Programmet finner en tangentlinje til $f(x) = \dfrac{6x-3}{x-1}$ med stigningstall $-3$.

Linje for linje:

• Linje 1–2: Definerer funksjonen $f(x) = \dfrac{6x-3}{x-1}$.
• Linje 4–6: Definerer en numerisk tilnærming til den deriverte:

$$Df(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \quad h = 0{,}00001$$

Dette er Newton-differenskvotienten som gir en god tilnærming til $f'(x)$ for liten $h$.

• Linje 8: Setter startverdien $a = 1{,}5$.
• Linje 9–10: while-løkken øker $a$ med $0{,}001$ så lenge $Df(a) < -3$. Den stopper altså ved den første verdien av $a$ der $f'(a) \geq -3$.
• Linje 12: Beregner konstantleddet $b$ i tangentlinjen $y = -3x + b$ ved berøringspunktet $(a,\, f(a))$.
• Linje 14: Skriver ut tangentlinjen.

Finn berøringspunktet analytisk:

Vi beregner den deriverte med kvotientregelen:

$$f'(x) = \frac{6(x-1) - (6x-3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{6x - 6 - 6x + 3}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$$

Løkken leter etter $x$ der $f'(x) = -3$:

$$\frac{-3}{(x-1)^2} = -3 \implies (x-1)^2 = 1 \implies x = 0 \text{ eller } x = 2$$

Startverdi er $a = 1{,}5$. For $x \in (1,\, 2)$ er $(x-1)^2 < 1$, slik at $f'(x) < -3$. Løkken øker derfor $a$ inntil $a = 2$, der $f'(2) = -3$.

Beregn $b$ på linje 12:

$$f(2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2 - 1} = \frac{9}{1} = 9$$

Tangentlinjen går gjennom $(2,\, 9)$ med stigningstall $-3$:

$$b = f(a) - Df(a) \cdot a = 9 - (-3) \cdot 2 = 9 + 6 = \mathbf{\underline{\underline{15}}}$$

Tangentlinjen er $y = -3x + 15$.