Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

def f(x):
    return x/(1+x**2)    # Definerer funksjonen f(x)=x/(1+x^2)

x = 0
h = 0.001
while f(x) <= f(x+h):
    x = x+h

print(x)

Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?

Gjør nødvendige beregninger, og bestem svaret som eleven ønsker å finne.

Fasit

Programmet finner (tilnærmet) x-verdien der $f(x)$ har sitt maksimum.

$f(x)$ har maksimum i $x = 1$ , og $f(1) = \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet starter med $x = 0$ og en liten skrittlengde $h = 0{,}001$ .

while-løkken sammenligner $f(x)$ med $f(x+h)$ : så lenge neste verdi er større enn nåværende verdi (dvs. $f(x) \leq f(x+h)$ ), økes $x$ med $h$ . Løkken fortsetter altså oppover langs grafen så lenge funksjonen stiger.

Når $f(x) > f(x+h)$ , er vi «over toppen» — neste steg ville gi en lavere funksjonsverdi — og løkken stopper. $x$ er da tilnærmet det punktet der $f(x)$ har sitt maksimum.

Eleven ønsker å finne x-verdien der $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ har sitt maksimum (og indirekte maksverdien $f(x)$ ).

For å finne eksakt maksimum deriverer vi $f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$ med kvotientregelen:

f'(x) = \frac{(1+x^2)\cdot 1 - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

Vi setter $f'(x) = 0$ :

1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1

Siden $f(x)$ er definert for alle reelle $x$ og vi søker maksimum for $x \geq 0$ (programmet starter i $x = 0$ og øker), er $x = 1$ løsningen.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: $f'(x) > 0$ for $0 < x < 1$ og $f'(x) < 0$ for $x > 1$ , så $x = 1$ gir lokalt (og globalt) maksimum.

Maksimalverdien er:

f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}

Programmet vil skrive ut $x \approx 1{,}000$ (det numeriske svaret avviker med høyst $h = 0{,}001$ fra eksakt svar).

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 1, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Funksjoner, Optimering

Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Sync på tvers av enheter

Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave