S1 Eksempeloppgave 2 — 2007

1) Gjennomsnittlig veksthastighet mellom $x=1$ og $x=3$ er stigningstallet til sekanten:

Vi regner ut funksjonsverdiene:

2) Momentan vekst i $x=2$ er $f^{\prime }(2)$. Vi deriverer:

1) La sidene i rektangelet være $x$ og $y$. Omkretsen er $40$:

Arealet er lengde ganger bredde:

2) Vi deriverer arealfunksjonen og finner nullpunktet til den deriverte:

Siden $A^{\prime }(x)$ går fra positiv til negativ ved $x=10$ (grafen til $A$ er et vendt parabel), er dette et toppunkt. Maksimalt areal er

Vi faktoriserer nevneren og telleren i brøken:

Vi setter på felles nevner:

Vi flytter alt over på venstre side:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som ganger gir $-6$ og summert gir $-1$; det er $-3$ og $2$:

Uttrykket er negativt mellom nullpunktene $x=-2$ og $x=3$ (parabelen vender oppover, så den er under $x$-aksen mellom røttene):

Vi bruker regelen $a\cdot \lg b=\lg (b^a)$ på første ledd:

Vi bruker så regelen $\lg a+\lg b=\lg (ab)$:

Vi ganger alle ledd med fellesnevneren $(x-2)(x-5)$:

Vi regner ut hver side:

Vi trekker fra $2x^2$ på begge sider og samler leddene:

Løsningen er gyldig siden $x=\mathrm{3,5}\ne 2$ og $x=\mathrm{3,5}\ne 5$.

Vi setter $u={10}^x$ (merk at ${10}^{2x}={({10}^x)}^2=u^2$):

Vi faktoriserer: to tall som ganger gir $-6$ og summert gir $-1$ er $-3$ og $2$:

Dette gir $u=3$ eller $u=-2$. Siden $u={10}^x>0$ for alle $x$, forkaster vi løsningen $u=-2$. Vi står igjen med

Pascals talltrekant, de syv første radene (rad $0$ til rad $6$):

Binomialkoeffisientene finnes i rad $5$ (raden $1,5,10,10,5,1$):

Antall kast er $n=5$, og siden mynten er symmetrisk er $p=P(\text{kron})=\mathrm{0,5}$. Vi setter $k=2$ inn i formelen for binomisk fordeling:

Vi regner ut binomialkoeffisienten:

Dermed blir

Vi skal finne sannsynligheten for å trekke ut nøyaktig $4$ jenter (av $14$) og $2$ gutter (av $11$). Antall gunstige utvalg er $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{14}{4}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0px}{}{11}{2}\right)$, så

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,3109}}}$

Med $6$ elever trukket ut betyr «like mange gutter og jenter» at det er $3$ jenter og $3$ gutter. Dermed er

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,3391}}}$

«Flere jenter enn gutter» blant de $6$ uttrukne betyr at antall jenter er $4$, $5$ eller $6$ (tilsvarende $2$, $1$ eller $0$ gutter). Vi legger sammen de tre sannsynlighetene:

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,4522}}}$

«Begge kjønn representert» er det motsatte av at alle $6$ er jenter eller alle $6$ er gutter. Vi bruker komplementregelen:

$\underline{\underline{P\approx \mathrm{0,9804}}}$

Vi setter inn de fire $x$-verdiene i $K(x)=\mathrm{0,2}{x}^2+45x+6000$ og sammenlikner med tabellen.

Alle fire verdiene stemmer med tabellen, så $K(x)=\mathrm{0,2}{x}^2+45x+6000$ passer med dataene.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

Ved $x=200$:

$\underline{\underline{K^{\prime }(200)=125\mathrm{kr}}}$

Grensekostnaden forteller omtrent hvor mye kostnaden øker dersom produksjonen økes med én enhet, fra $200$ til $201$ enheter. Det koster altså omtrent $125\mathrm{kr}$ ekstra å produsere den $201.$ enheten.

Enhetskostnaden er

Grafen til $G$ er tegnet i GeoGebra:

Grafen viser at $G$ har et minimumspunkt omtrent i $(173,114)$. Den laveste enhetskostnaden oppnås altså ved en produksjon på omtrent

og enhetskostnaden er da omtrent $114\mathrm{kr}$ per enhet.

Vi setter grensekostnaden $K^{\prime }(x)$ lik enhetskostnaden $G(x)$ og løser likningen:

(Vi forkaster den negative løsningen $x=-100\sqrt{3}$ siden $x$ er et antall enheter.) Løsningen av CAS bekrefter dette:

$\underline{\underline{x=100\sqrt{3}\approx \mathrm{173,2}\text{ enheter}}}$

Dette stemmer godt med den grafiske avlesningen i c), og bekrefter at enhetskostnaden er lavest når det produseres omtrent $173$ enheter.

Avdeling A har en produksjonskostnad på $24000\mathrm{kr}$ per uke, og arbeider i $x$ uker. Da blir de samlede utgiftene ved avdeling A lik $24000x$ kroner.

Tilsvarende har avdeling B en kostnad på $20000\mathrm{kr}$ per uke, og arbeider i $y$ uker, slik at utgiftene ved avdeling B blir $20000y$ kroner.

De samlede utgiftene for hele produksjonen er summen av utgiftene ved de to avdelingene:

I løpet av $x$ uker produserer avdeling A $80x$ enheter av M40, $6x$ enheter av M30 og $38x$ enheter av M20. Tilsvarende produserer avdeling B i løpet av $y$ uker $18y$ enheter av M40, $15y$ enheter av M30 og $20y$ enheter av M20.

Den samlede produksjonen av hver modell må være minst like stor som bestillingen:

I tillegg kan ingen av avdelingene arbeide et negativt antall uker:

Vi tegner de tre grenselinjene og finner området der alle ulikhetene er oppfylt samtidig. Fordi alle ulikhetene er «større enn eller lik», ligger det tillatte området over alle de tre linjene (og i første kvadrant).

Det skraverte (blå) området viser alle $(x,y)$ som tilfredsstiller ulikhetene i b).

Minimum av en lineær funksjon over et slikt område må ligge i et av hjørnepunktene til det tillatte området. Fra figuren i c) finner vi fire hjørnepunkter:

• $(0,9)$ — skjæring mellom $y$-aksen og M40-linjen
• $(\mathrm{0,79},\mathrm{5,51})$ — skjæring mellom M40-linjen og M20-linjen
• $(2,\mathrm{3,2})$ — skjæring mellom M20-linjen og M30-linjen
• $(10,0)$ — skjæring mellom $x$-aksen og M30-linjen

Vi setter alle fire punktene inn i kostnadsfunksjonen $f(x,y)=24000x+20000y$:

Den laveste verdien er $112000\mathrm{kr}$, og den oppnås i hjørnepunktet $(2,\mathrm{3,2})$, som er skjæringspunktet mellom M20- og M30-linjen (markert med rødt i figuren).

Svar: Avdeling A må arbeide i $\underline{\underline{x=2\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$, og avdeling B må arbeide i $\underline{\underline{y=\mathrm{3,2}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$. Da blir produksjonskostnaden lavest mulig, med $\underline{\underline{112000\mathrm{kr}}}$.

Fortjenesten per crossykkel er $600\mathrm{kr}$. Selges det $x$ crossykler, gir dette en total fortjeneste på $600x$ kroner. Tilsvarende gir salg av $y$ racersykler, med fortjeneste $500\mathrm{kr}$ per stykk, en fortjeneste på $500y$ kroner.

Den totale fortjenesten er summen av fortjenesten fra de to sykkeltypene:

Sveiseavdelingen bruker $2$ timer per crossykkel og $4$ timer per racersykkel, og kapasiteten er $1200$ timer per måned:

Lakkeringsavdelingen bruker $3$ timer per crossykkel og $2$ timer per racersykkel, og kapasiteten er $1000$ timer per måned:

Bedriften kan selge maksimalt $160$ crossykler og $300$ racersykler:

I tillegg kan ikke antall sykler være negativt:

Vi tegner opp de fem bibetingelsene fra b) i et koordinatsystem og finner det tillatte området (grønt), som er en firkant med hjørnepunktene $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{160,0})$, $(\mathrm{160,220})$ og $(\mathrm{0,300})$.

For et lineært optimeringsproblem vil den optimale løsningen alltid ligge i et hjørnepunkt av det tillatte området. Vi setter derfor inn hjørnepunktene i uttrykket for fortjenesten $600x+500y$:

Punktet $(\mathrm{160,220})$ er skjæringspunktet mellom $x=160$ og sveisebegrensningen $2x+4y=1200$, og gir størst fortjeneste.

Bedriften bør altså produsere og selge $160$ crossykler og $220$ racersykler. Dette gir en maksimal fortjeneste på

Fortjenesten er nå gitt ved $600x+500y+700z$, med de samme bibetingelsene som i b) utvidet med hybridsykkelen:

Dette er et optimeringsproblem med tre variabler, og løses med programvare på samme måte som i c). Løsningen viser at begge kapasitetsbegrensningene utnyttes fullt ut, samtidig som produksjonen av hybridsykler er på maksimalt nivå, $z=200$.

Vi kan verifisere dette ved å sette $z=200$ inn i de to kapasitetsbegrensningene og kreve at de er oppfylt med likhet (ressursene brukes fullt ut):

Trekker vi den første likningen fra den andre, får vi $2x=200$, altså $x=100$. Da er $y={\displaystyle \frac{200-100}{2}}=50$.

Vi kontrollerer at løsningen er tillatt: $x=100\le 160$ og $y=50\le 300$, så alle bibetingelsene er oppfylt.

Bedriften bør altså produsere $100$ crossykler, $50$ racersykler og $200$ hybridsykler. Dette gir en maksimal fortjeneste på