2P Vår 2008

Oppgave 1-1Stolkostnad, appelsinjuice og forsvinningspunkt på Abbey Road

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kostnadsgraf for produksjon av stoler

Grafen viser hva det koster for en fabrikk å produsere $x$ stoler. Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50 stoler?

Skriv tallet $2,46 \cdot 10^{- 4}$ som desimaltall.

Regn ut: $\frac{81}{9} - 2^{4} + 12 \cdot 5 + \sqrt{9}$

12-sidet terning

Figuren over viser en 12-sidet terning der tallene 1, 2, 3, … ,12 er skrevet på sidene. De 12 mulige utfallene er like sannsynlige.

Hva er sannsynligheten for å få 12 når du kaster terningen én gang?

Du kaster terningen to ganger. Hva er sannsynligheten for å få 12 begge gangene?

Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på terningene er mindre enn 6 dersom du kaster terningen to ganger?

Formelen $E = (P + K) \cdot 4 + F \cdot 9$ gir energiinnholdet $E$ i appelsinjuice målt i kcal. $P$ er antall gram proteiner, $K$ er antall gram karbohydrater og $F$ er antall gram fett.

Siri har kjøpt en kartong med appelsinjuice. På kartongen finner hun følgende oversikt:

Næringsinnhold per 100 g: Energi 46,2 kcal, Protein 0,7 g, Karbohydrat 10,4 g, Fett (tallet er dekket av en flekk) g

En flekk dekker det siste tallet. Derfor klarer ikke Siri å se hvor mange gram fett det er per 100 g juice.

Bruk opplysningene i teksten ovenfor og finn ut hvilket tall som skjuler seg under flekken.

Nedenfor ser du bildet som ble brukt på omslaget til platen ”Abbey Road” av The Beatles.

Bruk vedlegg 1 og tegn inn linjer slik at du finner forsvinningspunktet og horisonten.

Omslaget til platen Abbey Road (vedlegg 1)

Kilde: Beatles.com

Fasit

$800 k r / s t o l$

$0,000246$

$56$

1) $\frac{1}{12}$ 2) $\frac{1}{144}$ 3) $\frac{5}{72}$

$0,2 g$

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av grafen: når $x = 50$ stoler, er totalkostnaden $y = 40 000$ kr.

Kostnaden per stol finner vi ved å dele totalkostnaden på antall stoler:

\frac{40 000}{50} = 800

Kostnaden per stol er $800 kr$ .

Å skrive et tall på standardform med negativ eksponent betyr å flytte komma mot venstre:

2,46 \cdot 10^{- 4} = 0,000246

$2,46 \cdot 10^{- 4} = 0,000246$

Vi bruker regnerekkefølgen: potenser og kvadratrøtter først, deretter multiplikasjon, og til slutt addisjon/subtraksjon fra venstre mot høyre.

\begin{matrix} \frac{81}{9} - 2^{4} + 12 \cdot 5 + \sqrt{9} & = 9 - 16 + 60 + 3 \\ = 56 \end{matrix}

$56$

Terningen har 12 like sannsynlige utfall: $1, 2, 3, \dots, 12$ .

1) Sannsynligheten for å få 12 i ett kast:

P (12) = \frac{1}{12}

$P = \frac{1}{12}$

2) Ved to kast er kastene uavhengige, så vi multipliserer sannsynlighetene:

P (12 og 12) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{144}

$P = \frac{1}{144}$

3) Vi skal finne $P (sum < 6)$ ved to kast. Det er $12 \cdot 12 = 144$ like sannsynlige utfall totalt. Vi lister opp utfallene som gir sum mindre enn 6:

Sum $= 2$ : $(1,1)$ — 1 utfall
Sum $= 3$ : $(1,2), (2,1)$ — 2 utfall
Sum $= 4$ : $(1,3), (2,2), (3,1)$ — 3 utfall
Sum $= 5$ : $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ — 4 utfall

Til sammen $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ gunstige utfall.

P (sum < 6) = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0,069

$P = \frac{5}{72} \approx 6,9 %$

Vi setter opp formelen $E = (P + K) \cdot 4 + F \cdot 9$ med de oppgitte verdiene $E = 46,2$ , $P = 0,7$ og $K = 10,4$ :

\begin{matrix} 46,2 & = (0,7 + 10,4) \cdot 4 + F \cdot 9 \\ 46,2 & = 11,1 \cdot 4 + 9 F \\ 46,2 & = 44,4 + 9 F \\ 46,2 - 44,4 & = 9 F \\ 1,8 & = 9 F \\ F & = \frac{1,8}{9} = 0,2 \end{matrix}

Det er $0,2 g$ fett per 100 g appelsinjuice under flekken.

For å finne forsvinningspunktet forlenger vi flere linjer i bildet som i virkeligheten er parallelle, for eksempel fortauskantene og takkantene på husene langs veien. Disse linjene møtes i ett felles punkt langt bak i bildet — forsvinningspunktet. En vannrett linje gjennom dette punktet er horisonten.

Skisse av metoden for å finne forsvinningspunkt og horisont: linjer som i virkeligheten er parallelle (fortauskanter, takkanter) forlenges til de møtes i ett punkt

Forsvinningspunktet er skjæringspunktet mellom de forlengede linjene, og horisonten er den vannrette linjen gjennom dette punktet.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Temaer: Graftolkning, Tallregning, Sannsynlighet, Formler, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Graftyper for ulike situasjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor er det beskrevet 4 ulike situasjoner. Velg blant grafene A, B, C, D, E og F på Figur 1, og finn en graf som best beskriver hver av situasjonene. Målestokken på y-aksen kan variere fra situasjon til situasjon. Husk å begrunne valgene dine.

I Fossefjell kommune er det i dag 9 000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til å synke med 150 mennesker per år. Én av grafene viser folketallet om $x$ år ifølge modellen.
En bil blir kjøpt for 300 000 kroner. Vi regner med at verdien av bilen synker med 15 % per år. Én av grafene viser verdien av bilen $x$ år etter at den blir kjøpt.
Én av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden $x$ i kvadratet.
Du kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket du slipper ballen, er den 1,8 meter over bakken, og den har farten 12 meter per sekund. $x$ sekunder etter at du slapp den, er ballens høyde over bakken (i meter) lik $- 4,9 x^{2} + 12 x + 1,8$ . Én av grafene viser denne høyden som funksjon av $x$ .

Figur 1 – grafer A til F

Velg riktig graf for hver av de fire situasjonene ovenfor og begrunn valgene dine.

Fasit

$Graf C$
$Graf F$
$Graf A$
$Graf E$

LøsningsforslagKI-generert

Situasjon 1 — folketall i Fossefjell. Folketallet begynner på $9000$ og synker med et fast antall mennesker ( $150$ ) hvert år. Det gir en lineær sammenheng, og siden folketallet synker, skal grafen være en rett linje med negativt stigningstall. Dette passer med graf $C$ , som er en rett, svakt fallende linje.

Situasjon 2 — bilens verdi. Bilverdien synker med en fast prosentandel ( $15 %$ ) hvert år, ikke et fast kronebeløp. Det gir eksponentiell nedgang, der verdien faller raskt i starten og flater gradvis ut (avtagende fallhastighet). Dette passer med graf $F$ , som er en fallende, konkav kurve som flater ut.

Situasjon 3 — areal av kvadrat. Arealet er $A (x) = x^{2}$ , en andregradsfunksjon som starter i origo og vokser stadig raskere. Dette passer med graf $A$ , som starter flatt og stiger brattere og brattere — typisk for en parabel som åpner oppover fra origo.

Situasjon 4 — ballens høyde. Høyden er gitt ved $h (x) = - 4,9 x^{2} + 12 x + 1,8$ , en synkende parabel (negativt fortegn foran $x^{2}$ ). Ballen starter i høyden $1,8 m$ (ikke $0$ ) når $x = 0$ , stiger til et toppunkt og faller så ned til bakken. Toppunktet er ved

x = \frac{- 12}{2 \cdot (- 4,9)} \approx 1,2 s

og ballen treffer bakken ( $h = 0$ ) etter om lag $2,6 s$ . Dette passer med graf $E$ , som starter over $0$ på $y$ -aksen, har et toppunkt tidlig og faller ned til $0$ igjen etter kort tid.

Graf $B$ og graf $D$ passer ikke med noen av situasjonene: $B$ er en symmetrisk parabel med toppunkt midt på og null i begge ender, og $D$ er en rett, stigende linje gjennom origo — ingen av situasjonene beskriver en slik sammenheng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Graftolkning, Lineær vekst, Eksponentialfunksjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Aldersfordeling i leilighetskompleks

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et nytt leilighetskompleks, UTSIKTEN, er fylt opp med nye beboere. En oversikt viser følgende aldersfordeling:

Alder	0–19 år	20–39 år	40–59 år	60–79 år
Frekvens	17	29	51	23

Kalkulator

Hvor mange personer bor i leilighetskomplekset?

Kalkulator

Tegn et søylediagram som viser aldersfordelingen.

Kalkulator

Forklar hvorfor medianen må ligge i intervallet 40–59 år.

Kalkulator

Regn ut gjennomsnittsalderen ut fra det klassedelte materialet.

Fasit

$120 p e r s o n e r$

Se søylediagram i løsningsforslaget.

Medianen ligger mellom person nr. 60 og 61, og disse befinner seg i intervallet 40–59 år.

$\overline{x} \approx 42,8 år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner totalt antall beboere ved å summere frekvensene i alle aldersgruppene:

17 + 29 + 51 + 23 = 120

Det bor $120 p e r s o n e r$ i leilighetskomplekset.

Vi setter aldersgruppene på x-aksen og antall beboere (frekvensen) på y-aksen, og tegner én søyle per gruppe:

Søylediagram som viser aldersfordelingen i leilighetskomplekset UTSIKTEN

Medianen er den midterste verdien når alle $120$ beboerne sorteres etter alder. Siden $120$ er et partall, er medianen gjennomsnittet av alderen til person nummer $60$ og person nummer $61$ i den sorterte rekkefølgen.

Vi teller opp beboerne gruppe for gruppe (kumulativ frekvens):

Alder	Frekvens	Kumulativ frekvens
0–19 år	17	17
20–39 år	29	46
40–59 år	51	97
60–79 år	23	120

Etter de to første gruppene (0–19 år og 20–39 år) har vi telt opp $17 + 29 = 46$ personer, som er færre enn $60$ . Etter gruppen 40–59 år har vi telt opp $46 + 51 = 97$ personer, som er flere enn $61$ .

Dette betyr at både person nr. $60$ og person nr. $61$ befinner seg i intervallet $40$ – $59$ år. Medianen $må derfor ligge i intervallet 40–59 år$ .

For klassedelt (gruppert) materiale kjenner vi ikke alderen til hver enkelt person, bare hvilket intervall de tilhører. Vi finner da et anslag for gjennomsnittsalderen ved å bruke midtpunktet i hvert intervall som en representativ verdi for alle i gruppen, og veier midtpunktene med frekvensene:

\overline{x} = \frac{9,5 \cdot 17 + 29,5 \cdot 29 + 49,5 \cdot 51 + 69,5 \cdot 23}{120}

Vi regner ut telleren ledd for ledd:

9,5 \cdot 17 = 161,5 29,5 \cdot 29 = 855,5 49,5 \cdot 51 = 2524,5 69,5 \cdot 23 = 1598,5

161,5 + 855,5 + 2524,5 + 1598,5 = 5140

\overline{x} = \frac{5140}{120} \approx 42,83

Gjennomsnittsalderen i leilighetskomplekset er dermed omtrent $\overline{x} \approx 42,8 år$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Tilbudet ta tre betal for to

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I butikker ser en ofte tilbud av typen ”Ta tre, betal for to”. Du får altså tre varer til prisen for to.

Kalkulator

En klesbutikk hadde et slikt tilbud på T-skjorter. Der kostet én T-skjorte 129 kroner. Hvor mange prosent avslag vil du få ved å benytte deg av tilbudet ”Ta tre, betal for to”?

Kalkulator

I tegneseriestripen nedenfor har Pondus tolket tilbudet annerledes. Hvor mange prosent avslag fikk han?

Pondus-stripe der Pondus kommer hjem med fem flasker sjampo fra tilbudet «ta tre, betal for to»

Gjengitt med tillatelse fra Strand&Øverli, distr: strandoverli@yahoo.com

Fasit

$33 %$

$60 %$

LøsningsforslagKI-generert

Uten tilbud koster 3 T-skjorter

3 \cdot 129 kr = 387 kr

Med tilbudet ”Ta tre, betal for to” betaler du bare for 2 T-skjorter:

2 \cdot 129 kr = 258 kr

Avslaget i kroner er

387 kr - 258 kr = 129 kr

Avslaget i prosent av den opprinnelige prisen blir

\frac{129}{387} \cdot 100 % \approx 33 %

Avslaget er $33 %$ .

I tegneseriestripen har Pondus tolket ”Ta tre, betal for to” slik at han tar tre flasker gratis i tillegg til de to han betaler for. Han kommer altså hjem med $3 + 2 = 5$ flasker sjampo, men betaler bare for 2 av dem.

Hvis én flaske koster $x$ kroner, er den opprinnelige prisen for 5 flasker $5 x$ , mens Pondus betaler $2 x$ . Avslaget i prosent blir da

\frac{5 x - 2 x}{5 x} \cdot 100 % = \frac{3}{5} \cdot 100 % = 60 %

Pondus fikk $60 %$ avslag — langt mer enn butikken hadde tenkt, siden han tolket tilbudet feil og fikk tre flasker helt gratis i tillegg til dem han betalte for.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Prosentregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Nettolønn og bruttolønn for Anne og Roald

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Anne jobber i resepsjonen på et hotell og har en brutto månedslønn på 22 800 kroner. Av denne betaler hun 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent før hun trekkes 29 % i skatt.

Kalkulator

Hvor mye trekkes hun i skatt, og hvor mye får hun utbetalt hver måned?

Roald får utbetalt 20 000 kr hver måned. Han betaler også 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent, før han trekkes 29 % i skatt.

Kalkulator

Hvor stor er Roalds brutto månedslønn?

Fasit

$Skatt \approx 6400 kr, utbetalt \approx 15 670 kr$

$Roalds bruttolønn \approx 29 100 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Oppgaveteksten sier at Anne først trekkes 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent, og at hun deretter trekkes 29 % i skatt. Skatten regnes altså av det som er igjen etter de to første trekkene, ikke av hele bruttolønna.

Pensjonsinnskudd:

22 800 kr \cdot 0,02 = 456 kr

Fagforeningskontingent:

22 800 kr \cdot 0,012 = 273,60 kr

Grunnlaget for skatt (lønn etter de to første trekkene):

22 800 kr - 456 kr - 273,60 kr = 22 070,40 kr

Skatten blir 29 % av dette beløpet:

22 070,40 kr \cdot 0,29 \approx 6400 kr

Utbetalt lønn er det som er igjen etter skatten:

22 070,40 kr - 6400,42 kr \approx 15 670 kr

Anne trekkes $\approx 6400 kr$ i skatt, og får utbetalt $\approx 15 670 kr$ hver måned.

De tre trekkene (pensjon, fagforening og skatt) kan skrives som to vekstfaktorer etter hverandre:

\underset{pensjon og fagforening}{\underset{⏟}{(1 - 0,02 - 0,012)}} \cdot \underset{skatt}{\underset{⏟}{(1 - 0,29)}} = 0,968 \cdot 0,71 = 0,68728

Dette betyr at av hver krone i bruttolønn sitter Roald igjen med $0,68728$ kr etter alle trekk. Siden vi kjenner utbetalt lønn ( $20 000$ kr), finner vi bruttolønna ved å dele på vekstfaktoren:

Bruttolønn = \frac{20 000 kr}{0,68728} \approx 29 100 kr

Roalds bruttolønn er omtrent $29 100 kr$ per måned.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Prosentregning, Økonomi, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Lån uten avdrag og effektiv rente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

Martin låner $75 000$ kroner til $19,8$ prosent effektiv rente per år. Han betaler verken rente eller avdrag de første 12 årene.

Kalkulator

Hvor stor vil gjelda hans være etter 12 år?

Kalkulator

Forklar at gjelda til Martin etter $x$ år kan skrives ved funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 75 000 \cdot {1,198}^{x}

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ . Bruk $x$ -verdier fra 0 til 12.

Kalkulator

Forklar hvorfor $19,8$ prosent rente per år er tilnærmet det samme som $1,5$ prosent rente per måned.

Fasit

$f (12) \approx 638 428 kr$

$f (x) = 75 000 \cdot {1,198}^{x}$

Se graf i løsningsforslaget.

${1,015}^{12} \approx 1,1956$ , altså $\approx 19,6 %$ effektiv rente

LøsningsforslagKI-generert

Martin betaler verken renter eller avdrag de første 12 årene, så gjelda vokser med vekstfaktoren $1,198$ hvert år i 12 år:

f (12) = 75 000 \cdot {1,198}^{12} \approx 638 428 kr

Etter 12 år vil gjelda til Martin være $\approx 638 428 kr$ .

En effektiv rente på $19,8 %$ per år betyr at gjelda ganges med vekstfaktoren

1 + \frac{19,8}{100} = 1,198

én gang for hvert år som går. Etter $x$ år har denne vekstfaktoren blitt brukt $x$ ganger, siden gjelda vokser med samme prosent hvert år (renters rente). Starter vi med gjeld $75 000$ kr, får vi derfor

f (x) = 75 000 \cdot {1,198}^{x}

Vi tegner grafen til $f$ for $x$ fra $0$ til $12$ i GeoGebra.

Grafen viser en eksponentiell vekst: gjelda øker sakte i begynnelsen og stadig raskere etter hvert, fra $75 000$ kr ved $x = 0$ til vel $638 000$ kr ved $x = 12$ , i tråd med svaret i a).

Hvis renten legges til med $1,5 %$ per måned, ganges gjelda med vekstfaktoren $1,015$ hver måned. I løpet av ett år (12 måneder) blir gjelda dermed ganget med

{1,015}^{12} \approx 1,1956

Dette tilsvarer en effektiv årsrente på ca. $19,6 %$ , som er tilnærmet lik de oppgitte $19,8 %$ .

Grunnen til at $12 \cdot 1,5 % = 18 %$ ikke stemmer helt med den effektive renten, er at renter på renter gjør veksten litt større enn en ren summering av månedsrentene skulle tilsi. Regner vi motsatt vei, finner vi hvilken månedsrente som gir nøyaktig $19,8 %$ effektiv årsrente:

{1,198}^{1 / 12} \approx 1,0151

altså ca. $1,51 %$ per måned, svært nære de $1,5 %$ oppgaven nevner. Dette forklarer hvorfor $19,8 %$ effektiv rente per år er tilnærmet det samme som $1,5 %$ rente per måned.

${1,015}^{12} \approx 1,1956 \approx 19,6 % effektiv årsrente$

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Lån, Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7-ITrefigurer i snekkerverksted og blandingsforhold for maling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ I

Trefigur sammensatt av rektangelet ABDE og den rettvinklede trekanten BCD, med en halvsirkel skåret bort mellom A og E

Stians snekkerverksted har fått i oppdrag å produsere trefigurer med form som vist på figuren ovenfor. Figuren er sammensatt av et rektangel og en rettvinklet trekant. På venstre side av figuren er det skåret bort en halvsirkel. $A C = 1,0 m$ , $A B = 60 c m$ og $B D = 40 c m$ .

Kalkulator

Regn ut lengdene av sidene $B C$ og $C D$ . Hvor store er vinklene $u$ og $v$ ?

Stian lager 100 slike figurer. Hver figur skal males på den ene siden.

Kalkulator

Hvor mye maling trenger han hvis 1 liter maling er nok til å dekke $3 m^{2}$ ?

Stian blander rød og gul maling i forholdet 1 : 5. Han får da til sammen 9 liter oransje maling.

Kalkulator

Hvor mye rød og hvor mye gul maling blandet han?

Da Stian var ferdig med å blande, så han at det ble altfor mye gult i den oransje fargen. Han ringte en fargehandler for å få råd. Han fikk beskjed om at forholdet mellom rødt og gult burde ha vært 1 : 3.

Kalkulator

Hvor mye rød maling må han tilsette til den oransje blandingen for at blandingsforholdet skal bli riktig?

Fasit

$B C = 40 cm, C D \approx 56,6 cm, u = v = 45 °$

$\approx 8,6 liter (avrundet opp til 9 liter)$

$1,5 liter rød og 7,5 liter gul maling$

$1,0 liter rød maling$

LøsningsforslagKI-generert

Firkanten $A B D E$ er et rektangel, så $B D = A E$ og $A B = D E$ . Langs bunnlinja er $A C = 100 cm$ og $A B = 60 cm$ , så

B C = A C - A B = 100 cm - 60 cm = 40 cm

Trekant $B C D$ er rettvinklet i $B$ , med kateter $B C = 40 cm$ og $B D = 40 cm$ . Med Pytagoras’ setning finner vi hypotenusen $C D$ :

C D = \sqrt{B C^{2} + B D^{2}} = \sqrt{40^{2} + 40^{2}} = \sqrt{3200} \approx 56,6 cm

Siden de to katetene $B C$ og $B D$ er like lange, er trekanten likebeint og rettvinklet. Da må de to spisse vinklene være like store, og siden vinkelsummen i en trekant er $180 °$ :

u + v = 180 ° - 90 ° = 90 ° \Rightarrow u = v = 45 °

Trekant BCD med sidelengder og vinkler

$B C = 40 cm$ , $C D \approx 56,6 cm$ og $u = v = 45 °$ .

Arealet av trefiguren er arealet av rektangelet $A B D E$ pluss trekanten $B C D$ , minus halvsirkelen som er skåret bort mellom $A$ og $E$ .

Rektangelet har bredde $A B = 60 cm$ og høyde $B D = 40 cm$ :

{Areal}_{rektangel} = 60 cm \cdot 40 cm = 2400 c m^{2}

Trekanten $B C D$ har grunnlinje $B C = 40 cm$ og høyde $B D = 40 cm$ :

{Areal}_{trekant} = \frac{1}{2} \cdot 40 cm \cdot 40 cm = 800 c m^{2}

Halvsirkelen har diameter $A E = B D = 40 cm$ , altså radius $r = 20 cm$ :

{Areal}_{halvsirkel} = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 20^{2} c m^{2} \approx 628,3 c m^{2}

Arealet av én trefigur blir da

2400 c m^{2} + 800 c m^{2} - 628,3 c m^{2} \approx 2571,7 c m^{2} = 0,25717 m^{2}

For 100 figurer, som skal males på én side, trengs det

100 \cdot 0,25717 m^{2} \approx 25,72 m^{2}

Siden 1 liter maling dekker $3 m^{2}$ , trengs det

\frac{25,72 m^{2}}{3 m^{2} / l i t e r} \approx 8,6 liter

Stian trenger omtrent $8,6 liter$ maling. Siden maling selges i hele liter, må han i praksis kjøpe 9 liter.

Maling blandes i forholdet rødt : gult $= 1 : 5$ . Da består blandingen av $1 + 5 = 6$ like deler, og totalt er det 9 liter maling. Hver del utgjør

\frac{9 liter}{6} = 1,5 liter

Rød maling: $1 \cdot 1,5 liter = 1,5 liter$ Gul maling: $5 \cdot 1,5 liter = 7,5 liter$

Stian blandet $1,5 liter rød$ og $7,5 liter gul$ maling.

Mengden gul maling er uendret, $7,5$ liter. Det nye forholdet skal være rødt : gult $= 1 : 3$ , altså skal mengden rød maling $x$ oppfylle

\frac{x}{7,5 liter} = \frac{1}{3}

x = \frac{7,5 liter}{3} = 2,5 liter

Han har allerede $1,5$ liter rød maling, så han må tilsette

2,5 liter - 1,5 liter = 1,0 liter

Stian må tilsette $1,0 liter$ rød maling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Pytagoras, Areal og omkrets, Proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 2-7-I for seg selv

Oppgave 2-7-IISolsikke-vekst og eksponentiell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du velge enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved sensuren.

Alternativ II

I TV-programmet Sommeråpent var en matematikkekspert gjest hos Anne Grosvold. Der sto en solsikke i en blomsterpotte. Man lurte på hvor høy denne solsikken ville bli etter 8 uker.

Lesernes tips varierte mye. Én hadde til og med gjettet $12,5$ meter, noe som garantert ville ha gitt solsikken plass i Guiness Rekordbok!

Grosvold fikk eksperten til å måle solsikken etter én, to og tre uker. Målene ser du i tabellen nedenfor.

Etter $x$ uker	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Høyde i cm		16	$24,8$	$36,5$

Eksperten sa at han regnet med at solsikkens høyde fulgte en modell for eksponentiell vekst. Han regnet med, ut fra tidligere erfaring, at den ville bli ca. $108 c m$ etter 8 uker.

Krever PC

Finn ved regresjon en formel han i så fall kan ha brukt.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange prosent økte solsikkens høyde hver uke etter denne modellen?

Det viste seg at solsikken ble $117 c m$ etter 8 uker.

Krever PC

Finn en formel som passer bedre med veksten til solsikken enn den i a).

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hva ville høyden til solsikken ha vært etter 12 uker dersom modellen i c) gjelder? Si litt om modellens begrensninger.

Fasit

$f (x) = 14,26 \cdot {1,296}^{x}$

$ca. 30 %$

$g (x) = 13,93 \cdot {1,312}^{x}$

$g (12) \approx 364 cm$ — urealistisk, modellen gjelder ikke utenfor de målte ukene

LøsningsforslagKI-generert

De tre målingene er $(1; 16)$ , $(2; 24,8)$ og $(3; 36,5)$ . Hvis vi gjør ren eksponentiell regresjon på kun disse tre punktene, får vi

y = 10,69 \cdot {1,510}^{x}

som gir $y (8) \approx 289 cm$ etter 8 uker. Det er langt mer enn de $108 cm$ eksperten sa han regnet med, ut fra tidligere erfaring med solsikker. Eksperten kan derfor ikke ha basert formelen på bare de tre målingene alene — han må ha lagt sin erfaringsverdi, at høyden ville bli ca. $108 cm$ etter 8 uker, inn som et fjerde punkt $(8; 108)$ i regresjonen.

Vi utfører eksponentiell regresjon på de fire punktene $(1; 16)$ , $(2; 24,8)$ , $(3; 36,5)$ og $(8; 108)$ i GeoGebra og får

f (x) = 14,26 \cdot {1,296}^{x}

Se f i utklippet, som gir $f (8) \approx 114 cm$ — i tråd med eksperten sitt anslag.

Regresjonskurver og målepunkter for solsikkens vekst

I modellen $f (x) = 14,26 \cdot {1,296}^{x}$ er $1,296$ vekstfaktoren per uke. Siden $1,296 = 1 + 0,296$ , øker høyden med

ca. 30 % per uke.

Solsikken ble faktisk $117 cm$ høy etter 8 uker, ikke $108 cm$ . Vi bruker derfor punktene $(1; 16)$ , $(2; 24,8)$ , $(3; 36,5)$ og $(8; 117)$ i regresjonen og får

g (x) = 13,93 \cdot {1,312}^{x}

(se g i utklippet). Denne vekstfaktoren tilsvarer om lag $31 %$ vekst per uke, altså litt raskere vekst enn modellen i a).

Med modellen fra c) blir høyden etter 12 uker

g (12) = 13,93 \cdot {1,312}^{12} \approx 364 cm

Dette er urealistisk — en solsikke blir ikke $3,6 m$ høy. Grunnen er at eksponentiell vekst bare beskriver en tidlig, rask vekstfase hos planter. Etter hvert flater veksten ut mot en maksimal høyde, slik at den virkelige vekstkurven ligner mer på en S-kurve enn på en ren eksponentialkurve. Modellen i c) er tilpasset målingene i de første 8 ukene, og kan derfor ikke brukes til å forutsi høyden mange uker senere. (Til sammenligning er leserens tips på $12,5 m$ enda mer urealistisk.)

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-7-II for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1Stolkostnad, appelsinjuice og forsvinningspunkt på Abbey Road

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Graftyper for ulike situasjoner

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3Aldersfordeling i leilighetskompleks

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Tilbudet ta tre betal for to

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Nettolønn og bruttolønn for Anne og Roald

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Lån uten avdrag og effektiv rente

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-ITrefigurer i snekkerverksted og blandingsforhold for maling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7-IISolsikke-vekst og eksponentiell regresjon

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1·Stolkostnad, appelsinjuice og forsvinningspunkt på Abbey Road

Oppgave 1-2·Graftyper for ulike situasjoner

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver

Oppgave 2-3·Aldersfordeling i leilighetskompleks

Oppgave 2-4·Tilbudet ta tre betal for to

Oppgave 2-5·Nettolønn og bruttolønn for Anne og Roald

Oppgave 2-6·Lån uten avdrag og effektiv rente

Oppgave 2-7-I·Trefigurer i snekkerverksted og blandingsforhold for maling

Oppgave 2-7-II·Solsikke-vekst og eksponentiell regresjon

Temaer

Oppgave 1-1Stolkostnad, appelsinjuice og forsvinningspunkt på Abbey Road

Oppgave 1-2Graftyper for ulike situasjoner

Oppgave 2-3Aldersfordeling i leilighetskompleks

Oppgave 2-4Tilbudet ta tre betal for to

Oppgave 2-5Nettolønn og bruttolønn for Anne og Roald

Oppgave 2-6Lån uten avdrag og effektiv rente

Oppgave 2-7-ITrefigurer i snekkerverksted og blandingsforhold for maling

Oppgave 2-7-IISolsikke-vekst og eksponentiell regresjon