S1 Høst 2008

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Høst 2008 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Ulikheter logaritmefunksjon likningssett og potensdivisjon	—
2	Sannsynlighet med røde og blå sykler	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet	—
4	Kostnadsfunksjon regresjon og maksimalt overskudd for bedrift S1 H08	—
4	Eksponentialfunksjon korteste avstand fra origo	—
5	Lineær optimering for poteter og kålrabi	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Ulikheter logaritmefunksjon likningssett og potensdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs ulikheten $2x + 4 \leq 4x + 8$

Løs ulikheten $2x^2 + 10x > x^2 + 10x + 25$

Vi har gitt funksjonen $f(x) = 2\lg x + 3$ . Figuren viser grafen til $f$ .

$Grafen til f(x) = 2\lg x + 3$

Løs likningen $f(x) = 4$ grafisk og ved regning.

Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for $f'(3)$ .

Løs likningssettet $2x^2 - 2x - y = 2$ og $4x - y = 6$

Skriv så enkelt som mulig

\frac{(a^2)^2 \cdot b^0 \cdot a^{-2} \cdot b^2}{b \cdot a}

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x

Bestem $f'(x)$ og bruk denne til å avgjøre når grafen til $f$ stiger og når den synker.

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Ulikheter, Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger, Potenser, Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-2 : Sannsynlighet med røde og blå sykler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at $\dbinom{8}{4} = 70$

På et sykkelverksted var det en dag 8 sykler inne til reparasjon. Av disse var 4 røde, og 4 var blå. Syklene ble reparert i tilfeldig rekkefølge.

Finn sannsynligheten for at de to første syklene som blir reparert, er røde.

Før lunsj hadde verkstedet reparert 4 av syklene.

Bestem sannsynligheten for at det var 3 røde og en blå sykkel som var reparert.

Hva er sannsynligheten for at minst 3 av de 4 syklene var røde?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jan skal kaste seks terninger på én gang i spillet maxiyatzy.

Bestem sannsynligheten for at Jan vil få akkurat én sekser i kastet.

Bestem sannsynligheten for at Jan vil få høyst 4 seksere.

Finn sannsynligheten for at Jan vil få minst én sekser.

Hvor mange ganger må Jan kaste alle seks terningene for at sannsynligheten for å få minst én sekser skal bli større enn $0{,}99$ ?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk

Oppgave 2-4 : Kostnadsfunksjon regresjon og maksimalt overskudd for bedrift S1 H08

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene $K(x)$ kroner ved produksjon av $x$ enheter av varen per dag er omtrent slik som vist i tabellen nedenfor.

$x$	0	10	20	30	40	50	70	90
$K(x)$	3 000	3 130	3 400	3 930	4 840	6 250	11 000	19 300

Inntekten i kroner ved salg av $x$ enheter av varen er

I(x) = 660x - 6x^2, \quad x \in [0,\, 90]

Merk av punktene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Trekk en kurve gjennom punktene. Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem. Hvilken produksjonsmengde gir størst inntekt?

Ved hvilken produksjon vil kostnader og inntekter være like store?

Bruk regresjon til å skrive $K(x)$ på formen $K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Undersøk om det lønner seg å øke produksjonen når $x = 50$ .

Bedriften vil tilpasse produksjonen slik at overskuddet $I(x) - K(x)$ blir størst mulig.

Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd per dag. Hvor stort er dette overskuddet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Kostnadsfunksjon, Regresjon, Derivasjon, Optimering

Oppgave 2-4 : Eksponentialfunksjon korteste avstand fra origo

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 6 \cdot 0{,}65^x$ .

$Graf til f(x)=6\cdot 0{,}65^x med punktene R, P og Q$

$O$ er origo og $R$ er skjæringspunktet mellom grafen og $y$ -aksen. $P$ og $Q$ er punkter på grafen med førstekoordinater henholdsvis 2 og $x$ .

Bestem koordinatene til punktene $R$ og $P$ .

Finn lengden av linjestykket $OP$ .

Bestem lengden av linjestykket $OQ$ uttrykt ved $x$ .

Bruk digitalt verktøy til å bestemme koordinatene til $Q$ slik at linjestykket $OQ$ blir kortest mulig.

Funksjonen $g$ er gitt ved

g(x) = \frac{6}{1+x}, \quad x \in [0,\, 3]

Bestem den korteste avstanden fra origo til et punkt på grafen til $g$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Rasjonale funksjoner

Oppgave 2-5 : Lineær optimering for poteter og kålrabi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bonde har et jorde der han skal dyrke poteter og kålrabi. Jordet er på 11 dekar. Han bruker $x$ dekar til poteter og $y$ dekar til kålrabi.

Investeringene er kr 1 200 per dekar for poteter og kr 800 per dekar for kålrabi. Han har anledning til å investere inntil kr 12 000 til denne produksjonen.

Bonden regner med å bruke 10 timer per dekar til å stelle potetene og 20 timer per dekar til å stelle kålrabien. Han kan bruke inntil 200 timer på dette jordet.

Koordinatsystem med de tre linjene y_1, y_2 og y_3

På figuren er det tegnet inn tre linjer $y_1$ , $y_2$ og $y_3$ . Bruk figuren og finn likningen til hver av de tre rette linjene.

Forklar hvilke opplysninger i den innledende teksten som kan knyttes til hver av likningene.

Bruk den innledende teksten til å begrunne i hvilket område på figuren punktene $(x, y)$ kan ligge. Tegn figuren i egen besvarelse, og skraver området.

Bonden selger avlingen. Han får kr 2,– per kg for poteter og kr 2,50 per kg for kålrabi. Bonden regner med at han produserer 6 000 kg poteter per dekar og 7 000 kg kålrabi per dekar.

Sett opp en aktuell problemstilling for bonden, og løs den.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner

Sync på tvers av enheter

S1 Høst 2008

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Ulikheter logaritmefunksjon likningssett og potensdivisjon

Oppgave 1-2 : Sannsynlighet med røde og blå sykler

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Kostnadsfunksjon regresjon og maksimalt overskudd for bedrift S1 H08

Oppgave 2-4 : Eksponentialfunksjon korteste avstand fra origo

Oppgave 2-5 : Lineær optimering for poteter og kålrabi

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave