Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen $Q$ i blitsen $t$ sekunder etter at den går av, er gitt ved

Q(t) = Q_0\left(1 - e^{-2{,}3t}\right), \quad t \geq 0

Her er $Q_0$ den maksimale ladningen i blitsen.

Bestem den omvendte funksjonen til $Q$ .

Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen?

Fasit

$t(Q) = -\dfrac{10}{23}\ln\!\left(1 - \dfrac{Q}{Q_0}\right)$

$t \approx 1{,}00$ sekunder

LøsningsforslagKI-generert

Vi har

Q(t) = Q_0\left(1 - e^{-2{,}3t}\right)

og ønsker å uttrykke $t$ som funksjon av $Q$ .

Q = Q_0\left(1 - e^{-2{,}3t}\right)

\frac{Q}{Q_0} = 1 - e^{-2{,}3t}

e^{-2{,}3t} = 1 - \frac{Q}{Q_0}

-2{,}3t = \ln\!\left(1 - \frac{Q}{Q_0}\right)

t = -\frac{1}{2{,}3}\ln\!\left(1 - \frac{Q}{Q_0}\right) = -\frac{10}{23}\ln\!\left(1 - \frac{Q}{Q_0}\right)

Den omvendte funksjonen er altså

t(Q) = -\frac{10}{23}\ln\!\left(1 - \frac{Q}{Q_0}\right)

90 prosent av maksimal ladning er $Q = 0{,}9\,Q_0$ . Vi setter inn i $t(Q)$ :

t(0{,}9\,Q_0) = -\frac{10}{23}\ln\!\left(1 - \frac{0{,}9\,Q_0}{Q_0}\right) = -\frac{10}{23}\ln(0{,}1) = \frac{10}{23}\ln(10)

t = \frac{10 \cdot 2{,}303\ldots}{23} \approx 1{,}00 \text{ sekunder}

Det tar altså omtrent 1 sekund før blitsen har fått 90 % av den maksimale ladningen.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter