Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x < 2 \\ x-t, & x \geq 2 \end{cases}

Bestem tallet $t$ slik at $f$ blir en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x=2$ for den verdien av $t$ du fant i oppgave a).

Fasit

$t = -3$

$f$ er ikke deriverbar i $x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x = 2$ , må venstre- og høyregrensene møtes i samme punkt. Det vil si at de to deluttrykkene må gi samme funksjonsverdi i skjøtepunktet $x = 2$ :

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x)

x^2 + 1 \big|_{x=2} = x - t \big|_{x=2}

2^2 + 1 = 2 - t

5 = 2 - t

t = -3

For $t = -3$ er $f$ kontinuerlig i $x = 2$ .

Med $t = -3$ er funksjonen

f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x < 2 \\ x+3, & x \geq 2 \end{cases}

For at $f$ skal være deriverbar i $x = 2$ , må den venstrederiverte og høyrederiverte være like.

Venstrederiverte (fra $x^2 + 1$ ):

f'(x) = 2x \implies f'(2^-) = 2 \cdot 2 = 4

Høyrederiverte (fra $x + 3$ ):

f'(x) = 1 \implies f'(2^+) = 1

Siden $4 \neq 1$ , er den venstrederiverte og høyrederiverte forskjellige i $x = 2$ .

Dermed er $f$ ikke deriverbar i $x = 2$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner, Derivasjon

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Sync på tvers av enheter

Kontinuitet og deriverbarhet stykkvis funksjon R1 V22

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave