R1 Vår 2022

Oppgave 1-1Derivasjon av to funksjoner R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{3} + \ln x

g (x) = x \cdot e^{2 x}

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{x}$

$g^{'} (x) = (2 x + 1) e^{2 x}$

LøsningsforslagKI-generert

$f (x) = x^{3} + \ln x$

Vi deriverer ledd for ledd:

f^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{x}

(bruker ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ og ${(x^{n})}^{'} = n x^{n - 1}$ )

$g (x) = x \cdot e^{2 x}$

Vi bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med

u = x, v = e^{2 x}

u^{'} = 1, v^{'} = 2 e^{2 x} (kjerneregelen)

g^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} + 2 x e^{2 x} = (1 + 2 x) e^{2 x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

e^{2 x} - e^{x} = 2

Løs likningen $e^{2 x} - e^{x} = 2$ .

Fasit

$x = \ln 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $u = e^{x}$ (der $u > 0$ ) og skriver om likningen:

e^{2 x} - e^{x} = 2 ⟹ u^{2} - u = 2 ⟹ u^{2} - u - 2 = 0

Vi løser andregradslikningen:

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

u_{1} = 2 u_{2} = - 1

Siden $u = e^{x} > 0$ for alle $x$ , forkaster vi $u_{2} = - 1$ .

Vi tilbakesubstituerer $u_{1} = 2$ :

e^{x} = 2 ⟹ x = \ln 2

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem grenseverdien

\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} + x - 12}

Bestem grenseverdien $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} + x - 12}$ .

Fasit

$\frac{1}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 3$ i uttrykket og ser at vi får formen $\frac{0}{0}$ :

\frac{3 - 3}{3^{2} + 3 - 12} = \frac{0}{0}

Dette er en ubestemt form. Vi faktoriserer nevneren:

x^{2} + x - 12 = (x - 3) (x + 4)

Nå kan vi forkorte den felles faktoren $(x - 3)$ i teller og nevner (for $x \neq 3$ ):

\frac{x - 3}{x^{2} + x - 12} = \frac{x - 3}{(x - 3) (x + 4)} = \frac{1}{x + 4}

Grenseverdien kan vi nå beregne direkte:

\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} + x - 12} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{3 + 4} = \frac{𝟏}{𝟕}

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Tre punkter vinkelrett og kollineær R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har tre punkter $A (1,2)$ , $B (- 1,5)$ og $C (t, 4)$ der $t \in ℝ$ .

Bestem $t$ slik at $∠ B A C = 90 °$ .

Bestem $t$ slik at $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

Fasit

$t = 4$

$t = - \frac{1}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har punktene $A (1,2)$ , $B (- 1,5)$ og $C (t, 4)$ .

Vi finner vektorene fra $A$ :

\vec{A B} = B - A = (- 1 - 1, 5 - 2) = (- 2, 3)

\vec{A C} = C - A = (t - 1, 4 - 2) = (t - 1, 2)

Vinkelen $∠ B A C = 90 °$ betyr at $\vec{A B} ⟂ \vec{A C}$ , det vil si at skalarproduktet er null:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0

(- 2) (t - 1) + 3 \cdot 2 = 0

- 2 t + 2 + 6 = 0

- 2 t + 8 = 0

t = 4

$t = 4$

$A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje (er kollineære) når $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle. To vektorer er parallelle når determinanten er null:

\vec{A B} \times \vec{A C} = 0

(- 2) \cdot 2 - 3 \cdot (t - 1) = 0

- 4 - 3 t + 3 = 0

- 3 t - 1 = 0

t = - \frac{1}{3}

$t = - \frac{1}{3}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

def f(x):
    return x/(1+x**2)    # Definerer funksjonen f(x)=x/(1+x^2)

x = 0
h = 0.001
while f(x) <= f(x+h):
    x = x+h

print(x)

Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?

Gjør nødvendige beregninger, og bestem svaret som eleven ønsker å finne.

Fasit

Programmet finner (tilnærmet) x-verdien der $f (x)$ har sitt maksimum.

$f (x)$ har maksimum i $x = 1$ , og $f (1) = \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet starter med $x = 0$ og en liten skrittlengde $h = 0,001$ .

while-løkken sammenligner $f (x)$ med $f (x + h)$ : så lenge neste verdi er større enn nåværende verdi (dvs. $f (x) \leq f (x + h)$ ), økes $x$ med $h$ . Løkken fortsetter altså oppover langs grafen så lenge funksjonen stiger.

Når $f (x) > f (x + h)$ , er vi «over toppen» — neste steg ville gi en lavere funksjonsverdi — og løkken stopper. $x$ er da tilnærmet det punktet der $f (x)$ har sitt maksimum.

Eleven ønsker å finne x-verdien der $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ har sitt maksimum (og indirekte maksverdien $f (x)$ ).

For å finne eksakt maksimum deriverer vi $f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ med kvotientregelen:

f^{'} (x) = \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \cdot 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

1 - x^{2} = 0 ⟹ x^{2} = 1 ⟹ x = \pm 1

Siden $f (x)$ er definert for alle reelle $x$ og vi søker maksimum for $x \geq 0$ (programmet starter i $x = 0$ og øker), er $x = 1$ løsningen.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: $f^{'} (x) > 0$ for $0 < x < 1$ og $f^{'} (x) < 0$ for $x > 1$ , så $x = 1$ gir lokalt (og globalt) maksimum.

Maksimalverdien er:

f (1) = \frac{1}{1 + 1^{2}} = \frac{1}{2}

Programmet vil skrive ut $x \approx 1,000$ (det numeriske svaret avviker med høyst $h = 0,001$ fra eksakt svar).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Funksjoner, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1, & x < 2 \\ x - t, & x \geq 2 \end{matrix}

For hånd

Bestem tallet $t$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

For hånd

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 2$ for den verdien av $t$ du fant i oppgave a).

Fasit

$t = - 3$

$f$ er ikke deriverbar i $x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 2$ , må venstre- og høyregrensene møtes i samme punkt. Det vil si at de to deluttrykkene må gi samme funksjonsverdi i skjøtepunktet $x = 2$ :

\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x)

x^{2} + 1 |_{x = 2} = x - t |_{x = 2}

2^{2} + 1 = 2 - t

5 = 2 - t

t = - 3

For $t = - 3$ er $f$ kontinuerlig i $x = 2$ .

Med $t = - 3$ er funksjonen

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 1, & x < 2 \\ x + 3, & x \geq 2 \end{matrix}

For at $f$ skal være deriverbar i $x = 2$ , må den venstrederiverte og høyrederiverte være like.

Venstrederiverte (fra $x^{2} + 1$ ):

f^{'} (x) = 2 x ⟹ f^{'} (2^{-}) = 2 \cdot 2 = 4

Høyrederiverte (fra $x + 3$ ):

f^{'} (x) = 1 ⟹ f^{'} (2^{+}) = 1

Siden $4 \neq 1$ , er den venstrederiverte og høyrederiverte forskjellige i $x = 2$ .

Dermed er $f$ ikke deriverbar i $x = 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er $| \vec{a} | = 2$ , $| \vec{b} | = 3$ og $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ .

Vi lar $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ og $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ .

For hånd

Bestem lengden av $\vec{u}$ og $\vec{v}$ .

Kalkulator

Bestem vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ .

Fasit

$| \vec{u} | = \sqrt{7}$ , $| \vec{v} | = 2 \sqrt{91}$

Vinkelen mellom $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er omtrent $134 °$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $| \vec{w} |^{2} = \vec{w} \cdot \vec{w}$ .

Lengden av $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ :

| \vec{u} |^{2} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2}

| \vec{u} |^{2} = 2^{2} + 2 \cdot (- 3) + 3^{2} = 4 - 6 + 9 = 7

| \vec{u} | = \sqrt{7}

Lengden av $\vec{v} = \vec{a} - 6 \vec{b}$ :

| \vec{v} |^{2} = (\vec{a} - 6 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} - 12 \vec{a} \cdot \vec{b} + 36 | \vec{b} |^{2}

| \vec{v} |^{2} = 2^{2} - 12 \cdot (- 3) + 36 \cdot 3^{2} = 4 + 36 + 324 = 364

| \vec{v} | = \sqrt{364} = 2 \sqrt{91}

Vi bruker formelen $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$ .

Først regner vi ut prikkproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :

\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 6 \vec{b}) = | \vec{a} |^{2} - 6 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 | \vec{b} |^{2}

= | \vec{a} |^{2} - 5 \vec{a} \cdot \vec{b} - 6 | \vec{b} |^{2}

= 4 - 5 \cdot (- 3) - 6 \cdot 9 = 4 + 15 - 54 = - 35

Deretter setter vi inn i vinkelformelen:

\cos θ = \frac{- 35}{\sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{91}} = \frac{- 35}{2 \sqrt{637}} = \frac{- 35}{2 \cdot 7 \sqrt{13}} = \frac{- 5}{2 \sqrt{13}}

θ = \arccos (\frac{- 5}{2 \sqrt{13}}) \approx 134 °

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Største intervall for omvendt funksjon R1 V22

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 6 x

Bestem det største intervallet $I = [a, b]$ slik at $1 \in I$ og $f$ har en omvendt funksjon når $I$ er definisjonsmengden til $f$ .

Fasit

$I = [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal ha en omvendt funksjon på et intervall, må $f$ være injektiv (éntydig) på det intervallet. En tilstrekkelig betingelse er at $f$ er strengt monoton.

Vi finner de kritiske punktene til $f$ ved å sette den deriverte lik null:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6

3 x^{2} - 6 = 0 ⟹ x^{2} = 2 ⟹ x = \pm \sqrt{2}

Vi analyserer fortegnet til $f^{'} (x)$ :

Intervall	$f^{'} (x)$	$f$
$x < - \sqrt{2}$	$+$	stigende
$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$	$-$	avtakende
$x > \sqrt{2}$	$+$	stigende

$f$ er strengt avtakende (og dermed injektiv) på $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ .

Siden $1 \in [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ ( $\sqrt{2} \approx 1,41$ ), og dette er det lengste sammenhengende intervallet der $f$ er monoton og som inneholder $1$ , er svaret

I = [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjoner, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen $T$ til et objekt etter $t$ minutter være gitt ved

\ln (T - T_{0}) = - k \cdot t + r

hvor $T_{0}$ er romtemperaturen, og der $k$ og $r$ er konstanter.

I et rom med temperatur $22 ° C$ setter vi en kopp med kaffe. Ved tidspunktet $t = 0$ er temperaturen i kaffen $82 ° C$ . Etter 2 minutter er temperaturen $66 ° C$ .

Hvor lang tid tar det før temperaturen i kaffen er mindre enn $40 ° C$ ?

Fasit

Etter ca. 7,76 minutter (etter litt over 7 minutter og 45 sekunder) er temperaturen lavere enn 40 °C.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker Newtons avkjølingslov på formen

\ln (T - T_{0}) = - k \cdot t + r

med $T_{0} = 22$ .

Bestem $r$ :

Ved $t = 0$ er $T = 82$ :

\ln (82 - 22) = - k \cdot 0 + r ⟹ r = \ln (60)

Bestem $k$ :

Etter 2 minutter er $T = 66$ :

\ln (66 - 22) = - k \cdot 2 + \ln (60)

\ln (44) = - 2 k + \ln (60)

k = \frac{\ln (60) - \ln (44)}{2}

CAS gir $k \approx 0,1551$ .

Finn tidspunktet for $T = 40$ :

Vi setter $T = 40$ og løser for $t$ :

\ln (40 - 22) = - k \cdot t + \ln (60)

\ln (18) = - k t + \ln (60)

t = \frac{\ln (60) - \ln (18)}{k} = \frac{2 (\ln (60) - \ln (18))}{\ln (60) - \ln (44)}

CAS gir

t \approx 7,76 minutter

Temperaturen i kaffen er altså lavere enn 40 °C etter litt over 7 minutter og 45 sekunder.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Eksponentialfunksjon, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Algoritme og kode for rettvinklet trekant R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt tre punkter $A (a, b)$ , $B (c, d)$ og $C (e, f)$ .

For hånd

Beskriv en algoritme som du kan bruke til å avgjøre om $△ A B C$ er en rettvinklet trekant.

Oppsett for hånd

Skriv en kode basert på algoritmen du beskrev i oppgave a). Input skal være koordinatene $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ og $f$ . Output skal være en av følgende tekster:

Punktene danner en rettvinklet trekant.
Punktene danner ikke en rettvinklet trekant.

Fasit

Algoritme: Beregn kvadratet av de tre sidelengdene. Sorter dem. Sjekk om den største er lik summen av de to andre.

Se kode under.

LøsningsforslagKI-generert

En rettvinklet trekant oppfyller Pytagoras’ setning: den lengste siden (hypotenusen) $c$ tilfredsstiller $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , der $a$ og $b$ er de to katetene.

Algoritme:

Beregn kvadratet av de tre sidelengdene:

| A B |^{2} = {(c - a)}^{2} + {(d - b)}^{2}

| B C |^{2} = {(e - c)}^{2} + {(f - d)}^{2}

| C A |^{2} = {(a - e)}^{2} + {(b - f)}^{2}

Sorter de tre verdiene fra minst til størst: kall dem $s_{1} \leq s_{2} \leq s_{3}$ .
Sjekk om $s_{3} = s_{1} + s_{2}$ .
- Hvis ja: punktene danner en rettvinklet trekant.
- Hvis nei: punktene danner ikke en rettvinklet trekant.

Vi bruker kvadrerte sidelengder (ikke sidelengder) for å unngå avrundingsfeil ved kvadratrøtter.

def er_rettvinklet(a, b, c, d, e, f):
    AB2 = (c - a)**2 + (d - b)**2
    BC2 = (e - c)**2 + (f - d)**2
    CA2 = (a - e)**2 + (b - f)**2

    sider = sorted([AB2, BC2, CA2])

    if sider[2] == sider[0] + sider[1]:
        print("Punktene danner en rettvinklet trekant.")
    else:
        print("Punktene danner ikke en rettvinklet trekant.")

a = float(input("a: "))
b = float(input("b: "))
c = float(input("c: "))
d = float(input("d: "))
e = float(input("e: "))
f = float(input("f: "))

er_rettvinklet(a, b, c, d, e, f)

Forklaring steg for steg:

Linje 2–4: Beregner kvadratet av de tre sidelengdene $| A B |^{2}$ , $| B C |^{2}$ og $| C A |^{2}$ med avstandsformelen.
Linje 6: Sorterer listen slik at den minste verdien kommer først og den største sist.
Linje 8–11: Sjekker Pytagoras’ setning på de kvadrerte verdiene. Hvis den største verdien ( $𝚜𝚒𝚍𝚎𝚛[𝟸]$ ) er lik summen av de to andre ( $𝚜𝚒𝚍𝚎𝚛[𝟶] + 𝚜𝚒𝚍𝚎𝚛[𝟷]$ ), er trekanten rettvinklet.
Linje 13–18: Leser inn koordinatene fra brukeren med input() og konverterer til desimaltall med float().
Linje 20: Kaller funksjonen med de innleste koordinatene.

Eksempel – $A (0, 0)$ , $B (3, 0)$ , $C (0, 4)$ (3-4-5-trekanten):

| A B |^{2} = 9, | B C |^{2} = 25, | C A |^{2} = 16

Sortert: $[9, 16, 25]$ . Sjekk: $25 = 9 + 16$ ✓ → «Punktene danner en rettvinklet trekant.»

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15

Et punkt $P (s, g (s))$ ligger på grafen til $g$ , der $s \in ⟨ 1,5 ⟩$ . Punktene $A (1,0)$ , $B (s, 0)$ og $P (s, g (s))$ danner en trekant $A B P$ .

Bestem den eksakte verdien av $s$ som gir det største arealet til trekanten. Hvor stort er dette arealet?

Fasit

$s = 2 \sqrt{2} + 1$ , største areal $= 32$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $g (x)$ for å finne nullpunktene:

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15 = (x - 1) (x + 3) (x - 5)

Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ .

Arealfunksjonen

Trekanten $A B P$ har:

Grunnlinje $A B$ langs $x$ -aksen fra $A (1,0)$ til $B (s, 0)$ , med lengde $s - 1$
Høyde lik den loddrette avstanden fra $P (s, g (s))$ til $x$ -aksen, altså $| g (s) |$

For $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ er $g (s) < 0$ (grafen ligger under $x$ -aksen mellom nullpunktene $x = 1$ og $x = 5$ ), så $| g (s) | = - g (s)$ .

Arealet til trekanten er:

T (s) = \frac{1}{2} \cdot (s - 1) \cdot (- g (s)) = \frac{1}{2} (s - 1) (- (s^{3} - 3 s^{2} - 13 s + 15))

T (s) = - \frac{1}{2} s^{4} + 2 s^{3} + 5 s^{2} - 14 s + \frac{15}{2}

Finn maksimum

Vi deriverer og setter $T^{'} (s) = 0$ :

T^{'} (s) = - 2 s^{3} + 6 s^{2} + 10 s - 14

T^{'} (s) = 0 ⟹ s = - 2 \sqrt{2} + 1, s = 1, s = 2 \sqrt{2} + 1

Siden $s \in ⟨ 1, 5 ⟩$ er den eneste relevante løsningen $s = 2 \sqrt{2} + 1 \approx 3,83$ .

Verifikasjon med andrederivattesten: $T^{''} (s) = - 6 s^{2} + 12 s + 10$ , og

T^{''} (2 \sqrt{2} + 1) = - 32 < 0

så $s = 2 \sqrt{2} + 1$ gir et maksimum.

Beregn arealet

g (2 \sqrt{2} + 1) = - 16 \sqrt{2}

T (2 \sqrt{2} + 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{2} + 1 - 1) \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 2 = 32

Det største arealet til trekanten $A B P$ er $𝟑𝟐$ , og det oppnås for $s = 2 \sqrt{2} + 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båten til en pirat kjører med konstant fart. Posisjonen ${\vec{r}}_{1}$ til båten etter $t$ timer er

{\vec{r}}_{1} (t) = [2 + 24 t, 4 + 20 t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Kalkulator

Hvor stor er banefarten til båten?

Politiet ønsker å stoppe piraten. Samtidig som piraten er i punktet $(2,4)$ , starter en politibåt sin jakt. Politibåten starter i punktet $(0,10)$ og holder konstant fart langs en rett linje. Posisjon ${\vec{r}}_{2}$ til politibåten er

{\vec{r}}_{2} (t) = [26 t, 10 - 22 t]

For hånd

Undersøk om politiet vil møte piraten.

En annen politibåt starter også i $(0,10)$ . Denne båten holder også konstant fart.

Kalkulator

Hvor stor må banefarten til denne båten være dersom de skal treffe piraten i punktet $(8,9)$ ?

Fasit

$4 \sqrt{61}$ km/t

Politibåten vil ikke møte piraten. Fra x-koordinaten kreves $t = 1$ , men fra y-koordinaten kreves $t = \frac{1}{7}$ .

Banefarten må være $4 \sqrt{65}$ km/t

LøsningsforslagKI-generert

Hastighetsvektoren til piratbåten finner vi ved å se på koeffisientene foran $t$ i posisjonsuttrykket:

{\vec{r}}_{1} (t) = [2 + 24 t, 4 + 20 t]

Hastighetsvektoren er ${\vec{v}}_{1} = [24, 20]$ .

Banefarten er lengden av hastighetsvektoren:

| {\vec{v}}_{1} | = \sqrt{24^{2} + 20^{2}} = \sqrt{576 + 400} = \sqrt{976} = 4 \sqrt{61} \approx 31,2 km/t

For at båtene skal møtes, må de være på samme sted til samme tid, altså ${\vec{r}}_{1} (t) = {\vec{r}}_{2} (t)$ . Det gir likningssystemet:

2 + 24 t = 26 t og 4 + 20 t = 10 - 22 t

Fra den første likningen:

2 = 2 t ⟹ t = 1

Fra den andre likningen:

42 t = 6 ⟹ t = \frac{1}{7}

De to likningene gir ulike verdier for $t$ . Det finnes derfor ingen tidspunkt der begge koordinatene er like, og politibåten vil ikke møte piraten.

Vi starter med å finne tidspunktet $t$ da piratbåten er i punktet $(8, 9)$ :

2 + 24 t = 8 ⟹ t = \frac{1}{4}

Vi kontrollerer med y-koordinaten: $4 + 20 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 5 = 9$ ✓

Piratbåten er altså i $(8, 9)$ etter $\frac{1}{4}$ time.

Den andre politibåten må gå fra $(0, 10)$ til $(8, 9)$ på $\frac{1}{4}$ time. Strekningen er:

d = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(9 - 10)}^{2}} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}

Banefarten blir:

v = \frac{d}{t} = \frac{\sqrt{65}}{\frac{1}{4}} = 4 \sqrt{65} \approx 32,2 km/t

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Geometri, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Tangentpunkt og skjæringspunkt tredjegradsfunksjon og linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 3

g (x) = 2 x + 3

For hånd

Vis at grafene til de to funksjonene tangerer hverandre i ett punkt og skjærer hverandre i et annet punkt.

Einar og Lise har jobbet med slike funksjoner. De påstår å ha funnet en sammenheng:

Dersom $F (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ og $G (x) = c x + d$ , så vil grafene til $F$ og $G$ tangere hverandre.

For hånd

Avgjør om det Einar og Lise har kommet fram til, kan stemme.

Lise har funnet en sammenheng mellom $x$ -koordinaten til vendepunktet til $F$ og $x$ -koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til $F$ og $G$ .

For hånd

Hvilken sammenheng kan Lise ha funnet? Begrunn at denne sammenhengen stemmer.

Fasit

Grafene tangerer hverandre i $(0, 3)$ og skjærer hverandre i $(3, 9)$ .

Påstanden stemmer. Grafene til $F$ og $G$ tangerer alltid hverandre i punktet $(0, d)$ .

$x$ -koordinaten til skjæringspunktet er tre ganger $x$ -koordinaten til vendepunktet til $F$ . Det vil si: hvis vendepunktet har $x$ -koordinat $x_{v} = - \frac{b}{3 a}$ , så er skjæringspunktet ved $x_{s} = - \frac{b}{a} = 3 x_{v}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner skjæringspunktene ved å løse $f (x) = g (x)$ :

f (x) - g (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 3 - (2 x + 3) = 2 x^{3} - 6 x^{2} = 2 x^{2} (x - 3)

Vi løser $2 x^{2} (x - 3) = 0$ og får $x = 0$ (dobbelt rot) og $x = 3$ (enkel rot).

At $x = 0$ er et tangentpunkt følger av at $x = 0$ er dobbelt rot. Vi kan også vise det direkte: $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ , så $f^{'} (0) = 2$ . Siden $g^{'} (x) = 2$ har $f$ og $g$ samme stigningstall ved $x = 0$ . Punktet er $(0, g (0)) = (0, 3)$ .

At $x = 3$ er et ordinært skjæringspunkt følger av at det er enkel rot. Vi kan se det ved at $f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 12 \cdot 3 + 2 = 54 - 36 + 2 = 20 \neq 2 = g^{'} (3)$ ; grafene har ulike stigningstall der. Punktet er $(3, g (3)) = (3, 9)$ .

Vi undersøker $F (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ og $G (x) = c x + d$ .

F (x) - G (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d - c x - d = a x^{3} + b x^{2} = x^{2} (a x + b)

Dette uttrykket har alltid $x = 0$ som dobbelt rot (forutsatt $a \neq 0$ ). En dobbelt rot betyr at grafene berører hverandre uten å krysse, altså at de tangerer hverandre.

Vi kan verifisere: $F^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ , og $F^{'} (0) = c = G^{'} (0)$ . Grafene har altså samme stigningstall i $x = 0$ , og de møtes i punktet $(0, d)$ .

Påstanden stemmer: Grafene til $F$ og $G$ tangerer alltid hverandre i punktet $(0, d)$ .

Fra del b) vet vi at $F (x) - G (x) = x^{2} (a x + b)$ , som gir skjæringspunktet ved $x = - \frac{b}{a}$ (i tillegg til tangentpunktet $x = 0$ ).

Vendepunktet til $F$ finner vi ved å sette $F^{''} (x) = 0$ :

F^{''} (x) = 6 a x + 2 b = 0 ⟹ x_{v} = - \frac{b}{3 a}

Vi ser sammenhengen:

x_{s} = - \frac{b}{a} = 3 \cdot (- \frac{b}{3 a}) = 3 x_{v}

Sammenhengen Lise har funnet: $x$ -koordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til $F$ og $G$ er alltid tre ganger $x$ -koordinaten til vendepunktet til $F$ .

Begrunnelse: Dette følger direkte av faktoriseringen $F (x) - G (x) = x^{2} (a x + b)$ , som gir skjæringspunktet ved $x = - b / a$ , kombinert med at vendepunktet til en tredjegradsfunksjon $a x^{3} + b x^{2} + \dots$ alltid ligger ved $x = - b / (3 a)$ . Disse to verdiene er alltid i forholdet $3 : 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjoner, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon av to funksjoner R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Tre punkter vinkelrett og kollineær R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver

Oppgave 2-1Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Største intervall for omvendt funksjon R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Algoritme og kode for rettvinklet trekant R1 V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Tangentpunkt og skjæringspunkt tredjegradsfunksjon og linje

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1·Derivasjon av to funksjoner R1 V22

Oppgave 1-2·Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22

Oppgave 1-3·Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22

Oppgave 1-4·Tre punkter vinkelrett og kollineær R1 V22

Oppgave 1-5·Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver

Oppgave 2-1·Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Oppgave 2-2·Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

Oppgave 2-3·Største intervall for omvendt funksjon R1 V22

Oppgave 2-4·Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Oppgave 2-5·Algoritme og kode for rettvinklet trekant R1 V22

Oppgave 2-6·Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Oppgave 2-7·Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Oppgave 2-8·Tangentpunkt og skjæringspunkt tredjegradsfunksjon og linje

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av to funksjoner R1 V22

Oppgave 1-2Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22

Oppgave 1-3Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22

Oppgave 1-4Tre punkter vinkelrett og kollineær R1 V22

Oppgave 1-5Programmering maksimum av funksjon med while-løkke

Oppgave 2-1Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Oppgave 2-2Vektorer lengde og vinkel med prikkprodukt R1 V22

Oppgave 2-3Største intervall for omvendt funksjon R1 V22

Oppgave 2-4Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell

Oppgave 2-5Algoritme og kode for rettvinklet trekant R1 V22

Oppgave 2-6Trekantareal med punkt på tredjegradsgraf optimering

Oppgave 2-7Piratbåt og politibåt posisjonsvektorer

Oppgave 2-8Tangentpunkt og skjæringspunkt tredjegradsfunksjon og linje