R1 Høst 2022

Oppgave 1-1Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avgjør for hver av funksjonene nedenfor om den har en omvendt funksjon. Husk å begrunne svaret.

$f (x) = x^{4}$ , $D_{f} = ℝ$

$g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ , $D_{g} = [2, \to ⟩$

Fasit

$f (x) = x^{4}$ har ikke omvendt funksjon på $D_{f} = ℝ$ .

$g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ har omvendt funksjon på $D_{g} = [2, \to ⟩$ . Den omvendte funksjonen er $g^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- \ln x}$ , $D_{g^{- 1}} = ⟨ 0, 1]$ .

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon har omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ulike $x$ -verdier alltid gir ulike funksjonsverdier.

Vi ser at

f (1) = 1^{4} = 1 og f (- 1) = {(- 1)}^{4} = 1

Her er $f (1) = f (- 1)$ , men $1 \neq - 1$ . Siden to ulike $x$ -verdier gir samme funksjonsverdi, er $f$ ikke injektiv på $ℝ$ .

$f (x) = x^{4}$ har derfor ingen omvendt funksjon på $D_{f} = ℝ$ .

Vi undersøker om $g (x) = e^{- {(x - 2)}^{2}}$ er injektiv på $D_{g} = [2, \to ⟩$ .

Deriverer:

g^{'} (x) = - 2 (x - 2) \cdot e^{- {(x - 2)}^{2}}

For $x > 2$ er $(x - 2) > 0$ , og siden $e^{- {(x - 2)}^{2}} > 0$ alltid, får vi

g^{'} (x) = - 2 (x - 2) \cdot e^{- {(x - 2)}^{2}} < 0

$g$ er altså strengt avtakende på $[2, \to ⟩$ . En strengt monoton funksjon er injektiv, så $g$ har omvendt funksjon.

Vi finner den omvendte funksjonen ved å bytte om $x$ og $y$ og løse for $y$ :

x = e^{- {(y - 2)}^{2}}

\ln x = - {(y - 2)}^{2}

{(y - 2)}^{2} = - \ln x

y - 2 = \sqrt{- \ln x}

(Positiv rot siden $y \geq 2$ på $D_{g}$ .)

y = 2 + \sqrt{- \ln x}

Definisjonsmengde for $g^{- 1}$ : Verdimengden til $g$ på $[2, \to ⟩$ blir definisjonsmengden til $g^{- 1}$ . Vi har $g (2) = e^{0} = 1$ og $g (x) \to 0$ når $x \to \infty$ , så verdimengden til $g$ er $⟨ 0, 1]$ .

Dermed:

g^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- \ln x}, D_{g^{- 1}} = ⟨ 0, 1]

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Bestem grenseverdien

\lim_{h \to 0} \frac{{(4 + h)}^{2} - 4^{2}}{h}

Fasit

$8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider og forenkler telleren algebraisk:

\lim_{h \to 0} \frac{{(4 + h)}^{2} - 4^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{16 + 8 h + h^{2} - 16}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 h + h^{2}}{h}

Vi faktoriserer $h$ i telleren og forkorter:

= \lim_{h \to 0} \frac{h (8 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (8 + h)

Nå kan vi sette inn $h = 0$ :

= 8 + 0 = 8

Grenseverdien er $8$ , og dette er per definisjon den deriverte av $f (x) = x^{2}$ i punktet $x = 4$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Derivasjon, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Sammenlign tre uttrykk med rot, lg og ln

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hvilke av tallene er mindre enn 10? Husk å begrunne svarene.

3 \sqrt{11} 10 \lg 9 5 \ln 9

Fasit

$3 \sqrt{11}$ og $10 \lg 9$ er mindre enn 10. $5 \ln 9$ er større enn 10.

LøsningsforslagKI-generert

$3 \sqrt{11}$ : Vi sammenligner ved å kvadrere begge sider (begge er positive):

{(3 \sqrt{11})}^{2} = 9 \cdot 11 = 99 < 100 = 10^{2}

Siden $99 < 100$ , er $3 \sqrt{11} < 10$ . ✓

$10 \lg 9$ : Vi deler begge sider på 10 og sammenligner $\lg 9$ med 1:

\lg 9 < \lg 10 = 1

siden $\lg$ er en voksende funksjon og $9 < 10$ . Derfor er $10 \lg 9 < 10$ . ✓

$5 \ln 9$ : Vi deler begge sider på 5 og sammenligner $\ln 9$ med 2:

\ln 9 \overset{?}{>} 2 = \ln e^{2}

Vi vet at $e \approx 2,718$ , så $e^{2} \approx 7,39 < 9$ . Siden $\ln$ er voksende og $9 > e^{2}$ , er $\ln 9 > 2$ . Dermed er $5 \ln 9 > 10$ . ✗

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (1, 1)$ , $B (9, 7)$ og $P (5, 9)$ .

Vis at $∠ A P B = 90 °$ .

En linje $ℓ$ er parallell med $\vec{A B}$ og går gjennom punktet $P$ .

Det er også et annet punkt $Q$ på $ℓ$ som er slik at $∠ A Q B = 90 °$ .

Bestem koordinatene til $Q$ .

Fasit

$\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ , så $∠ A P B = 90 °$

$Q = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker prikkproduktet til å vise at $∠ A P B = 90 °$ . To vektorer er vinkelrette hvis og bare hvis prikkproduktet er null.

Vi regner ut vektorene fra $P$ til henholdsvis $A$ og $B$ :

\vec{P A} = A - P = (1 - 5, 1 - 9) = (- 4, - 8)

\vec{P B} = B - P = (9 - 5, 7 - 9) = (4, - 2)

Prikkproduktet er:

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = (- 4) \cdot 4 + (- 8) \cdot (- 2) = - 16 + 16 = 0

Siden $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ er vektorene vinkelrette, og $∠𝐀𝐏𝐁 = 𝟗𝟎°$ .

Linjen $ℓ$ er parallell med $\vec{A B}$ og går gjennom $P$ . Vi finner retningsvektoren:

\vec{A B} = B - A = (9 - 1, 7 - 1) = (8, 6)

Alle punkter på $ℓ$ kan skrives som:

Q = P + t \cdot \vec{A B} = (5 + 8 t, 9 + 6 t), t \in ℝ

For at $∠ A Q B = 90 °$ må $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ .

Vi regner ut vektorene fra $Q$ :

\vec{Q A} = A - Q = (1 - (5 + 8 t), 1 - (9 + 6 t)) = (- 4 - 8 t, - 8 - 6 t)

\vec{Q B} = B - Q = (9 - (5 + 8 t), 7 - (9 + 6 t)) = (4 - 8 t, - 2 - 6 t)

Prikkproduktet settes lik null:

\begin{matrix} \vec{Q A} \cdot \vec{Q B} & = (- 4 - 8 t) (4 - 8 t) + (- 8 - 6 t) (- 2 - 6 t) \\ = (- 4 - 8 t) (4 - 8 t) + (8 + 6 t) (2 + 6 t) \\ = (- 16 + 32 t - 32 t + 64 t^{2}) + (16 + 48 t + 12 t + 36 t^{2}) \\ = - 16 + 64 t^{2} + 16 + 60 t + 36 t^{2} \\ = 100 t^{2} + 60 t \\ = 20 t (5 t + 3) \end{matrix}

20 t (5 t + 3) = 0

t = 0 eller t = - \frac{3}{5}

$t = 0$ gir $Q = P = (5, 9)$ , som er det punktet vi allerede kjenner fra oppgave a). Det andre løsningen gir:

Q = (5 + 8 \cdot (- \frac{3}{5}), 9 + 6 \cdot (- \frac{3}{5})) = (5 - \frac{24}{5}, 9 - \frac{18}{5}) = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})

$Q = (\frac{1}{5}, \frac{27}{5})$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Tangentlinje funnet med derivasjonsprogram

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Marianne har skrevet følgende program:

Program som finner tangentlinje til f(x)

Bestem verdien av variabelen $b$ som defineres på linje 12.

Fasit

$b = 15$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet finner en tangentlinje til $f (x) = \frac{6 x - 3}{x - 1}$ med stigningstall $- 3$ .

Linje for linje:

Linje 1–2: Definerer funksjonen $f (x) = \frac{6 x - 3}{x - 1}$ .
Linje 4–6: Definerer en numerisk tilnærming til den deriverte:

D f (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}, h = 0,00001

Dette er Newton-differenskvotienten som gir en god tilnærming til $f^{'} (x)$ for liten $h$ .

Linje 8: Setter startverdien $a = 1,5$ .
Linje 9–10: while-løkken øker $a$ med $0,001$ så lenge $D f (a) < - 3$ . Den stopper altså ved den første verdien av $a$ der $f^{'} (a) \geq - 3$ .
Linje 12: Beregner konstantleddet $b$ i tangentlinjen $y = - 3 x + b$ ved berøringspunktet $(a, f (a))$ .
Linje 14: Skriver ut tangentlinjen.

Finn berøringspunktet analytisk:

Vi beregner den deriverte med kvotientregelen:

f^{'} (x) = \frac{6 (x - 1) - (6 x - 3) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{6 x - 6 - 6 x + 3}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}

Løkken leter etter $x$ der $f^{'} (x) = - 3$ :

\frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} = - 3 ⟹ {(x - 1)}^{2} = 1 ⟹ x = 0 eller x = 2

Startverdi er $a = 1,5$ . For $x \in (1, 2)$ er ${(x - 1)}^{2} < 1$ , slik at $f^{'} (x) < - 3$ . Løkken øker derfor $a$ inntil $a = 2$ , der $f^{'} (2) = - 3$ .

Beregn $b$ på linje 12:

f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2 - 1} = \frac{9}{1} = 9

Tangentlinjen går gjennom $(2, 9)$ med stigningstall $- 3$ :

b = f (a) - D f (a) \cdot a = 9 - (- 3) \cdot 2 = 9 + 6 = 𝟏𝟓

Tangentlinjen er $y = - 3 x + 15$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Programmering, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor mye elektrisk energi Norge produserte noen utvalgte år.

År	1950	1960	1970	1981	1990	2000	2012	2020
Produksjon (GWh)	16 924	31 121	57 606	93 397	121 848	142 816	147 716	154 197

Krever PC

Bruk tallene fra tabellen til å lage en logistisk modell $g$ som viser oss Norges energiproduksjon $x$ år etter 1950.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

I hvilket år økte produksjonen raskest ifølge modellen $g$ ?

Tabellen nedenfor viser forbruket av elektrisk energi i Norge noen utvalgte år.

År	1950	1960	1970	1981	1990	2000	2012	2020
Forbruk (GWh)	16 924	31 253	56 770	88 168	105 941	123 761	129 900	133 725

Krever PC

Bruk tallene fra tabellen til å lage en modell som du mener vi kan bruke til å vurdere om vi på sikt vil være selvforsynte med elektrisk energi.

Fasit

$g (x) = \frac{157303}{1 + 9,6396 \cdot e^{- 0,08672 x}}$ , $r^{2} = 0,999$

Produksjonen økte raskest i 1976

Nei — asymptoten for produksjon ( $\approx 157 300 GWh$ ) er høyere enn for forbruk ( $\approx 136 400 GWh$ ), så modellen tilsier at Norge på sikt vil være selvforsynt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn produksjonstallene i GeoGebra CAS og definerer den logistiske modellen med de gitte parametrene fra regresjon. Se linje 1–4 i CAS-utklippet.

CAS-utklipp for alle deloppgaver

En logistisk modell har formen

g (x) = \frac{L}{1 + a \cdot e^{- k x}}

der $L$ er kapasitetsgrensen (asymptoten), $a$ bestemmer startpunktet og $k$ vekstraten. Vi bruker logistisk regresjon på produksjonstallene med $x$ = antall år etter 1950.

Regresjonen gir (se linje 1 i CAS):

\textbf{g(x) = \frac{157303}{1 + 9{,}6396 \cdot e^{-0{,}08672x}}} ParseError: Can't use function '\frac' in text mode at position 16: \textbf{g(x) = \̲f̲r̲a̲c̲{157303}{1 + 9{…

med $r^{2} = 0,999$ — svært god tilpasning.

I en logistisk modell er veksthastigheten størst i vendepunktet, der $g (x) = \frac{L}{2}$ .

$x$ -koordinaten til vendepunktet er

x = \frac{\ln (a)}{k} = \frac{\ln (9,6396)}{0,08672} \approx 26,1

Vi verifiserer med Vendepunkt(g) i CAS (se linje 2), som bekrefter $x \approx 26,1$ og $y = \frac{L}{2} \approx 78 652 GWh$ .

1950 + 26,1 \approx 1976

Ifølge modellen økte produksjonen raskest i løpet av 1976.

Vi lager en tilsvarende logistisk modell for forbruket. Logistisk regresjon på forbrukstallene (se linje 4 i CAS) gir:

f (x) = \frac{136387}{1 + 7,4388 \cdot e^{- 0,08320 x}}

For å vurdere selvforsyningen sammenligner vi de to modellenes kapasitetsgrenser (asymptotene):

Modell	Asymptote $L$
Produksjon $g (x)$	$\approx 157 300 GWh$
Forbruk $f (x)$	$\approx 136 400 GWh$

Produksjonsmodellen har en høyere asymptote enn forbruksmodellen. Det betyr at ifølge modellene vil produksjonen over tid stabilisere seg på et høyere nivå enn forbruket.

Modellen tilsier at Norge på sikt vil være selvforsynt med elektrisk energi.

Det er likevel viktig å understreke usikkerheten: begge modeller er logistiske, og det er usikkert om veksten faktisk vil følge dette mønsteret langt inn i fremtiden. Energiforbruk og -produksjon påvirkes av politikk, teknologiendringer og klimaforhold som modellen ikke fanger opp.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Modellering, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når du bruker blitsen på et fotokamera, vil batteriet lade den opp igjen. Ladningen $Q$ i blitsen $t$ sekunder etter at den går av, er gitt ved

Q (t) = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t}), t \geq 0

Her er $Q_{0}$ den maksimale ladningen i blitsen.

For hånd

Bestem den omvendte funksjonen til $Q$ .

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før blitsen har fått 90 prosent av den maksimale ladningen?

Fasit

$t (Q) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})$

$t \approx 1,00$ sekunder

LøsningsforslagKI-generert

Vi har

Q (t) = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t})

og ønsker å uttrykke $t$ som funksjon av $Q$ .

Q = Q_{0} (1 - e^{- 2,3 t})

\frac{Q}{Q_{0}} = 1 - e^{- 2,3 t}

e^{- 2,3 t} = 1 - \frac{Q}{Q_{0}}

- 2,3 t = \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

t = - \frac{1}{2,3} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}}) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

Den omvendte funksjonen er altså

t (Q) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{Q}{Q_{0}})

90 prosent av maksimal ladning er $Q = 0,9 Q_{0}$ . Vi setter inn i $t (Q)$ :

t (0,9 Q_{0}) = - \frac{10}{23} \ln (1 - \frac{0,9 Q_{0}}{Q_{0}}) = - \frac{10}{23} \ln (0,1) = \frac{10}{23} \ln (10)

t = \frac{10 \cdot 2,303 \dots}{23} \approx 1,00 sekunder

Det tar altså omtrent 1 sekund før blitsen har fått 90 % av den maksimale ladningen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (0, 0)$ , $B (9, 1)$ og $C (24, 10)$ . En stråle $ℓ$ er gitt ved parameterframstillingen

ℓ : {\begin{matrix} x = 12 t \\ y = 5 t \end{matrix}, t > 0

For hånd

Vis at $C$ ligger på $ℓ$ .

Kalkulator

Bruk vektorregning til å bestemme $∠ B A C$ .

Et annet punkt $D$ ligger på $ℓ$ slik at $∠ A D B = 120 °$ .

Kalkulator

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til $D$ .

Et punkt $E$ ligger på $ℓ$ slik at arealet til $△ A B E$ er 11.

For hånd

Bestem de eksakte koordinatene til $E$ .

Fasit

$C$ ligger på $ℓ$ (med $t = 2$ )

$∠ B A C = \arccos (\frac{113 \sqrt{82}}{1066}) \approx 16,28 °$

$D = (\frac{1356 - 132 \sqrt{3}}{169}, \frac{565 - 55 \sqrt{3}}{169})$

$E = (8, \frac{10}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Strålen $ℓ$ er gitt ved $x = 12 t$ , $y = 5 t$ for $t > 0$ .

Vi prøver $C (24, 10)$ :

x = 24 ⟹ 12 t = 24 ⟹ t = 2

y = 5 \cdot 2 = 10 ✓

Siden $t = 2 > 0$ gir begge koordinatene til $C$ , ligger $C$ på $ℓ$ .

Vi bruker prikkprodukt for å finne $∠ B A C$ . Vektorene fra $A (0,0)$ er:

\vec{A B} = (9, 1), \vec{A C} = (24, 10)

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \cdot 24 + 1 \cdot 10 = 216 + 10 = 226

| \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + 1^{2}} = \sqrt{82}, | \vec{A C} | = \sqrt{24^{2} + 10^{2}} = \sqrt{676} = 26

\cos (∠ B A C) = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | | \vec{A C} |} = \frac{226}{\sqrt{82} \cdot 26} = \frac{113 \sqrt{82}}{1066}

∠ B A C = \arccos (\frac{113 \sqrt{82}}{1066}) \approx 16,28 °

$D$ ligger på $ℓ$ , så $D = (12 t, 5 t)$ for en $t > 0$ .

Vektorene fra $D$ :

\vec{D A} = (0 - 12 t, 0 - 5 t) = (- 12 t, - 5 t)

\vec{D B} = (9 - 12 t, 1 - 5 t)

Prikkproduktet:

\vec{D A} \cdot \vec{D B} = (- 12 t) (9 - 12 t) + (- 5 t) (1 - 5 t) = - 108 t + 144 t^{2} - 5 t + 25 t^{2} = 169 t^{2} - 113 t

Lengdene:

| \vec{D A} | = \sqrt{144 t^{2} + 25 t^{2}} = 13 t

| \vec{D B} | = \sqrt{{(9 - 12 t)}^{2} + {(1 - 5 t)}^{2}} = \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}

Betingelsen $∠ A D B = 120 °$ gir $\cos (120 °) = - \frac{1}{2}$ :

\frac{169 t^{2} - 113 t}{13 t \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}} = - \frac{1}{2}

For $t > 0$ deler vi med $t$ i teller og i $| \vec{D A} |$ :

\frac{169 t - 113}{13 \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}} = - \frac{1}{2}

Siden venstre side skal være negativ, kreves $169 t - 113 < 0$ , altså $t < \frac{113}{169}$ .

Ganger begge sider med $- 2 \cdot 13$ :

2 (113 - 169 t) = 13 \sqrt{169 t^{2} - 226 t + 82}

Kvadrerer (begge sider er positive):

4 {(113 - 169 t)}^{2} = 169 (169 t^{2} - 226 t + 82)

4 \cdot 113^{2} - 8 \cdot 113 \cdot 169 t + 4 \cdot 169^{2} t^{2} = 169^{2} t^{2} - 169 \cdot 226 t + 169 \cdot 82

3 \cdot 169^{2} t^{2} + 169 (- 904 + 226) t + (4 \cdot 12769 - 13858) = 0

85683 t^{2} - 114582 t + 37218 = 0

Deler med GCD = 1014:

\frac{85683}{1014} t^{2} - \frac{114582}{1014} t + \frac{37218}{1014} = 0

169 \cdot \frac{169}{2} \cdot \dots

Vi løser direkte med andregradsformelen. Diskriminant:

Δ = 114582^{2} - 4 \cdot 85683 \cdot 37218 = 373 235 148 = {(11154)}^{2} \cdot 3

\sqrt{Δ} = 11154 \sqrt{3} = 1014 \cdot 11 \sqrt{3}

t = \frac{114582 \pm 1014 \cdot 11 \sqrt{3}}{2 \cdot 85683} = \frac{114582 \pm 11154 \sqrt{3}}{171366}

Deler teller og nevner med 1014:

t = \frac{113 \pm 11 \sqrt{3}}{169}

Vi sjekker hvilken løsning som tilfredsstiller $t < \frac{113}{169}$ :

$t_{1} = \frac{113 + 11 \sqrt{3}}{169} \approx 0,781$ — oppfyller ikke $t < \frac{113}{169} \approx 0,669$
$t_{2} = \frac{113 - 11 \sqrt{3}}{169} \approx 0,556$ — oppfyller kravet $✓$

t = \frac{113 - 11 \sqrt{3}}{169}

Koordinatene til $D$ :

D = (\frac{12 (113 - 11 \sqrt{3})}{169}, \frac{5 (113 - 11 \sqrt{3})}{169}) = (\frac{1356 - 132 \sqrt{3}}{169}, \frac{565 - 55 \sqrt{3}}{169})

$E$ ligger på $ℓ$ , så $E = (12 t, 5 t)$ .

Arealet av $△ A B E$ med $A = (0,0)$ , $B = (9,1)$ , $E = (12 t, 5 t)$ :

Areal = \frac{1}{2} | \det (\begin{matrix} 9 & 12 t \\ 1 & 5 t \end{matrix}) | = \frac{1}{2} | 9 \cdot 5 t - 1 \cdot 12 t | = \frac{1}{2} \cdot 33 t = \frac{33 t}{2}

Setter arealet lik 11:

\frac{33 t}{2} = 11 ⟹ t = \frac{2}{3}

E = (12 \cdot \frac{2}{3}, 5 \cdot \frac{2}{3}) = (8, \frac{10}{3})

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Sannhetsverdi av tre påstander om funksjoner og logaritmer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann. Husk å argumentere!

For hånd

Hvis $f (a) = f (b)$ for en funksjon $f$ , så er $a = b$ .

For hånd

Hvis $0 < a < b$ , så er $\ln a < \ln b$ .

For hånd

Hvis $a > 0$ og $x > 0$ , så er ${(\ln x)}^{'} = {(\ln (a x))}^{'}$ .

Fasit

Usann

Sann

LøsningsforslagKI-generert

a) Hvis $f (a) = f (b)$ for en funksjon $f$ , så er $a = b$ .

Påstanden er usann.

Et moteksempel: La $f (x) = x^{2}$ . Da er $f (- 2) = 4 = f (2)$ , men $- 2 \neq 2$ .

Påstanden gjelder bare for injektive (én-til-én) funksjoner. En generell funksjon kan godt gi samme funksjonsverdi for to ulike innverdier.

b) Hvis $0 < a < b$ , så er $\ln a < \ln b$ .

Påstanden er sann.

Logaritmefunksjonen $\ln x$ er strengt voksende for $x > 0$ . Det betyr at dersom $a < b$ , så er $\ln a < \ln b$ .

Begrunnelse: $\ln x$ er definert som den deriverte ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x} > 0$ for alle $x > 0$ , og en funksjon med positiv derivert overalt er strengt voksende.

Alternativt: anta $0 < a < b$ . Da er $\frac{b}{a} > 1$ , og siden $\ln$ er definert slik at $\ln t > 0$ for $t > 1$ :

\ln b - \ln a = \ln (\frac{b}{a}) > 0 ⟹ \ln a < \ln b

c) Hvis $a > 0$ og $x > 0$ , så er ${(\ln x)}^{'} = {(\ln (a x))}^{'}$ .

Påstanden er sann.

Vi bruker logaritmeregelen $\ln (a x) = \ln a + \ln x$ , og siden $\ln a$ er en konstant når $a > 0$ :

{(\ln (a x))}^{'} = {(\ln a + \ln x)}^{'} = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} = {(\ln x)}^{'}

De to funksjonene skiller seg bare med en konstant ( $\ln a$ ), og konstanter forsvinner ved derivasjon. CAS bekrefter at begge deriverte er $\frac{1}{x}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Funksjoner, Eksponentialfunksjon, Argumentasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 1 - x^{2}, D_{f} = [0, 1]

La $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P (a, f (a))$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A$ og $y$ -aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

Graf som viser parabelen f(x)=1-x^2 på [0,1] med tangent i P som skjærer aksene i A og B

Kalkulator

Bestem arealet av $△ O A B$ når $P (\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ .

Kalkulator

Bestem det minste arealet $△ O A B$ kan ha.

Fasit

$\frac{25}{32}$

$\frac{4 \sqrt{3}}{9}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en generell tangentligning til $f (x) = 1 - x^{2}$ i punktet $P (a, f (a))$ .

Siden $f^{'} (x) = - 2 x$ , er stigningstallet til tangenten i $P$ lik $f^{'} (a) = - 2 a$ .

Tangentens ligning blir

t (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) = (1 - a^{2}) - 2 a (x - a) = a^{2} - 2 a x + 1

Skjæringspunkt A med $x$ -aksen ( $y = 0$ ):

0 = a^{2} - 2 a x + 1 ⟹ x = \frac{a^{2} + 1}{2 a}

Så $A = (\frac{a^{2} + 1}{2 a}, 0)$ .

Skjæringspunkt B med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

t (0) = a^{2} + 1

Så $B = (0, a^{2} + 1)$ .

Her er $a = \frac{1}{2}$ .

O A = \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{1} = \frac{5}{4}

O B = {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 = \frac{5}{4}

T = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{32}

Arealet av $△ O A B$ som funksjon av $a$ er

T (a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2} + 1}{2 a} \cdot (a^{2} + 1) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}, a \in ⟨ 0, 1 ⟩

Vi deriverer og setter $T^{'} (a) = 0$ :

T^{'} (a) = \frac{2 (a^{2} + 1) \cdot 2 a \cdot 4 a - {(a^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}{{(4 a)}^{2}}

Teller satt lik null (og $a^{2} + 1 > 0$ kan forkortes):

4 a \cdot 2 (a^{2} + 1) - 4 {(a^{2} + 1)}^{2} = 0

4 (a^{2} + 1) [2 a - (a^{2} + 1)] \cdot \dots

Vi bruker kvotientregelen direkte. Med $u = {(a^{2} + 1)}^{2}$ og $v = 4 a$ :

T^{'} (a) = \frac{4 a (a^{2} + 1) \cdot 2 a - (a^{2} + 1)^{2} \cdot 4}{16 a^{2}} = \frac{4 (a^{2} + 1) [2 a^{2} - (a^{2} + 1)]}{16 a^{2}} = \frac{(a^{2} + 1) (a^{2} - 1)}{4 a^{2}} \cdot \dots

CAS gir

T^{'} (a) = \frac{3 a^{4} + 2 a^{2} - 1}{4 a^{2}}

Telleren faktoriseres:

3 a^{4} + 2 a^{2} - 1 = (3 a^{2} - 1) (a^{2} + 1)

Siden $a^{2} + 1 > 0$ for alle $a$ , er $T^{'} (a) = 0$ bare når $3 a^{2} - 1 = 0$ , det vil si

a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

(Vi forkaster den negative løsningen siden $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ .)

Fortegnslinjen til $T^{'} (a)$ :

Fortegnslinje for T'(a) med sjablongkurve for T(a)

$T$ har et (globalt) minimum ved $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Minste areal:

T (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{1}{3} + 1)}^{2}}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}} = \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{4 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{9}

Det minste arealet av $△ O A B$ er $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Program for tyngdepunkt i trekant

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tyngdepunktet $T$ i en trekant $A B C$ er gitt ved

\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})

der $O$ er origo.

Lag et program hvor du oppgir koordinatene til punktene $A$ , $B$ og $C$ . Programmet skal skrive ut koordinatene til tyngdepunktet.

Fasit

Et eksempel på et program:

Ax = float(input("Skriv inn x-koordinat for A: "))
Ay = float(input("Skriv inn y-koordinat for A: "))
Bx = float(input("Skriv inn x-koordinat for B: "))
By = float(input("Skriv inn y-koordinat for B: "))
Cx = float(input("Skriv inn x-koordinat for C: "))
Cy = float(input("Skriv inn y-koordinat for C: "))

Tx = (Ax + Bx + Cx) / 3
Ty = (Ay + By + Cy) / 3

print("Tyngdepunktet T har koordinater:")
print(f"T = ({Tx}, {Ty})")

LøsningsforslagKI-generert

Formelen for tyngdepunktet sier at

\vec{O T} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})

Siden $\vec{O A} = (x_{A}, y_{A})$ , $\vec{O B} = (x_{B}, y_{B})$ og $\vec{O C} = (x_{C}, y_{C})$ , gir dette

T = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}, \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})

Tyngdepunktet er altså gjennomsnittet av hjørnenes koordinater.

Programmet gjør følgende steg:

Leser inn koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ fra brukeren med input(). float() konverterer teksten til et desimaltall.
Beregner $x$ -koordinaten til tyngdepunktet: $T_{x} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$
Beregner $y$ -koordinaten til tyngdepunktet: $T_{y} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$
Skriver ut resultatet med print().

Manuell kontroll med $A = (1, 2)$ , $B = (5, 0)$ , $C = (3, 6)$ :

T_{x} = \frac{1 + 5 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3

T_{y} = \frac{2 + 0 + 6}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67

T = (3, \frac{8}{3})

Programmet (verifisert med Python) gir samme svar.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Programmering, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x + 5 + \frac{1}{x - 1}

For hånd

For hvilke verdier av $k$ har likningen $f^{'} (x) = k$ løsning?

For hånd

Velg ulike verdier av $k$ , og beskriv symmetrien i løsningene av likningen $f^{'} (x) = k$ for hver av disse verdiene.

La $g$ være en funksjon som kan skrives på formen

g (x) = a \cdot x + b + \frac{1}{x + d}

For hånd

For hvilke verdier av $a$ har likningen $g^{'} (x) = 4$ løsning?

La nå $a = 3$ .

For hånd

Utforsk og beskriv løsningene til likningen $g^{'} (x) = k$ for ulike verdier av $k$ .

For hånd

Bestem $b$ og $d$ slik at $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ og $g (1) = 7$ .

Fasit

$k < 2$

Løsningene er symmetriske om $x = 1$ (asymptoten til $f$ )

$a > 4$

Løsningene er symmetriske om $x = - d$ (asymptoten til $g$ ); likningen har løsning når $k < a$

$b = 5$ , $d = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 2 x + 5 + \frac{1}{x - 1}$ :

f^{'} (x) = 2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}

Likningen $f^{'} (x) = k$ har løsning når vi kan løse

2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = k ⟹ \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 2 - k

Siden ${(x - 1)}^{2} > 0$ for alle $x \neq 1$ , kreves $2 - k > 0$ , altså $k < 2$ .

(Merk at $f^{'} (x)$ har maksimum $\lim_{x \to 1} f^{'} (x) = - \infty$ , mens $f^{'} (x) \to 2$ når $x \to \pm \infty$ , men aldri når $2$ . Så $f^{'} (x) < 2$ for alle $x \neq 1$ , og likningen har løsning nettopp når $k < 2$ .)

For $k < 2$ gir CAS løsningene

x = \frac{k - 2 \pm \sqrt{2 - k}}{k - 2} = 1 \mp \frac{\sqrt{2 - k}}{k - 2} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{2 - k}}

(det siste steget fordi $\frac{\sqrt{2 - k}}{k - 2} = \frac{\sqrt{2 - k}}{- (2 - k)} = - \frac{1}{\sqrt{2 - k}}$ ).

De to løsningene er altså

x_{1} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2 - k}}, x_{2} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2 - k}}

Midtpunktet er

\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1

Løsningene er derfor alltid symmetriske om $x = 1$ , det vil si om den vertikale asymptoten til $f$ .

Dette gir mening geometrisk: $f^{'} (x) = 2 - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ , der $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ er en jevn funksjon av $(x - 1)$ . Derfor er $f^{'} (1 + t) = f^{'} (1 - t)$ for alle $t$ , slik at grafen til $f^{'}$ er symmetrisk om linjen $x = 1$ .

Vi deriverer $g (x) = a x + b + \frac{1}{x + d}$ :

g^{'} (x) = a - \frac{1}{{(x + d)}^{2}}

Likningen $g^{'} (x) = 4$ har løsning når

a - \frac{1}{{(x + d)}^{2}} = 4 ⟹ \frac{1}{{(x + d)}^{2}} = a - 4

Dette krever $a - 4 > 0$ , altså $a > 4$ .

Med $a = 3$ er $g^{'} (x) = 3 - \frac{1}{{(x + d)}^{2}}$ .

På samme måte som i a)–b) har likningen $g^{'} (x) = k$ løsning nettopp når $k < 3$ .

For $k < 3$ er løsningene

x = - d \pm \frac{1}{\sqrt{3 - k}}

Midtpunktet er $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = - d$ , og løsningene er symmetriske om $x = - d$ (den vertikale asymptoten til $g$ ).

Vi skal finne $b$ og $d$ slik at $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ og $g (1) = 7$ .

Betingelsen $g^{'} (- 1) = g^{'} (5)$ betyr at $x = - 1$ og $x = 5$ er symmetriske om asymptoten $x = - d$ (fra d)). Midtpunktet er

\frac{- 1 + 5}{2} = 2 ⟹ - d = 2 ⟹ d = - 2

Vi bruker deretter $g (1) = 7$ med $a = 3$ og $d = - 2$ :

g (1) = 3 \cdot 1 + b + \frac{1}{1 + (- 2)} = 3 + b + \frac{1}{- 1} = 3 + b - 1 = b + 2 = 7

b = 5

Altså er $b = 5$ og $d = - 2$ , og

g (x) = 3 x + 5 + \frac{1}{x - 2}

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Sammenlign tre uttrykk med rot, lg og ln

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Tangentlinje funnet med derivasjonsprogram

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver

Oppgave 2-1Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Sannhetsverdi av tre påstander om funksjoner og logaritmer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Program for tyngdepunkt i trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver

Oppgave 1-1·Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2·Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Oppgave 1-3·Sammenlign tre uttrykk med rot, lg og ln

Oppgave 1-4·Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Oppgave 1-5·Tangentlinje funnet med derivasjonsprogram

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver

Oppgave 2-1·Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Oppgave 2-2·Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Oppgave 2-3·Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Oppgave 2-4·Sannhetsverdi av tre påstander om funksjoner og logaritmer

Oppgave 2-5·Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Oppgave 2-6·Program for tyngdepunkt i trekant

Oppgave 2-7·Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k

Temaer

Oppgave 1-1Omvendt funksjon av x⁴ og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4

Oppgave 1-3Sammenlign tre uttrykk med rot, lg og ln

Oppgave 1-4Vinkel APB og punkt Q på linje gjennom P

Oppgave 1-5Tangentlinje funnet med derivasjonsprogram

Oppgave 2-1Logistisk modell for Norges energiproduksjon

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og ladetid for kamerablits

Oppgave 2-3Stråle gjennom origo og vinkler i trekant

Oppgave 2-4Sannhetsverdi av tre påstander om funksjoner og logaritmer

Oppgave 2-5Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB

Oppgave 2-6Program for tyngdepunkt i trekant

Oppgave 2-7Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k