R1 Høst 2007

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2007 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, grenseverdi, logaritme og potensforenkling	—
2	Polynomdivisjon, ulikhet og tredjegradslikning med parameter	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Betinget sannsynlighet for R1 og fysikk på Vg2	—
4	Parameterframstilling og fart for partikkel i planet	—
4	Tangent til hyperbelgren og areal av trekant OAB	—
5	To baller på bord – geometri og konstruksjon	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, grenseverdi, logaritme og potensforenkling

Deriver funksjonene

f(x) = x \cdot \ln x

g(x) = 3e^{x^2+1}

Bestem følgende grenseverdi, dersom den eksisterer:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}

En funksjon $f$ er kontinuerlig, men ikke deriverbar i punktet $(1, 2)$ . Tegn en skisse av grafen til en mulig funksjon $f$ .

Finn de eksakte løsningene av likningene

2\ln x - 4 = 0

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{2^{-4} \cdot 2^3}{2^{-2}}

\dfrac{\sqrt{a} \cdot \left(ab^2\right)^{\frac{1}{3}} \cdot b}{\left(a^2b\right)^2 \cdot b^{-\frac{1}{3}}}

Vi har gitt en trekant $ABC$ . Punktet $D$ ligger på $AB$ , punktet $E$ ligger på $BC$ , og punktet $F$ ligger på $AC$ . Se figuren.

Trekant ABC med linjestykkene AE, BF og CD

Bruk Cevas setning til å bevise at medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi, Logaritmer, Potenser

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon, ulikhet og tredjegradslikning med parameter

Vis at polynomet $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ er delelig med $x - 2$ .

Skriv $f(x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten

\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x^2 - 9} > 0

Bestem $a$ slik at likningen $x^3 - 2x^2 - 5x + a = 0$ får en løsning lik $1$ . Løs likningen for denne verdien av $a$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter, Likninger

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Betinget sannsynlighet for R1 og fysikk på Vg2

På en skole er det 55 % jenter og 45 % gutter på Vg2. Av jentene har 25 % valgt matematikk R1. Av guttene har 30 % valgt R1.

Formuler de to siste opplysningene i teksten ovenfor som betingede sannsynligheter.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er en gutt som har valgt R1.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har valgt R1.

Av alle elevene på Vg2 har 30 % valgt fysikk. Blant dem som har valgt R1, er det 80 % som har valgt fysikk.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt fysikkelev har valgt R1.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Betinget sannsynlighet, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Parameterframstilling og fart for partikkel i planet

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En partikkel beveger seg i planet. Posisjonen til partikkelen ved tiden $t$ er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[t^2,\ t^3 - 3t\right] \quad \text{der } t \in [0, 2]

Tegn grafen som beskriver bevegelsen til partikkelen.

Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen og koordinataksene.

Finn et uttrykk for fartsvektoren $\vec{v}$ . Hva er $t$ når $|\vec{v}(t)| = 3$ ?

Bestem koordinatene til de punktene på kurven der fartsvektoren er parallell med koordinataksene.

Bestem koordinatene til det punktet der farten er minst.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Parameterframstilling, Derivasjon, Vektorer

Oppgave 2-4 : Tangent til hyperbelgren og areal av trekant OAB

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven kan det være naturlig å bruke dynamisk programvare, men oppgaven kan også løses ved å bruke grafisk lommeregner. I løsningen av oppgaven vil det være aktuelt å skissere flere grafer.

Tegn grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , $x > 0$ .

Tangenten til grafen i punktet $(a, f(a))$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A$ og $y$ -aksen i punktet $B$ . Punktet $O$ er origo.

Bestem arealet av $\triangle OAB$ for $a = 2$ enten grafisk eller ved regning.

Gjenta det du gjorde i b) for $a = \dfrac{1}{2}$ og $a = 3$ . Kommenter svarene.

Vi skal nå studere størrelsen av arealet av $\triangle OAB$ analytisk.

Bestem $f'(x)$ . Finn likningen for tangenten til funksjonen $f$ i punktet $(a, f(a))$ .

Bestem koordinatene til skjæringspunktene $A$ og $B$ mellom tangenten og koordinataksene. Hva blir arealet av $\triangle OAB$ ?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Tangent, Derivasjon, Areal, Funksjoner

Oppgave 2-5 : To baller på bord – geometri og konstruksjon

To baller som ligger inntil hverandre på et bord

Bildet viser to baller som ligger inntil hverandre. Ballene har radiene $R$ og $r$ . Berøringspunktet mellom ballene og bordet kalles henholdsvis $A$ og $B$ . Berøringspunktet mellom ballene kalles $C$ .

I denne oppgaven skal vi undersøke egenskaper ved $\triangle ABC$ .

Figur 1 – snitt gjennom sentrene M og N

Figur 1 viser et snitt gjennom sentrene i ballene, $M$ og $N$ .

Forklar at $\angle BAM = \angle NBA = 90°$ , og at $\angle MNB = 180° - \angle AMC$ .

Vis at $AB = 2\sqrt{Rr}$ . (Tips: Bruk Pythagoras’ setning.)

Vi setter $\angle AMC = v$ , $\angle BCN = u$ og $\angle ACM = w$ .

Vis at $u + w = 90°$ , og at $\angle ACB = 90°$ .

I resten av oppgaven ser vi på to andre sirkler med $R = 4 \mathrm{~cm}$ og $r = 1 \mathrm{~cm}$ .

Bruk b) til å finne lengden av $AB$ .

Konstruer med passer og linjal figur 1 med $R = 4 \mathrm{~cm}$ og $r = 1 \mathrm{~cm}$ . Skriv en forklaring til konstruksjonen.

Slå en halvsirkel med $AB$ som diameter. Forklar hvorfor denne halvsirkelen går gjennom $C$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Bevis, Konstruksjon, Sirkel

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2007

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, grenseverdi, logaritme og potensforenkling

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon, ulikhet og tredjegradslikning med parameter

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Betinget sannsynlighet for R1 og fysikk på Vg2

Oppgave 2-4 : Parameterframstilling og fart for partikkel i planet

Oppgave 2-4 : Tangent til hyperbelgren og areal av trekant OAB

Oppgave 2-5 : To baller på bord – geometri og konstruksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave