2P Høst 2008

1) Vi runder av tallene og regner i hodet:

Mp3-spilleren koster altså omtrent $\underline{\underline{1600\mathrm{kr}}}$ (svar mellom ca. $1500$ og $1700\mathrm{kr}$ godtas).

2) Vi runder av målene til hele tall/enkle desimaltall:

Tilhengeren rommer altså omtrent $\underline{\underline{3{\mathrm{m}}^3}}$.

1) Vi regner ut det som står i parentesene først:

2) Vi bruker potensregelen ${(a^m)}^n=a^{m\cdot n}$ og $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$:

Vi ønsker en brøk mellom ${\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$ og $1$. Vi kan for eksempel utvide ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ til åttedeler:

Da ligger ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ mellom ${\displaystyle \frac{6}{8}}$ og ${\displaystyle \frac{8}{8}}=1$:

(Andre svar, som ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ eller ${\displaystyle \frac{9}{10}}$, er også riktige.)

Vi finner de høyeste toerpotensene som til sammen blir $27$:

Det gir sifrene $1$ i posisjonene $2^4,2^3,2^1,2^0$ og $0$ i posisjonen $2^2$:

1) Vi setter av punktene $(22,270)$ og $(38,430)$ i et koordinatsystem med $x$-aksen merket km og $y$-aksen merket kroner, og trekker en rett linje mellom de to punktene.

2) Linja mellom punktene har stigningstall

Prisen øker altså med $10\mathrm{kr}$ per km. Startavgiften finner vi ved å sette inn ett av punktene, for eksempel $(22,270)$, i $y=10x+b$:

Kari betalte altså $\underline{\underline{50\mathrm{kr}}}$ i startavgift, og $\underline{\underline{10\mathrm{kr}}}$ for hver km hun kjørte.

Det er $13$ gutter av totalt $13+17=30$ elever. Siden elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge, er sannsynligheten for at den første er en gutt gitt ved forholdet mellom antall gutter og totalt antall elever:

Når den første eleven er en gutt, er det igjen $29$ elever, hvorav alle de $17$ jentene fortsatt er igjen (mens det bare er $12$ gutter igjen). Sannsynligheten for at den andre eleven er en jente, gitt at den første var en gutt, blir da

Denne gangen er det $9$ gutter og $6$ jenter, totalt $15$ elever. Vi bruker produktsetningen for hendelser uten tilbakelegging.

Sannsynligheten for at den første er en jente er ${\displaystyle \frac{6}{15}}$. Når den første jenta er tatt bort, er det $5$ jenter igjen av $14$ elever totalt, så sannsynligheten for at den andre også er en jente er ${\displaystyle \frac{5}{14}}$.

Rommet har sidene $\mathrm{7,5}\mathrm{m}$ og $\mathrm{5,1}\mathrm{m}$. I målestokk 1 : 50 blir alle lengder $50$ ganger mindre på tegningen:

Døra er $90\mathrm{cm}=\mathrm{0,9}\mathrm{m}$ bred og ligger $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ fra en av langveggene. Omregnet til tegningen:

Vi tegner et rektangel som er $15\mathrm{cm}\times \mathrm{10,2}\mathrm{cm}$, markerer døråpningen på $\mathrm{1,8}\mathrm{cm}$ på den korte veggen, med $\mathrm{3,0}\mathrm{cm}$ til den nærmeste langveggen:

$\underline{\underline{\text{Se tegningen over.}}}$

Kameraet skal stå midt foran langsiden ($\mathrm{2,0}\mathrm{m}$) av pulten, slik at opptaksvinkelen på $60°$ akkurat dekker hele langsiden. Kamera og de to hjørnene på langsiden danner en likebeint trekant der toppvinkelen (ved kameraet) er $60°$.

Siden trekanten er likebeint med toppvinkel $60°$, blir de to andre vinklene også $60°$ hver:

Trekanten har altså tre like vinkler på $60°$, og er dermed likesidet — alle tre sidene er like lange som langsiden, $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$.

Avstanden $d$ fra kameraet til pulten er høyden i denne likesidede trekanten, ned til midtpunktet av langsiden. Vi deler trekanten i to rettvinklede trekanter med hypotenus $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$, kateter $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ (halve langsiden) og $d$, og vinkel $30°$ ved kameraet:

$\underline{\underline{d\approx \mathrm{1,7}\mathrm{m}}}$

Kameraet må altså stå omtrent $\mathrm{1,7}\mathrm{m}$ fra langsiden av nyhetspulten.

Vi tegner inn nyhetspulten ($\mathrm{1,0}\mathrm{m}\times \mathrm{2,0}\mathrm{m}$) og kameraet $\mathrm{1,7}\mathrm{m}$ foran langsiden, midt for pulten, i samme målestokk 1 : 50. I tegningen blir avstanden fra kamera til pult

$\underline{\underline{\text{Se tegningen over.}}}$

Vi sorterer resultatene og finner gjennomsnitt og median for hver av jentene.

Anna (sortert): $\mathrm{4,10}\mathrm{4,37}\mathrm{4,91}\mathrm{5,10}\mathrm{5,23}\mathrm{5,32}\mathrm{5,42}\mathrm{5,45}\mathrm{5,89}\mathrm{5,92}$

Med 10 verdier er medianen gjennomsnittet av 5. og 6. verdi i den sorterte rekken:

Petra (sortert): $\mathrm{5,04}\mathrm{5,44}\mathrm{5,53}\mathrm{5,59}\mathrm{5,67}\mathrm{5,72}\mathrm{5,73}\mathrm{5,74}\mathrm{5,80}\mathrm{5,83}$

Svar: $\underline{\underline{{\bar{x}}_{\text{Anna}}\approx \mathrm{5,17}\mathrm{m},{\text{median}}_{\text{Anna}}\approx \mathrm{5,28}\mathrm{m}}}$, $\underline{\underline{{\bar{x}}_{\text{Petra}}\approx \mathrm{5,61}\mathrm{m},{\text{median}}_{\text{Petra}}\approx \mathrm{5,70}\mathrm{m}}}$

Variasjonsbredden er differansen mellom det høyeste og det laveste hoppet.

Standardavviket regnes ut med den empiriske formelen (deling på $n-1$, som i GeoGebra/Excel STDAV):

Utregning (i regneark) gir:

Svar: $\underline{\underline{R_{\text{Anna}}=\mathrm{1,82}\mathrm{m},s_{\text{Anna}}\approx \mathrm{0,59}\mathrm{m}}}$, $\underline{\underline{R_{\text{Petra}}=\mathrm{0,79}\mathrm{m},s_{\text{Petra}}\approx \mathrm{0,23}\mathrm{m}}}$

Vi sammenligner resultatene fra a) og b):

Petra har både høyere gjennomsnitt og høyere median enn Anna, og hun har et langt lavere standardavvik og en langt mindre variasjonsbredde. Dette betyr at Petra hopper jevnt over lengre og er en langt mer stabil/forutsigbar hopper – hun har ingen svake hopp. Anna har riktignok det aller lengste enkelthoppet av de to ($\mathrm{5,92}\mathrm{m}$ mot $\mathrm{5,83}\mathrm{m}$), men resultatene hennes svinger mye, med flere hopp under $\mathrm{5,00}\mathrm{m}$ (blant annet $\mathrm{4,10}\mathrm{m}$).

Siden det er den beste av de to jentene som skal kvalifiseres, og en konkurranse normalt gir flere forsøk der stabil kvalitet teller mer enn ett enkelt godt hopp, taler statistikken samlet sett for at Petra bør kvalifiseres til konkurransen. Man kunne likevel argumentert for Anna dersom man legger avgjørende vekt på at hun har det aller lengste enkelthoppet – dette er en åpen vurderingsoppgave der begrunnelsen teller mer enn selve konklusjonen.

Vi lar $x$ være antall år etter 1975, slik at $x=0$ svarer til 1975, $x=5$ svarer til 1980, osv. Da får vi punktene

Disse er avsatt som røde punkter i koordinatsystemet i figuren under.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den lineære modellen som passer best til datapunktene (minste kvadraters metode). Dette gir

Året 2030 svarer til $x=2030-1975=55$. Vi setter inn i modellen:

Ifølge den lineære modellen vil det være omtrent $\underline{\underline{848\text{ personer}}}$ over 100 år i Norge i 2030.

Vi bruker regresjon på GeoGebra til å finne den eksponentielle modellen som passer best til datapunktene. Dette gir

Dette betyr en årlig vekst på omtrent $\mathrm{4,9}\%$. Vi setter inn $x=55$:

Ifølge den eksponentielle modellen vil det være omtrent $\underline{\underline{1808\text{ personer}}}$ over 100 år i Norge i 2030.

Figuren under viser datapunktene sammen med begge modellene, med punktene $Q_1=(55,f(55))$ og $Q_2=(55,g(55))$ markert for 2030.

Prognosen sier at antallet skal tredobles i løpet av 20–25 år regnet fra 2006-nivået på $533$ personer, altså til omtrent

Vi sammenligner dette med modellenes anslag for 2030 ($x=55$):

• Den lineære modellen gir $f(55)\approx 848$ personer, som er langt under prognosens $1600$.
• Den eksponentielle modellen gir $g(55)\approx 1808$ personer, som ligger nær prognosens anslag på ca. $1600$.

Vi ser altså at $\underline{\underline{\text{den eksponentielle modellen stemmer klart best med prognosen}}}$ om tredobling, mens den lineære modellen underestimerer veksten kraftig. Dette henger sammen med at en tredobling i løpet av et fast antall år tilsvarer en konstant prosentvis vekst, som nettopp er kjennetegnet på eksponentiell vekst — ikke lineær vekst med et konstant antall personer per år.

Samtidig bør vi være kritiske til å bruke den eksponentielle modellen over lang tid: en vekst på $\mathrm{4,9}\%$ per år vil før eller siden gi urealistisk høye tall, siden antall hundreåringer i praksis er begrenset av befolkningens størrelse og levealder. Modellen er derfor mest pålitelig som prognose noen tiår fram i tid, ikke i det uendelige.

Vi kontrollerer tallene i første kolonne ($r=\mathrm{1,0}\mathrm{cm}$, $h=\mathrm{3,0}\mathrm{cm}$):

Tallene i tabellen stemmer.

Vi regner så ut de samme størrelsene for $r=\mathrm{4,0}\mathrm{cm}$, $h=\mathrm{2,0}\mathrm{cm}$ og for $r=\mathrm{3,0}\mathrm{cm}$, $h=\mathrm{8,0}\mathrm{cm}$, med samme formler:

Vi ser en tydelig sammenheng: for hvert sett med $r$ og $h$ er forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Volum}}{\text{Overflate}}}$ nøyaktig det samme for prismet og sylinderen.

For prismet med sidekant $2r$ og høyde $h$:

Overflaten består av to kvadratiske endeflater og fire rektangulære sideflater:

Forholdet blir da

For sylinderen med radius $r$ og høyde $h$:

Forholdet blir da

Resultatene i a), b) og c) viser den samme sammenhengen: forholdet ${\displaystyle \frac{\text{Volum}}{\text{Overflate}}}$ er

for både prismet og sylinderen. Formelen er uavhengig av formen på legemet — den avhenger bare av $r$ og $h$. Dette stemmer med tallene i tabellen i a), der forholdet ble likt for prismet og sylinderen i alle tre kolonnene.

Personinntekten er $450000\mathrm{kr}$.

Vi finner alminnelig inntekt ved å trekke fra $63800\mathrm{kr}$:

Inntektsskatten er $28\%$ av alminnelig inntekt:

Trygdeavgiften er $\mathrm{7,8}\%$ av personinntekten:

Personinntekten er høyere enn $400000\mathrm{kr}$, så det skal betales toppskatt. Grunnlaget for toppskatt er:

Skatten totalt blir summen av de tre skattene:

Nettolønnen er personinntekten minus skatten:

Dette stemmer med tallet vi skulle vise.

Personinntekten i 2007 er $\mathrm{5,5}\%$ høyere enn i 2006:

Vi regner ut skatten på samme måte som i a):

Skatten totalt:

Nettolønnen i 2007 blir da:

Svar: $\underline{\underline{\text{Nettolønnen i 2007 var }315926\mathrm{kr}}}$

Den prosentvise endringen i nettolønn fra 2006 til 2007 finner vi ved å dele endringen på verdien i 2006:

Svar: Nettolønnen økte med $\underline{\underline{\text{ca. }\mathrm{4,5}\%}}$ fra 2006 til 2007.

For å sammenligne kjøpekraften (reallønnen) deler vi nettolønnen på konsumprisindeksen for hvert år:

Siden reallønnen økte fra 2006 til 2007, hadde Per mer penger å handle for i 2007 enn i 2006 — lønnsøkningen var større enn prisstigningen.

Svar: $\underline{\underline{\text{Per hadde mer å handle for i 2007 enn i 2006}}}$

Vi skal finne den personinntekten $x$ i 2007 som gir samme reallønn som i 2006. Vi krever da at

som gir at nettolønnen i 2007 må være

Siden $x$ trolig er over $400000\mathrm{kr}$ (personinntekten i 2006 var allerede over denne grensen), setter vi opp nettolønnen som funksjon av $x$ i toppskattsjiktet:

Vi løser likningen

Vi kontrollerer: $x\approx 454187\mathrm{kr}$ er over $400000\mathrm{kr}$, så antakelsen om toppskatt stemmer.

Svar: $\underline{\underline{\text{Per måtte hatt en personinntekt på ca. }454187\mathrm{kr}\text{ i 2007}}}$ for å ha like mye å handle for som i 2006.