Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mye elektrisk energi Norge produserte noen utvalgte år.

År	1950	1960	1970	1981	1990	2000	2012	2020
Produksjon (GWh)	16 924	31 121	57 606	93 397	121 848	142 816	147 716	154 197

Bruk tallene fra tabellen til å lage en logistisk modell $g$ som viser oss Norges energiproduksjon $x$ år etter 1950.

I hvilket år økte produksjonen raskest ifølge modellen $g$ ?

Tabellen nedenfor viser forbruket av elektrisk energi i Norge noen utvalgte år.

År	1950	1960	1970	1981	1990	2000	2012	2020
Forbruk (GWh)	16 924	31 253	56 770	88 168	105 941	123 761	129 900	133 725

Bruk tallene fra tabellen til å lage en modell som du mener vi kan bruke til å vurdere om vi på sikt vil være selvforsynte med elektrisk energi.

Fasit

$g(x) = \dfrac{157303}{1 + 9{,}6396 \cdot e^{-0{,}08672x}}$ , $r^2 = 0{,}999$

Produksjonen økte raskest i 1976

Nei — asymptoten for produksjon ( $\approx 157\,300~\mathrm{GWh}$ ) er høyere enn for forbruk ( $\approx 136\,400~\mathrm{GWh}$ ), så modellen tilsier at Norge på sikt vil være selvforsynt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn produksjonstallene i GeoGebra CAS og definerer den logistiske modellen med de gitte parametrene fra regresjon. Se linje 1–4 i CAS-utklippet.

CAS-utklipp for alle deloppgaver

En logistisk modell har formen

g(x) = \frac{L}{1 + a \cdot e^{-kx}}

der $L$ er kapasitetsgrensen (asymptoten), $a$ bestemmer startpunktet og $k$ vekstraten. Vi bruker logistisk regresjon på produksjonstallene med $x$ = antall år etter 1950.

Regresjonen gir (se linje 1 i CAS):

\textbf{g(x) = \frac{157303}{1 + 9{,}6396 \cdot e^{-0{,}08672x}}}

med $r^2 = 0{,}999$ — svært god tilpasning.

I en logistisk modell er veksthastigheten størst i vendepunktet, der $g(x) = \frac{L}{2}$ .

$x$ -koordinaten til vendepunktet er

x = \frac{\ln(a)}{k} = \frac{\ln(9{,}6396)}{0{,}08672} \approx 26{,}1

Vi verifiserer med Vendepunkt(g) i CAS (se linje 2), som bekrefter $x \approx 26{,}1$ og $y = \frac{L}{2} \approx 78\,652~\mathrm{GWh}$ .

1950 + 26{,}1 \approx 1976

Ifølge modellen økte produksjonen raskest i løpet av 1976.

Vi lager en tilsvarende logistisk modell for forbruket. Logistisk regresjon på forbrukstallene (se linje 4 i CAS) gir:

f(x) = \frac{136387}{1 + 7{,}4388 \cdot e^{-0{,}08320x}}

For å vurdere selvforsyningen sammenligner vi de to modellenes kapasitetsgrenser (asymptotene):

Modell	Asymptote $L$
Produksjon $g(x)$	$\approx 157\,300~\mathrm{GWh}$
Forbruk $f(x)$	$\approx 136\,400~\mathrm{GWh}$

Produksjonsmodellen har en høyere asymptote enn forbruksmodellen. Det betyr at ifølge modellene vil produksjonen over tid stabilisere seg på et høyere nivå enn forbruket.

Modellen tilsier at Norge på sikt vil være selvforsynt med elektrisk energi.

Det er likevel viktig å understreke usikkerheten: begge modeller er logistiske, og det er usikkert om veksten faktisk vil følge dette mønsteret langt inn i fremtiden. Energiforbruk og -produksjon påvirkes av politikk, teknologiendringer og klimaforhold som modellen ikke fanger opp.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Funksjoner

Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave