fjerde, og så videre. Vi lar $k = e^{- 0,012 \cdot 24} = e^{- 0,288}$ betegne kvotienten.

Bidraget fra hver tablett like før sjette inntak:

Tablett	Timer siden inntak	Rest i kroppen
1	120 t	$100 k^{5}$
2	96 t	$100 k^{4}$
3	72 t	$100 k^{3}$
4	48 t	$100 k^{2}$
5	24 t	$100 k$

Totalt er dette en geometrisk rekke med fem ledd, første ledd $100 k$ og kvotient $k$ :

S_{5} = 100 k + 100 k^{2} + 100 k^{3} + 100 k^{4} + 100 k^{5} = 100 k \cdot \frac{1 - k^{5}}{1 - k}

S_{5} = 100 \cdot e^{- 0,288} \cdot \frac{1 - e^{- 1,44}}{1 - e^{- 0,288}} \approx 74,976 \cdot \frac{1 - 0,2369}{0,2502} \approx 228,6 mg

Like før den sjette tabletten har Arnt omtrent 228,6 mg virkestoff i kroppen.

På lang sikt, like før den $n$ -te tabletten, er mengden virkestoff:

S_{n - 1} = 100 k + 100 k^{2} + \dots + 100 k^{n - 1} = 100 k \cdot \frac{1 - k^{n - 1}}{1 - k}

Siden $0 < k = e^{- 0,288} \approx 0,7498 < 1$ , går $k^{n - 1} \to 0$ når $n \to \infty$ . Grenseverdien er:

S = \frac{100 k}{1 - k} = \frac{100 \cdot e^{- 0,288}}{1 - e^{- 0,288}} \approx \frac{74,976}{0,2502} \approx 299,6 mg

Den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen på lang sikt er omtrent 299,6 mg.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x + 5 + \frac{1}{x - 1}

For hånd

For hvilke verdier av $k$ har likningen $f^{'} (x) = k$ løsning?

For hånd

Velg ulike verdier av $k$ , og beskriv symmetrien i løsningene av likningen $f^{'} (x) = k$ for hver av disse verdiene.

La $g$ være en funksjon som kan skrives på formen

g (x) = a \cdot x + b + \frac{1}{x + d}

For hånd

For hvilke verdier av $a$ har likningen $g^{'} (x) = 4$ løsning?

La nå $a = 3$ .

For hånd

Utforsk og beskriv løsningene til likningen $g^{'} (x) = k$ for ulike verdier av $k$ .

For hånd

Bestem $b$ og $d$ slik at $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ og $g (1) = 7$ .

Fasit

$k < 2$

Løsningene er symmetriske om $x = 1$ (asymptoten til $f$ )

$a > 4$

Løsningene er symmetriske om $x = - d$ (asymptoten til $g$ ); likningen har løsning når $k < a$

$b = 5$ , $d = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 2 x + 5 + \frac{1}{x - 1}$ :

f^{'} (x) = 2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

Likningen $f^{'} (x) = k$ har løsning når vi kan løse

2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = k ⟹ \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 2 - k

Siden ${(x - 1)}^{2} > 0$ for alle $x \neq 1$ , kreves $2 - k > 0$ , altså $k < 2$ .

(Merk at $f^{'} (x)$ har maksimum $\lim_{x \to 1} f^{'} (x) = - \infty$ , mens $f^{'} (x) \to 2$ når $x \to \pm \infty$ , men aldri når $2$ . Så $f^{'} (x) < 2$ for alle $x \neq 1$ , og likningen har løsning nettopp når $k < 2$ .)

For $k < 2$ gir CAS løsningene

x = \frac{k - 2 \pm \sqrt{2 - k}}{k - 2} = 1 \mp \frac{\sqrt{2 - k}}{k - 2} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2 - k}}

(det siste steget fordi $\frac{\sqrt{2 - k}}{k - 2} = \frac{\sqrt{2 - k}}{- (2 - k)} = - \frac{1}{\sqrt{2 - k}}$ ).

De to løsningene er altså

x_{1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2 - k}}, x_{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2 - k}}

Midtpunktet er

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1

Løsningene er derfor alltid symmetriske om $x = 1$ , det vil si om den vertikale asymptoten til $f$ .

Dette gir mening geometrisk: $f^{'} (x) = 2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ , der $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ er en jevn funksjon av $(x - 1)$ . Derfor er $f^{'} (1 + t) = f^{'} (1 - t)$ for alle $t$ , slik at grafen til $f^{'}$ er symmetrisk om linjen $x = 1$ .

Vi deriverer $g (x) = a x + b + \frac{1}{x + d}$ :

g^{'} (x) = a - \frac{1}{{(x + d)}^{2}}

Likningen $g^{'} (x) = 4$ har løsning når

a - \frac{1}{{(x + d)}^{2}} = 4 ⟹ \frac{1}{{(x + d)}^{2}} = a - 4

Dette krever $a - 4 > 0$ , altså $a > 4$ .

Med $a = 3$ er $g^{'} (x) = 3 - \frac{1}{{(x + d)}^{2}}$ .

På samme måte som i a)–b) har likningen $g^{'} (x) = k$ løsning nettopp når $k < 3$ .

For $k < 3$ er løsningene

x = - d \pm \frac{1}{\sqrt{3 - k}}

Midtpunktet er $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - d$ , og løsningene er symmetriske om $x = - d$ (den vertikale asymptoten til $g$ ).

Vi skal finne $b$ og $d$ slik at $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ og $g (1) = 7$ .

Betingelsen $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ betyr at $x = - 1$ og $x = 5$ er symmetriske om asymptoten $x = - d$ (fra d)). Midtpunktet er

\frac{- 1 + 5}{2} = 2 ⟹ - d = 2 ⟹ d = - 2

Vi bruker deretter $g (1) = 7$ med $a = 3$ og $d = - 2$ :

g (1) = 3 \cdot 1 + b + \frac{1}{1 + (- 2)} = 3 + b + \frac{1}{- 1} = 3 + b - 1 = b + 2 = 7

b = 5

Altså er $b = 5$ og $d = - 2$ , og

g (x) = 3 x + 5 + \frac{1}{x - 2}

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1Forenkle uttrykk med potenser og brøk S1 H22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Logaritmeligningen lg(x-3) pluss lg x lik 1

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-1Turister i butikk binomisk sannsynlighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Vareeksport modellering eksponential og lineær

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1·Forenkle uttrykk med potenser og brøk S1 H22

Oppgave 1-2·Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Oppgave 1-3·Logaritmeligningen lg(x-3) pluss lg x lik 1

Oppgave 1-4·Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Oppgave 1-5·Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-1·Turister i butikk binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-2·Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Oppgave 2-3·Vareeksport modellering eksponential og lineær

Oppgave 2-4·Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Oppgave 2-5·Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Oppgave 2-6·Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Temaer

Oppgave 1-1Forenkle uttrykk med potenser og brøk S1 H22

Oppgave 1-2Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Oppgave 1-3Logaritmeligningen lg(x-3) pluss lg x lik 1

Oppgave 1-4Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Oppgave 1-5Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

Oppgave 2-1Turister i butikk binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-2Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Oppgave 2-3Vareeksport modellering eksponential og lineær

Oppgave 2-4Terning med n sider og sannsynlighet for produkt

Oppgave 2-5Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke

Oppgave 2-6Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k