2P Høst 2023

Oppgave 1-1Buss enkeltbillett eller fleksikort

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?

Fasit

17

17 %

Løsningsforslag

Siden $25 \cdot 4 = 100$ så må $25 \cdot 16 = 400$ . Da må også $25 \cdot 17 = 425$ .

Hvis Selma kjører 16 reiser så vil hun altså betale mindre ved å kjøpe enkeltbilletter til 25 kr stk.

Hvis Selma kjører 17 reiser så lønner det seg å kjøpe fleksikort med 20 reiser.

Prisen for 20 enkeltreiser er $25 \cdot 20 = 500$ .

Hun sparer altså $500 - 415 = 85 k r$ . Det tilsvarer

\frac{85}{500} = \frac{85 : 5}{500 : 5} = \frac{17}{100} = 17 %

Hun sparer 17 % på å kjøpe fleksikort hvis hun bruker 20 reiser.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Kart og målestokk

På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.

Bestem målestokken til kartet.

Fasit

$1 : 50 000$

LøsningsforslagKI-generert

For å finne målestokken må vi sammenligne avstand på kartet med avstand i virkeligheten. Begge mål må ha samme enhet.

Vi gjør om 20 km til cm:

20 km = 20 \cdot 1000 m = 20 000 m = 20 000 \cdot 100 cm = 2 000 000 cm

Målestokken er forholdet mellom kartavstand og virkelig avstand:

Målestokk = \frac{kartavstand}{virkelig avstand} = \frac{40 cm}{2 000 000 cm} = \frac{1}{50 000}

Målestokken til kartet er $1 : 50 000$ .

Det betyr at 1 cm på kartet svarer til 50 000 cm = 500 m = 0,5 km i virkeligheten.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet, Målestokk
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Joggeavstander med gitte sentralmål

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.

I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.

Fasit

Mange mulige svar. Eks. alt. 1: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15 | alt. 2: 3, 5, 5, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 16

Løsningsforslag

Vi trenger en tallrekke med 10 tall der:

typetallet er 5 (5 km forekommer flest ganger)
medianen er 8 km (gjennomsnittet av det 5. og 6. tallet i sortert rekkefølge er 8)
gjennomsnittet er 9 km (summen av alle tallene er $10 \cdot 9 = 90$ )

Alternativ 1 (bruker 8 km minst én gang):

5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15

Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
Median: $\frac{8 + 8}{2} = 8$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{5 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 10 + 12 + 15 + 15}{10} = \frac{90}{10} = 9$ ✓

Alternativ 2 (bruker ikke 8 km, minst halvparten nye tall):

3, 5, 5, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 16

Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
Median: $\frac{6 + 10}{2} = 8$ ✓
Gjennomsnitt: $\frac{3 + 5 + 5 + 5 + 6 + 10 + 11 + 14 + 15 + 16}{10} = \frac{90}{10} = 9$ ✓
Ingen 8 km ✓
Nye tall (ikke i alt. 1): 3, 6, 11, 14, 16 – det er 5 av 10 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 ✓

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 2 poeng for hvert riktig alternativ. En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 av de 2 poengene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Utforskning
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Nullpunkter og andregradslikninger

(x + 4) (x - 1) = 0

(x + 2) (x - 3) = - 6

Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.

Kommenter det Selma og Tobine sier, og løs likningen $(x + 2) (x - 3) = - 6$

Fasit

$x_{1} = 0$ og $x_{2} = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Kommentar til Selma

Selma har rett! Grunnen til at metoden virker, er nullproduktsregelen: hvis et produkt av to faktorer er lik null, må minst én av faktorene være lik null. Det betyr at

(x + 4) (x - 1) = 0 \Rightarrow x + 4 = 0 eller x - 1 = 0

Fra $x + 4 = 0$ får vi $x_{1} = - 4$ , og fra $x - 1 = 0$ får vi $x_{2} = 1$ . Selma regner riktig.

Kommentar til Tobine

Tobine misforstår. Nullproduktsregelen gjelder kun når høyresiden er lik null. Når høyresiden er $- 6$ , kan vi ikke si at én av parentesene må være $- 6$ . Det er mulig å sette opp utallige kombinasjoner av to tall som gir produktet $- 6$ (f.eks. $2 \cdot (- 3)$ , $(- 1) \cdot 6$ , osv.), og det gir ikke en enkel metode.

Vi kan sjekke at Tobines svar er feil: setter vi inn $x = - 8$ :

(- 8 + 2) (- 8 - 3) = (- 6) (- 11) = 66 \neq - 6

Løsning av $(x + 2) (x - 3) = - 6$

Vi må flytte $- 6$ over til venstre side slik at høyresiden blir null, og deretter multiplisere ut:

(x + 2) (x - 3) = - 6

(x + 2) (x - 3) + 6 = 0

Vi multipliserer ut venstre side:

x^{2} - 3 x + 2 x - 6 + 6 = 0

x^{2} - x = 0

Vi setter $x$ utenfor parentes (faktoriserer):

x (x - 1) = 0

Nå kan vi bruke nullproduktsregelen:

x = 0 eller x - 1 = 0

𝐱_{1} = 𝟎 og 𝐱_{2} = 𝟏

$x_{1} = 0$ og $x_{2} = 1$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere det Selma og Tobine sier og løse likningen riktig.

Poengene fordeles i utgangspunktet slik:

2 poeng for å forklare hvorfor det Selma sier er riktig og det Tobine sier ikke er riktig
2 poeng for å løse likningen riktig

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Andregradslikninger, Likninger
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 2-1Vase og roser likningssystem

Kalkulator

Vaser og roser

Hvor mye koster en vase? Hvor mye koster en rose?

Fasit

En vase koster 225 kr, en rose koster 12 kr.

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av bildet og setter opp to likninger. La $v$ være prisen for en vase og $r$ prisen for en rose.

Fra bilde 1 og 2:

\begin{matrix} v + 3 r & = 261 \\ 2 v + 2 r & = 474 \end{matrix}

Fra likning II deler vi på 2:

v + r = 237

Vi trekker denne fra likning I:

(v + 3 r) - (v + r) = 261 - 237

2 r = 24

r = 12

Setter inn i $v + r = 237$ :

v = 237 - 12 = 225

Kontroll med bilde 3: $3 \cdot 225 + 6 \cdot 12 = 675 + 72 = 747$ ✓

En vase koster $225 kr$ og en rose koster $12 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng. Riktig svar med en noe mangelfull begrunnelse, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem, Økonomi
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Prisindeks for sjokoladepålegg

Kalkulator

Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
Prisindeks for sjokoladepålegg	100	97,0	98,1	98,7	99,9	112,3	110,2	119,8

Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra 35,90 kroner i 2019 til 39,90 kroner i 2022.

Gjør beregninger og finn ut om prisen for dette sjokoladepålegget steg mer enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.

Fasit

Prisen på sjokoladepålegget steg med ca. $11,1 %$ , mens prisindeksen steg med ca. $19,9 %$ . Prisen steg mindre enn prisindeksen.

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut prosentvis endring i prisindeksen fra 2019 til 2022:

\frac{119,8 - 99,9}{99,9} \cdot 100 \approx 19,9 %

Deretter regner vi ut den faktiske prosentvise prisendringen for sjokoladepålegget:

\frac{39,90 - 35,90}{35,90} \cdot 100 \approx 11,1 %

Siden $11,1 % < 19,9 %$ , steg prisen på dette sjokoladepålegget mindre enn prisindeksen for sjokoladepålegg fra 2019 til 2022.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prisindeks, Prosentregning
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Målskårere i Eliteserien 2022

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.

Rank	Spiller	Klubb	Mål
1	Amahl Pellegrino	Bodø/Glimt	25
2	Hugo Vetlesen	Bodø/Glimt	16
3	David Datro Fofana	Molde	15
3	Casper Tengstedt	Rosenborg	15
3	Tobias Heintz	Sarpsborg 08	15
6	Ole Hammerfjell Sæter	Rosenborg	14
7	Eric Bugalo Kitolano	Tromsø	13
8	Runar Espejord	Bodø/Glimt	12
8	Mohamed Ofkir	Sandefjord	12
10	Ola Brynhildsen	Molde	11
10	Johan Hove	Strømsgodset	11

Kalkulator

Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

Kalkulator

Hva kan du ut fra dette og beregningene i oppgave a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenlignet med de 11 fotballspillerne fra 2022?

Fasit

Typetall: 15, variasjonsbredde: 14, median: 14

Gjennomsnitt: ≈ 14,5, standardavvik: ≈ 3,7

Gjennomsnittet er likt (≈ 14,5), men medianen er høyere i 2022 (14 mot 11) og standardavviket er lavere (3,7 mot 6,7) – scoringene er mer jevnt fordelt i 2022.

Løsningsforslag

Datamaterialet sortert: $11, 11, 12, 12, 13, 𝟏𝟒, 15, 15, 15, 16, 25$

Typetall: $15$ (forekommer 3 ganger)
Variasjonsbredde: $25 - 11 = 14$
Median: Det 6. tallet i sortert rekkefølge (11 tall) er $14$

Vi beregner i GeoGebra med listen ${11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 25}$ .

Gjennomsnitt = \frac{11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 14 + 15 + 15 + 15 + 16 + 25}{11} = \frac{159}{11} \approx 14,5

Standardavvik (beregnet med GeoGebra): $σ \approx 3,7$

I 2021 var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Vi kan se følgende:

Gjennomsnittet er nesten likt i begge sesongene (≈ 14,5). De 11 beste spillerne scoret like mange mål totalt sett.
Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11). I 2022 scoret minst 6 av de 11 spillerne 14 mål eller mer, mens i 2021 scoret minst 6 spillere 11 mål eller mer. Den typiske topp-11-spilleren scoret altså mer i 2022.
Standardavviket er lavere i 2022 (3,7 mot 6,7). Scoringene er mer jevnt fordelt i 2022 – ingen enkeltspiller dominerer like mye. I 2021 var det større forskjell mellom toppen og resten.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som bare bruker de sju oppgitte verdiene i sine beregninger, får maksimalt 1 poeng.

1 poeng for riktig gjennomsnitt.

1 poeng for riktig standardavvik.

En kandidat som bare bruker de sju oppgitte verdiene, men utfører riktige beregninger, får 1 poeng.

Noe mangelfulle sammenlikninger kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Boliglån månedlige terminer

Krever PC

Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.

Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.

Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.

Fasit

Se tabell. Lånet er $\approx 2 373 215 kr$ etter 24 måneder.

LøsningsforslagKI-generert

Hver måned beregner vi:

Renter = restlån $\cdot$ 0,0033
Avdrag = terminbeløp $-$ gebyr $-$ renter = $13 385 - 50 -$ renter
Nytt restlån = gammelt restlån $-$ avdrag

Vi setter dette opp i et regneark:

Mnd	Lån (start)	Renter	Avdrag	Lån (slutt)
1	$2 500 000$	$8 250$	$5 085$	$2 494 915$
2	$2 494 915$	$8 233$	$5 102$	$2 489 813$
3	$2 489 813$	$8 216$	$5 119$	$2 484 695$
4	$2 484 695$	$8 199$	$5 136$	$2 479 559$
5	$2 479 559$	$8 183$	$5 152$	$2 474 407$
6	$2 474 407$	$8 166$	$5 169$	$2 469 237$
7	$2 469 237$	$8 148$	$5 187$	$2 464 051$
8	$2 464 051$	$8 131$	$5 204$	$2 458 847$
9	$2 458 847$	$8 114$	$5 221$	$2 453 626$
10	$2 453 626$	$8 097$	$5 238$	$2 448 388$
11	$2 448 388$	$8 080$	$5 255$	$2 443 133$
12	$2 443 133$	$8 062$	$5 273$	$2 437 860$
13	$2 437 860$	$8 045$	$5 290$	$2 432 570$
14	$2 432 570$	$8 027$	$5 308$	$2 427 263$
15	$2 427 263$	$8 010$	$5 325$	$2 421 938$
16	$2 421 938$	$7 992$	$5 343$	$2 416 595$
17	$2 416 595$	$7 975$	$5 360$	$2 411 235$
18	$2 411 235$	$7 957$	$5 378$	$2 405 857$
19	$2 405 857$	$7 939$	$5 396$	$2 400 461$
20	$2 400 461$	$7 922$	$5 413$	$2 395 048$
21	$2 395 048$	$7 904$	$5 431$	$2 389 616$
22	$2 389 616$	$7 886$	$5 449$	$2 384 167$
23	$2 384 167$	$7 868$	$5 467$	$2 378 700$
24	$2 378 700$	$7 850$	$5 485$	$2 373 215$

Vi ser at avdragene øker litt for hver måned (fordi rentene minker), og etter to år er restlånet $\approx 2 373 215 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må oversikten være riktig og ryddig satt opp. Noe mangelfulle oversikter kan gi 2 eller 3 poeng. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lån, Økonomi, Rekursiv sammenheng
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Trekant med to løsninger

For hånd

Læreren har bedt elevene tegne en trekant $A B C$ slik at $∠ B = 30 °$ , $B C = 8 c m$ og $A C = 6 c m$ .

Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.

Kan begge ha tegnet riktig? Lag skisser og forklar.

Fasit

Ja, begge kan ha tegnet riktig. Det finnes to ulike trekanter som oppfyller kravene.

Løsningsforslag

Vi konstruerer trekanten steg for steg:

Tegn linjestykket $B C = 8 c m$
Fra $B$ , tegn en stråle som danner en vinkel på $30 °$ med $B C$ . Punkt $A$ må ligge et sted på denne strålen.
Siden $A C = 6 c m$ , tegner vi en sirkel med sentrum i $C$ og radius $6 c m$ . Punkt $A$ må ligge på denne sirkelen.
Punkt $A$ er der strålen og sirkelen krysser hverandre.

To mulige trekanter

Strålen fra $B$ krysser sirkelen i to punkter, $A_{1}$ og $A_{2}$ . Det gir to ulike trekanter:

	Trekant 1 (grønn)	Trekant 2 (rød)
$A B$	$11,4 c m$	$2,5 c m$
$∠ A$	$41,8 °$	$138,2 °$
$∠ C$	$108,2 °$	$11,8 °$

Begge trekantene har $∠ B = 30 °$ , $B C = 8 c m$ og $A C = 6 c m$ .

Ja, begge elevene kan ha tegnet riktig. Det finnes to forskjellige trekanter som oppfyller kravene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det er en trykkfeil i denne oppgaven. Den oppgitte vinkelen skulle vært $30 °$ . Denne informasjonen har dessverre ikke nådd ut til kandidatene.

Det er besluttet at alle kandidater får 2 poeng. Dersom en kandidat har vist kompetanse i sin besvarelse, skal sensor i tillegg ta dette med som et positivt element i en helhetsvurdering.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Helsefagarbeidere presentasjon av data

Krever PC

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

År	Menn	Kvinner
2015	2 232	17 493
2016	2 911	21 439
2017	3 558	24 785
2018	3 957	27 327
2019	4 698	30 733
2020	5 511	33 958
2021	6 447	37 357
2022	7 317	40 472

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Menn økte 228 %, kvinner 131 %, totalt 142 %. Andel menn økte fra 11,3 % til 15,3 %.

Løsningsforslag

Nedenfor presenteres datamaterialet med beregninger og to diagrammer.

Beregninger:

	2015	2022	Økning
Menn	2 232	7 317	+228 %
Kvinner	17 493	40 472	+131 %
Totalt	19 725	47 789	+142 %

Andelen menn økte fra $\frac{2 232}{19 725} \approx 11,3 %$ i 2015 til $\frac{7 317}{47 789} \approx 15,3 %$ i 2022.

Helsefagarbeidere 2015–2022

Kommentarer til diagrammene:

Linjediagrammet viser at antallet helsefagarbeidere økte kraftig for begge kjønn i perioden 2015–2022, og at veksten var sterkere for menn (228 %) enn for kvinner (131 %).
Det stablede søylediagrammet viser at andelen menn har økt fra ca. 11 % til ca. 15 %. Yrket er fortsatt sterkt dominert av kvinner, men stadig flere menn velger dette yrket.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte.

Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.)

Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2–3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Diagram, Presentasjon av data
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Kvadratserie geometrisk rekke

Kvadratserie

Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der

sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet

Kalkulator

Vis at den samlede omkretsen av de tre første kvadratene i serien vil bli 108,4 cm.

Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.

Oppsett for hånd

Bruk programmering til å lage et program som finner samlet omkrets av alle kvadratene.

Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.

Kalkulator

Undersøk og beskriv sammenhengen mellom lengden av sidekantene i det største kvadratet og den samlede omkretsen av alle kvadratene i hver serie.

Ole påstår at $T = \frac{4 \cdot s}{p} \cdot 100$ er en formel for å regne ut den samlede omkretsen $T$ av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er $s$ og sidekantene i det neste kvadratet er $p$ % kortere enn sidekantene i det forrige.

Kalkulator

Undersøk om denne sammenhengen kan gjelde.

Fasit

Samlet omkrets $= 40 + 36 + 32,4 = 108,4 cm$

$T = 400 cm$

Sammenhengen er lineær: $T = 40 \cdot s$

Oles formel stemmer.

LøsningsforslagKI-generert

Sidekantene i de tre første kvadratene er

s_{1} = 10, s_{2} = 10 \cdot 0,9 = 9, s_{3} = 10 \cdot {0,9}^{2} = 8,1

Omkretsene er

O_{1} = 4 \cdot 10 = 40, O_{2} = 4 \cdot 9 = 36, O_{3} = 4 \cdot 8,1 = 32,4

Samlet:

O_{1} + O_{2} + O_{3} = 40 + 36 + 32,4 = 𝟏𝟎𝟖,𝟒 cm

Omkretsene danner en geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = 40$ og kvotient $k = 0,9$ . Siden $| k | < 1$ konvergerer rekken, og summen av uendelig mange ledd er

T = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{40}{1 - 0,9} = \frac{40}{0,1} = 𝟒𝟎𝟎 cm

Program (Python):

s = 10       # sidekant første kvadrat
k = 0.9      # kvotient
total = 0
while s > 0.0001:
    total += 4 * s
    s = s * k
print(total)  # → 400.0

Vi lager nye serier der vi bare endrer størrelsen $s$ på det største kvadratet, men beholder at hvert neste kvadrat er $10 %$ kortere. For en serie med største sidekant $s$ er første omkretsled $a_{1} = 4 s$ og kvotienten fortsatt $k = 0,9$ .

Samlet omkrets:

T = \frac{4 s}{1 - 0,9} = \frac{4 s}{0,1} = 40 \cdot s

Sammenhengen er altså lineær: den samlede omkretsen er 40 ganger sidekanten i det største kvadratet.

Sammenheng mellom sidekant og samlet omkrets

Grafen (se T(s) = 40s i utklippet) bekrefter at sammenhengen er en rett linje gjennom origo. For $s = 10$ er $T = 400$ , markert som punkt $A = (10, 400)$ .

For en serie der sidekantene reduseres med $p %$ for hvert ledd, er kvotienten

k = 1 - \frac{p}{100}

Første ledd er $a_{1} = 4 s$ , og sumformelen gir

T = \frac{4 s}{1 - k} = \frac{4 s}{1 - (1 - \frac{p}{100})} = \frac{4 s}{\frac{p}{100}} = \frac{4 s \cdot 100}{p}

Dette er nøyaktig Oles formel $T = \frac{4 \cdot s}{p} \cdot 100$ . Formelen stemmer.

Vi kan sjekke med $s = 10$ og $p = 10$ :

T = \frac{4 \cdot 10}{10} \cdot 100 = 400 cm

Dette stemmer med svaret fra b).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

En kandidat som gjør flere undersøkelser, men ikke klarer å beskrive en riktig sammenheng, kan få 1 poeng.

En kandidat som argumenterer for formelen som er gitt i oppgave d), kan få 1 poeng for dette dersom argumentasjonen knyttes til undersøkelsene som er gjort.

For å få full uttelling, må kandidaten variere både $p$ og $s$ og gjøre flere undersøkelser.

Det er viktig å vurdere helheten i svarene som er gitt i oppgave c) og d).

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Geometrisk vekst, Rekker, Programmering
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Klimagassutslipp eksponentiell vekst

I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

Kalkulator

La $x$ være antall år etter 2022 og lag modellen.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Kalkulator

Bruk modellen du fant i oppgave a), og vurder den opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.

Fasit

$U (x) = 48,9 \cdot {0,9104}^{x}$ , der nedgangen er ca. $8,96 %$ per år.

Modellen gir $U (28) \approx 3,53$ mill. tonn i 2050, som tilsvarer ca. 93 % reduksjon fra 1990-nivå — innenfor målet på 90–95 %.

LøsningsforslagKI-generert

Utslippet i 2022 er startverdi: $48,9$ millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Vi setter opp en eksponentialfunksjon der $x$ er antall år etter 2022:

U (x) = 48,9 \cdot r^{x}

Klimamålet for 2030 er 55 % reduksjon fra 1990-nivå:

{Mål}_{2030} = 51,3 \cdot (1 - 0,55) = 51,3 \cdot 0,45 = 23,085 mill. tonn

I 2030 er $x = 2030 - 2022 = 8$ . Vi setter opp likningen:

48,9 \cdot r^{8} = 23,085

r^{8} = \frac{23,085}{48,9} \approx 0,4721

r = {0,4721}^{\frac{1}{8}} \approx 0,9104

Den prosentvise nedgangen per år er:

1 - 0,9104 = 0,0896 \approx 8,96 %

Modellen er:

U (x) = 48,9 \cdot {0,9104}^{x}

der $x$ er antall år etter 2022.

Vi bruker GeoGebra til å tegne modellen og legger inn målene for 2050.

Eksponentiell modell for klimagassutslipp med mål for 2030 og 2050

Vi leser av grafen (se P2050) at modellen gir

U (28) = 48,9 \cdot {0,9104}^{28} \approx 3,53 millioner tonn i 2050

Målet for 2050 er 90–95 % reduksjon fra 1990-nivå:

{Mål}_{90 %} = 51,3 \cdot 0,10 = 5,13 mill. tonn (se 𝙼𝚊𝚊𝚕𝟸𝟶𝟻𝟶𝚕𝚘)

{Mål}_{95 %} = 51,3 \cdot 0,05 = 2,565 mill. tonn (se 𝙼𝚊𝚊𝚕𝟸𝟶𝟻𝟶𝚑𝚒)

Modellverdien $3,53$ mill. tonn ligger mellom de to målinjene (de to grønne linjene i grafen), som betyr at den er innenfor intervallet 90–95 % reduksjon.

Modellen viser at hvis utslippet reduseres med ca. $8,96 %$ hvert år fra 2022, vil utslippet i 2050 være ca. $3,53$ millioner tonn — det er en reduksjon på ca. 93 % fra 1990-nivå, og dermed innenfor lavutslippsmålet på 90–95 %.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling, må kandidaten vurdere modellen opp mot en reduksjon på 90 % og opp mot en reduksjon på 95 %.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Modellering, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 14 poeng

Oppgave 1-1Buss enkeltbillett eller fleksikort

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Kart og målestokk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Joggeavstander med gitte sentralmål

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Nullpunkter og andregradslikninger

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 32 poeng

Oppgave 2-1Vase og roser likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Prisindeks for sjokoladepålegg

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Målskårere i Eliteserien 2022

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Boliglån månedlige terminer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Trekant med to løsninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Helsefagarbeidere presentasjon av data

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Kvadratserie geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Klimagassutslipp eksponentiell vekst

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 14 poeng

Oppgave 1-1·Buss enkeltbillett eller fleksikort

Oppgave 1-2·Kart og målestokk

Oppgave 1-3·Joggeavstander med gitte sentralmål

Oppgave 1-4·Nullpunkter og andregradslikninger

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 32 poeng

Oppgave 2-1·Vase og roser likningssystem

Oppgave 2-2·Prisindeks for sjokoladepålegg

Oppgave 2-3·Målskårere i Eliteserien 2022

Oppgave 2-4·Boliglån månedlige terminer

Oppgave 2-5·Trekant med to løsninger

Oppgave 2-6·Helsefagarbeidere presentasjon av data

Oppgave 2-7·Kvadratserie geometrisk rekke

Oppgave 2-8·Klimagassutslipp eksponentiell vekst

Temaer

Oppgave 1-1Buss enkeltbillett eller fleksikort

Oppgave 1-2Kart og målestokk

Oppgave 1-3Joggeavstander med gitte sentralmål

Oppgave 1-4Nullpunkter og andregradslikninger

Oppgave 2-1Vase og roser likningssystem

Oppgave 2-2Prisindeks for sjokoladepålegg

Oppgave 2-3Målskårere i Eliteserien 2022

Oppgave 2-4Boliglån månedlige terminer

Oppgave 2-5Trekant med to løsninger

Oppgave 2-6Helsefagarbeidere presentasjon av data

Oppgave 2-7Kvadratserie geometrisk rekke

Oppgave 2-8Klimagassutslipp eksponentiell vekst