2P Høst 2013 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Elevfravær – sentralmål og valg mellom gjennomsnitt og median

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et skoleår.

0 3 2 7 2 0 0 11 4 3 28 1 0 3 2 1 1 0 0 32

Bestem gjennomsnitt, median og typetall for elevenes fravær dette skoleåret.

Dersom du skulle presentere et sentralmål for klassens fravær dette skoleåret, ville du da brukt gjennomsnitt eller median? Forklar hvorfor.

Fasit

$Gjennomsnitt = 5, median = 2, typetall = 0$

$Median$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger sammen alle fraværstallene for å finne gjennomsnittet:

0 + 3 + 2 + 7 + 2 + 0 + 0 + 11 + 4 + 3 + 28 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1 + 1 + 0 + 0 + 32 = 100

Det er $20$ elever, så gjennomsnittet blir

\overline{x} = \frac{100}{20} = 5

For å finne medianen sorterer vi tallene i stigende rekkefølge:

0,0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,7,11,28,32

Siden det er $20$ (partall) tall, er medianen gjennomsnittet av det $10.$ og det $11.$ tallet. Begge disse er $2$ , så

Median = \frac{2 + 2}{2} = 2

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Her er det $0$ , som forekommer $6$ ganger.

$Gjennomsnitt = 5, median = 2, typetall = 0$

Gjennomsnittet er sterkt påvirket av de to ekstreme verdiene $28$ og $32$ , som trekker gjennomsnittet ( $5$ ) langt over det de fleste elevene faktisk har (de fleste har mellom $0$ og $4$ dager fravær). Medianen ( $2$ ) påvirkes ikke av slike ekstremverdier, og gir derfor et mer representativt bilde av det typiske fraværet i klassen.

$Jeg ville brukt median$ , fordi den ikke lar seg dominere av noen få elever med svært høyt fravær.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Produkt av tall på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

3,2 \cdot 10^{8} \cdot 4,0 \cdot 10^{- 3}

Fasit

$1,28 \cdot 10^{6}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi grupperer tallene og potensene av 10 for seg:

3,2 \cdot 10^{8} \cdot 4,0 \cdot 10^{- 3} = (3,2 \cdot 4,0) \cdot (10^{8} \cdot 10^{- 3})

Vi regner ut hvert ledd:

3,2 \cdot 4,0 = 12,8

10^{8} \cdot 10^{- 3} = 10^{8 + (- 3)} = 10^{5}

Så får vi:

12,8 \cdot 10^{5}

Dette er ikke standardform fordi $12,8 \geq 10$ . Vi skriver $12,8 = 1,28 \cdot 10^{1}$ :

12,8 \cdot 10^{5} = 1,28 \cdot 10^{1} \cdot 10^{5} = 1,28 \cdot 10^{6}

Svaret på standardform er $1,28 \cdot 10^{6}$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Forenkle potensuttrykk med grunntall 2, 3 og 4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

{(2^{2})}^{- 3} \cdot 4^{4}

{(\frac{3}{2})}^{2} \cdot \frac{{(2^{3})}^{2} \cdot 3^{- 1}}{6}

Fasit

$4$

$8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $4$ som en potens av $2$ , siden $4 = 2^{2}$ :

{(2^{2})}^{- 3} \cdot 4^{4} = 2^{- 6} \cdot {(2^{2})}^{4} = 2^{- 6} \cdot 2^{8}

Når vi ganger potenser med samme grunntall, legger vi sammen eksponentene:

2^{- 6} \cdot 2^{8} = 2^{- 6 + 8} = 2^{2} = 4

$4$

Vi forenkler telleren i brøken først. Siden ${(2^{3})}^{2} = 2^{6} = 64$ , får vi

\frac{{(2^{3})}^{2} \cdot 3^{- 1}}{6} = \frac{64 \cdot \frac{1}{3}}{6} = \frac{\frac{64}{3}}{6} = \frac{64}{18} = \frac{32}{9}

Deretter ganger vi med ${(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$ :

{(\frac{3}{2})}^{2} \cdot \frac{32}{9} = \frac{9}{4} \cdot \frac{32}{9} = \frac{9 \cdot 32}{4 \cdot 9} = \frac{32}{4} = 8

$8$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Potenser, Potensregning
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Rente på bankinnskudd over fem år

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per satte inn 200 000 kroner i banken 1. januar 2008. Renten har vært $4,65 %$ per år.

Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger Per har fått i rente i løpet av de fem årene fra 1. januar 2008 til 1. januar 2013.

Fasit

$200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Renten er $4,65 %$ per år, så vekstfaktoren er:

1 + \frac{4,65}{100} = 1,0465

Etter 5 år har Per følgende beløp i banken:

200 000 \cdot {1,0465}^{5} kr

For å finne hvor mye han har fått i rente, trekker vi fra det opprinnelige innskuddet:

Rente = 200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr

Uttrykket for samlet rente er $200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr$ .

Det er dette beløpet Per har tjent i rente i løpet av de fem årene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Lineær modell for barns ordforråd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord.

Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs $x$ -aksen og ord som enhet langs $y$ -aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene.

Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan.

Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan.

Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde.

Fasit

Se koordinatsystem i løsningsforslaget.

$\approx 1200 o r d$

$f (x) = 60 x - 900$ , gyldig for $20 \leq x \leq 50$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$ i et koordinatsystem med $x$ -akse for alder (måneder) og $y$ -akse for antall ord, og trekker en rett linje gjennom dem.

Vi leser av linjen ved $x = 35$ , som er midtpunktet mellom 20 og 50. Midtpunktet på $y$ -aksen er

\frac{300 + 2100}{2} = \frac{2400}{2} = 1200

Et 35 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt omtrent $1200 o r d$ .

Vi beregner stigningstallet $a$ fra de to punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$ :

a = \frac{2100 - 300}{50 - 20} = \frac{1800}{30} = 60

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn punktet $(20, 300)$ :

300 = 60 \cdot 20 + b

300 = 1200 + b

b = 300 - 1200 = - 900

Funksjonsuttrykket er

f (x) = 60 x - 900

Gyldighetsområde: Modellen er basert på målinger for barn mellom 20 og 50 måneder. Utenfor dette intervallet gir modellen trolig ikke meningsfulle verdier — den sier for eksempel at et nyfødt barn ( $x = 0$ ) kan $- 900$ ord, noe som er umulig. Gyldighetsområdet er $20 \leq x \leq 50$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Gjennomsnittlige lommepenger fra klassedelt tabell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lommepenger (kroner)	Antall elever
$[0, 300 ⟩$	30
$[300, 600 ⟩$	15
$[600, 900 ⟩$	5

Tabellen ovenfor viser hvor mye lommepenger elevene ved en skole får en måned.

Hvor mye får elevene ved skolen i gjennomsnitt i lommepenger denne måneden?

Fasit

$300 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Siden vi bare vet hvilken klasse hver elev tilhører, og ikke det nøyaktige beløpet, bruker vi klassemidtpunktet som representativ verdi for alle elevene i en klasse.

Lommepenger (kroner)	Klassemidtpunkt	Antall elever
$[0, 300 ⟩$	$150$	$30$
$[300, 600 ⟩$	$450$	$15$
$[600, 900 ⟩$	$750$	$5$

Det totale antallet elever er

30 + 15 + 5 = 50

Vi finner summen av lommepenger ved å gange hvert klassemidtpunkt med antall elever i klassen:

30 \cdot 150 + 15 \cdot 450 + 5 \cdot 750 = 4500 + 6750 + 3750 = 15000

Gjennomsnittet blir da

\overline{x} = \frac{15000}{50} = 300

Elevene ved skolen får i gjennomsnitt $300$ kroner i lommepenger denne måneden.

$300 kr$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Grupperte data
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Praktisk situasjon for eksponentiell nedgang fra 300 000

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Beskriv en praktisk situasjon der funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = 300 000 \cdot {0,9}^{x}$ kan brukes som modell.

Fasit

$Verdien av en bil som i utgangspunktet koster 300 000 kr, og som synker 10 % i verdi hvert år$

LøsningsforslagKI-generert

I uttrykket $f (x) = 300 000 \cdot {0,9}^{x}$ er $300 000$ startverdien, og $0,9$ er vekstfaktoren.

En vekstfaktor på $0,9$ betyr at verdien hvert år blir $90 %$ av det den var året før, altså en nedgang på $10 %$ per år.

Dette passer godt til en situasjon der en bil koster $300 000$ kroner ved kjøp, og verdien synker med $10 %$ hvert år på grunn av verditap. Da vil $f (x)$ gi bilens verdi i kroner etter $x$ år.

$For eksempel verdien av en bil til 300 000 kr som taper 10 % av verdien hvert år, der x er antall år$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Totallsystem og tretallsystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv tallene 11, 22 og 44 i totallsystemet.

Formuler en regel for hvordan vi dobler et tall i totallsystemet.

Tallene $121_{3}$ og $120010_{3}$ er skrevet i tretallsystemet.

Hvilket tall i tretallsystemet er tre ganger så stort som tallet $121_{3}$ ? Hvilket tall i tretallsystemet er en tredjedel av tallet $120010_{3}$ ?

Fasit

$11 = 1011_{2}$ , $22 = 10110_{2}$ , $44 = 101100_{2}$

For å doble et tall i totallsystemet legger vi til en $0$ bakerst.

$3 \cdot 121_{3} = 1210_{3}$ , $120010_{3} \div 3 = 12001_{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler gjentatte ganger på 2 og leser av restene nedenfra og opp.

$11$ i totallsystemet:

11 = 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}

11 = 1011_{2}

$22$ i totallsystemet:

22 = 16 + 4 + 2 = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}

22 = 10110_{2}

$44$ i totallsystemet:

Vi kan også bruke at $44 = 2 \cdot 22$ . I totallsystemet betyr det å legge til en $0$ bakerst:

44 = 101100_{2}

I titallsystemet dobler vi et tall ved å legge til en $0$ bakerst (f.eks. $3 \to 30$ ). Det samme gjelder i totallsystemet.

Regel: For å doble et tall i totallsystemet legger vi til en $0$ bakerst i tallrepresentasjonen.

Forklaring: Hvert siffer i totallsystemet har dobbelt så stor verdi som sifferet til høyre. Å legge til en $0$ bakerst forskyver alle siffer ett hakk til venstre, slik at hvert siffer er verdt dobbelt så mye.

I tretallsystemet har hvert siffer tre ganger så stor verdi som sifferet til høyre (akkurat som titallet mot enetallet i titallsystemet).

Tre ganger så stort som $121_{3}$ :

Å gange med 3 i tretallsystemet betyr å legge til en $0$ bakerst (tilsvarende å gange med 10 i titallsystemet):

3 \cdot 121_{3} = 1210_{3}

En tredjedel av $120010_{3}$ :

Å dele på 3 i tretallsystemet betyr å fjerne siste siffer (siste siffer er $0$ , så vi mister ingenting):

120010_{3} \div 3 = 12001_{3}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Utenlandske spillere i Eliteserien

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utenlandske spillere i Eliteserien 2000–2012

Ovenfor ser du hvor mange utenlandske spillere som spilte i den norske eliteserien hvert år i perioden 2000–2012.

Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet.

Fasit

Gjennomsnitt: $\overline{x} \approx 86,7$

Standardavvik: $s \approx 24,0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av antall utenlandske spillere fra diagrammet for hvert år:

År	Antall
2000	45
2001	55
2002	62
2003	63
2004	72
2005	80
2006	100
2007	108
2008	117
2009	114
2010	111
2011	94
2012	106

Vi har $n = 13$ verdier.

Gjennomsnitt:

\overline{x} = \frac{45 + 55 + 62 + 63 + 72 + 80 + 100 + 108 + 117 + 114 + 111 + 94 + 106}{13} = \frac{1127}{13} \approx 86,7

Det gjennomsnittlige antallet utenlandske spillere i Eliteserien i perioden 2000–2012 var omtrent $87$ spillere per år.

Standardavvik:

Vi beregner standardavviket (populasjonsformel):

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n}} \approx 24,0

Standardavviket forteller oss at antall utenlandske spillere typisk avviker omtrent $24$ spillere fra gjennomsnittet.

Svaret er $\overline{x} \approx 86,7$ og $s \approx 24,0$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sektordiagram for transportmidler til skolen

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

	Antall elever
Går	4
Sykler	7
Kjører privat bil	3
Tar buss	10
Tar tog	6

I tabellen ovenfor ser du hvordan elevene i en klasse kommer seg til og fra skolen.

Bruk et sektordiagram til å presentere datamaterialet fra tabellen.

Fasit

Se sektordiagram nedenfor.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner andelen og sektorvinkelen for hvert transportmiddel. Det er totalt $4 + 7 + 3 + 10 + 6 = 30$ elever.

Sektorvinkelen regnes ut med formelen

sektorvinkel = \frac{antall}{totalt} \cdot 360 °

Transportmiddel	Antall	Andel	Prosent	Sektorvinkel
Går	4	$\frac{4}{30}$	$13,3 %$	$\frac{4}{30} \cdot 360 ° = 48 °$
Sykler	7	$\frac{7}{30}$	$23,3 %$	$\frac{7}{30} \cdot 360 ° = 84 °$
Kjører privat bil	3	$\frac{3}{30}$	$10,0 %$	$\frac{3}{30} \cdot 360 ° = 36 °$
Tar buss	10	$\frac{10}{30}$	$33,3 %$	$\frac{10}{30} \cdot 360 ° = 120 °$
Tar tog	6	$\frac{6}{30}$	$20,0 %$	$\frac{6}{30} \cdot 360 ° = 72 °$
Totalt	30		$100 %$	$360 °$

Sektordiagrammet ser slik ut:

Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Presentasjon av data
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et atomkraftverk omdannes radioaktive atomkjerner. I omdanningen forsvinner noe av massen fra atomkjernene, og energi blir frigitt.

Når massen $m$ kilogram forsvinner fra atomkjernene, er den frigitte energien, $E$ Joule (J), gitt ved

E = m \cdot c^{2}

Konstanten $c$ har verdien $3,0 \cdot 10^{8}$

Kalkulator

Hvor mye energi blir frigitt når en masse på $0,010 k g$ forsvinner fra atomkjernene?

En norsk husholdning har et årlig energiforbruk på $9,0 \cdot 10^{10} J$

Kalkulator

Hvor mye masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år?

Fasit

$E = 9,0 \cdot 10^{14} J$

$m = 1,0 \cdot 10^{- 6} kg$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $m = 0,010 kg$ og $c = 3,0 \cdot 10^{8}$ inn i formelen:

E = m \cdot c^{2} = 0,010 \cdot {(3,0 \cdot 10^{8})}^{2}

Vi regner ut ${(3,0 \cdot 10^{8})}^{2}$ ved å kvadrere talldelene og eksponentene hver for seg:

{(3,0 \cdot 10^{8})}^{2} = {3,0}^{2} \cdot {(10^{8})}^{2} = 9,0 \cdot 10^{16}

Deretter multipliserer vi:

E = 0,010 \cdot 9,0 \cdot 10^{16} = 9,0 \cdot 10^{14}

Den frigitte energien er $E = 9,0 \cdot 10^{14} J$ .

Det tilsvarer omtrent én milliard norske husholdningers årlige energiforbruk fra bare $0,010 kg$ masse.

Vi kjenner $E = 9,0 \cdot 10^{10} J$ og skal finne $m$ . Vi løser formelen $E = m \cdot c^{2}$ for $m$ :

m = \frac{E}{c^{2}}

Vi setter inn verdiene:

m = \frac{9,0 \cdot 10^{10}}{9,0 \cdot 10^{16}}

Vi deler talldelene og bruker potensregelen $\frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a - b}$ :

m = \frac{9,0}{9,0} \cdot 10^{10 - 16} = 1,0 \cdot 10^{- 6}

Det må forsvinne $m = 1,0 \cdot 10^{- 6} kg$ masse for å dekke én norsk husholdnings energibehov i et år.

$1,0 \cdot 10^{- 6} kg$ er det samme som $0,0000010 kg$ , altså bare én milligram – en svært liten masse gir enormt mye energi.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Standardform, Formler
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Årstall	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Prosent mannlige røykere	42	37	34	31	25	19

Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985–2010.

Sett $x = 0$ i 1985, $x = 5$ i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme

Krever PC

1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Krever PC

Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Kommenter modellenes gyldighetsområde.

Fasit

a1) $f (x) = - 0,88 x + 42,3$

a2) $g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}$

Lineær: $\approx 11,5 %$ . Eksponentiell: $\approx 16,5 %$ .

Lineær: under $5 %$ fra $2027$ . Eksponentiell: under $5 %$ fra $2064$ .

Den lineære modellen gir negativ andel etter ca. 2033 og er urealistisk på lang sikt. Den eksponentielle modellen nærmer seg 0, men gir aldri negativ andel — den er mer realistisk, men ekstrapolering langt frem er usikker.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å finne regresjonsmodeller og lese av verdier fra grafene.

Vi setter inn datapunktene $(x, y)$ der $x$ er antall år etter 1985:

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$
$y$ (%)	$42$	$37$	$34$	$31$	$25$	$19$

Vi ber GeoGebra finne lineær regresjon og eksponentiell regresjon for datapunktene.

1) Lineær modell:

f (x) = - 0,88 x + 42,3

Svar: $f (x) = - 0,88 x + 42,3$

2) Eksponentiell modell:

g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}

Svar: $g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}$

Grafene med datapunktene (røde) er vist nedenfor. Den blå linjen er den lineære modellen og den grønne kurven er den eksponentielle modellen. Den røde vannrette linjen viser $y = 5$ .

Lineær og eksponentiell modell for andel mannlige røykere

Vi setter inn $x = 35$ (år 2020 er 35 år etter 1985) i begge modellene.

Lineær modell:

f (35) = - 0,88 \cdot 35 + 42,3 = - 30,8 + 42,3 = 11,5

Eksponentiell modell:

g (35) = 42,9 \cdot {0,973}^{35} \approx 16,5

Svar: Ifølge den lineære modellen vil ca. $11,5 %$ av norske menn røyke i 2020. Ifølge den eksponentielle modellen vil ca. $16,5 %$ røyke. Det vil si at de to modellene gir ganske ulike prognoser for 2020.

Vi vil finne når andelen blir lavere enn $5 %$ , altså løse $f (x) = 5$ og $g (x) = 5$ .

Lineær modell ( $f (x) = 5$ ):

- 0,88 x + 42,3 = 5

- 0,88 x = 5 - 42,3 = - 37,3

x = \frac{- 37,3}{- 0,88} \approx 42,4

$x \approx 42,4$ tilsvarer ca. $1985 + 42,4 \approx 2027$ .

Eksponentiell modell ( $g (x) = 5$ ): Vi leser av fra grafen (eller løser med GeoGebra) at $g (x) = 5$ når $x \approx 78,8$ , som tilsvarer $1985 + 78,8 \approx 2064$ .

Svar: Ifølge den lineære modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn $5 %$ rundt $2027$ . Ifølge den eksponentielle modellen vil dette først skje rundt $2064$ .

Begge modellene bygger på målinger fra perioden 1985–2010, og de passer rimelig bra til dataene i denne perioden.

Den lineære modellen har et viktig problem: den gir negativ andel røykere etter ca. $x \approx 48$ , det vil si rundt år $2033$ . Det er åpenbart urealistisk — andelen kan ikke bli negativ. Modellen er derfor ikke gyldig for ekstrapolering langt frem i tid.

Den eksponentielle modellen nærmer seg 0 asymptotisk, det vil si at den aldri gir negativ andel. Den er derfor mer realistisk på lang sikt. Likevel er det stor usikkerhet i å bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget (ekstrapolere). Det er ikke sikkert at trenden fortsetter på samme måte langt ut i fremtiden.

Konklusjon: Begge modellene er gyldige som beskrivelse av perioden 1985–2010. For prognoser langt inn i fremtiden er den eksponentielle modellen mer realistisk, men all ekstrapolering er usikker.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Bakteriekultur som dobles hver sjette time

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Runar observerer en bakteriekultur i to døgn. Når han begynner observasjonene, er det 1000 bakterier i bakteriekulturen. Det viser seg at antall bakterier dobles hver sjette time. Etter $6 h$ er det 2000 bakterier i bakteriekulturen, etter $12 h$ er det 4000 bakterier i bakteriekulturen, osv.

For hånd

Hvor mange bakterier vil det være i bakteriekulturen etter $24 h$ ?

For hånd

Sett opp en modell som viser hvordan antall bakterier endrer seg i løpet av de to døgnene.

Kalkulator

Hvor mange prosent øker antall bakterier med per time?

Krever PC

Hvor mange bakterier vil det være i bakteriekulturen etter $40 h$ ? Etter hvor mange timer vil det være 50 000 bakterier i bakteriekulturen?

Fasit

$16 000 bakterier$

$f (t) = 1000 \cdot 2^{t / 6}$

$\approx 12,2 %$

$\approx 101 594 bakterier etter 40 h, t \approx 33,9 h for 50 000$

LøsningsforslagKI-generert

Antall bakterier dobles hver $6$ . time. I løpet av $24$ timer skjer det

\frac{24}{6} = 4 doblinger

Antallet ganger utgangsantallet dermed er

2^{4} = 16

Siden det er $1000$ bakterier ved starten, blir antallet etter $24$ timer

1000 \cdot 16 = 16 000 bakterier

Etter $24 h$ er det $16 000$ bakterier i kulturen.

Antallet bakterier ganges med $2$ for hver $6.$ time som går. Etter $t$ timer har det gått $\frac{t}{6}$ doblinger, så antall bakterier som funksjon av tiden $t$ (i timer) er

f (t) = 1000 \cdot 2^{t / 6}, 0 \leq t \leq 48

Modellen er $f (t) = 1000 \cdot 2^{t / 6}$ .

Vekstfaktoren per time, $k$ , er det tallet vi må gange med $6$ ganger for å få vekstfaktoren $2$ (dobling) over $6$ timer:

k^{6} = 2 \Rightarrow k = 2^{1 / 6} \approx 1,1225

En vekstfaktor på $1,1225$ tilsvarer en økning på

(1,1225 - 1) \cdot 100 % \approx 12,2 %

Antall bakterier øker med omtrent $12,2 %$ per time.

Vi setter $t = 40$ inn i modellen fra b):

f (40) = 1000 \cdot 2^{40 / 6} \approx 1000 \cdot 101,6 \approx 101 594

For å finne tidspunktet med $50 000$ bakterier løser vi likningen $f (t) = 50 000$ :

1000 \cdot 2^{t / 6} = 50 000

2^{t / 6} = 50

Denne likningen løser vi ikke algebraisk, men ved systematisk utprøving: vi setter inn ulike verdier for $t$ i modellen $f (t) = 1000 \cdot 2^{t / 6}$ og snevrer inn svaret.

Vi vet fra a) at $f (24) = 16 000$ , og at antallet dobles igjen til $32 000$ etter $30 h$ og til $64 000$ etter $36 h$ . Svaret må altså ligge mellom $t = 30$ og $t = 36$ . Vi prøver oss videre:

$t$ (timer)	$f (t)$
$30$	$32 000$
$33$	$45 255$
$33,5$	$47 946$
$33,8$	$49 637$
$33,9$	$50 213$
$34$	$50 797$

Ved $t = 33,8$ er $f (t)$ litt under $50 000$ , og ved $t = 33,9$ er $f (t)$ litt over $50 000$ . Antallet bakterier passerer altså $50 000$ etter omtrent $t \approx 33,9$ timer.

Etter $40 h$ er det omtrent $101 594$ bakterier, og det er $50 000$ bakterier etter omtrent $33,9 h$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfaktor, Modellering, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en undersøkelse ble 30 elever spurt om hvor lang tid de bruker på å komme seg til og fra skolen hver dag. Elevene oppga tiden i minutter. Resultatet av undersøkelsen er vist nedenfor.

$28 56 12 16 34 78 64 18 10 21$

$32 26 54 62 64 70 50 44 70 86$

$16 20 38 14 80 24 20 32 14 10$

Kalkulator

Lag et klassedelt materiale av tallene ovenfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassene ha klassebredde 10.

Kalkulator

Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i oppgave a), og bestem gjennomsnittet.

Kalkulator

Bruk det klassedelte materialet til å avgjøre hvor stor andel av elevene som trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen.

Fasit

Se frekvenstabell i løsningsforslaget.

$\overline{x} \approx 40,3 m i n$

$73,3 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer alle 30 verdiene inn i klasser med bredde 10, der den første klassen starter i 10.

Klasse	Midtpunkt	Frekvens
$[10, 20)$	$15$	$8$
$[20, 30)$	$25$	$6$
$[30, 40)$	$35$	$4$
$[40, 50)$	$45$	$1$
$[50, 60)$	$55$	$3$
$[60, 70)$	$65$	$3$
$[70, 80)$	$75$	$3$
$[80, 90)$	$85$	$2$
Sum		30

Vi kontrollerer at frekvensene summerer til 30: $8 + 6 + 4 + 1 + 3 + 3 + 3 + 2 = 30$ . Det stemmer.

Når vi beregner gjennomsnitt fra klassedelt materiale, bruker vi midtpunktet i hver klasse som representativ verdi for alle verdiene i klassen.

\overline{x} = \frac{\sum (midtpunkt \cdot frekvens)}{n}

Vi regner ut telleren:

15 \cdot 8 + 25 \cdot 6 + 35 \cdot 4 + 45 \cdot 1 + 55 \cdot 3 + 65 \cdot 3 + 75 \cdot 3 + 85 \cdot 2

= 120 + 150 + 140 + 45 + 165 + 195 + 225 + 170 = 1210

Deretter deler vi på antall elever:

\overline{x} = \frac{1210}{30} \approx 40,3

Gjennomsnittet er $\approx 40,3 m i n$ . Det betyr at en typisk elev bruker omtrent 40 minutter på å komme seg til og fra skolen.

For å finne andelen elever med reisetid under 60 minutter, summerer vi frekvensene i klassene $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ og $[50, 60)$ :

8 + 6 + 4 + 1 + 3 = 22

Andelen av de 30 elevene er:

\frac{22}{30} = \frac{11}{15} \approx 0,733 = 73,3 %

$73,3 %$ av elevene bruker mindre enn 60 minutter på å komme seg til og fra skolen. Det vil si omtrent 3 av 4 elever.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Poengberegning ved opptak til Politihøgskolen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved opptak til Politihøgskolen rangeres søkerne etter poeng.

Reglene for poengberegningen er:

Gjennomsnittet av karakterene fra videregående skole multipliseres med 10.
Fullført førstegangstjeneste gir 2 poeng.
Det gis ekstrapoeng for realfag/språkfag, maksimalt 4 poeng.
Det gis også alderspoeng, 2 poeng for hvert år etter fylte 20 år, maksimalt 8 poeng.

Poengene til søkeren er summen av poengene fra de fire punktene ovenfor.

Mathias er 22 år. Han har fullført førstegangstjenesten.

Nedenfor ser du karakterene til Mathias fra videregående skole.

2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6

Mathias får $1,5$ ekstrapoeng for realfag/språkfag.

Mathias søker Politihøgskolen.

Kalkulator

Hvor mange poeng har han ifølge reglene ovenfor?

Mathias kom ikke inn på Politihøgskolen i Oslo. Der var poenggrensen $47,7$

For å være sikker på å komme inn neste år vil Mathias prøve å forbedre karakterene i noen fag, slik at han til sammen får $50,7$ poeng neste år.

Kalkulator

Hva må gjennomsnittet av karakterene til Mathias være neste år for at han til sammen skal ha $50,7$ poeng?

Mathias regner med at han skal klare å gå opp én karakter i de fagene han velger å ta opp igjen.

Kalkulator

Hvor mange fag må han da ta opp igjen for å klare $50,7$ poeng?

Fasit

$45,5 poeng$

$gjennomsnitt = 4,12$

$8 fag$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først gjennomsnittet av karakterene til Mathias. Han har $25$ karakterer:

2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6

Summen av karakterene er

3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 5 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 6 + 18 + 40 + 25 + 6 = 95

Gjennomsnittet blir

\frac{95}{25} = 3,8

Poengene til Mathias er summen av:

Karaktersnitt $\cdot 10$ : $3,8 \cdot 10 = 38$
Førstegangstjeneste: $2$ poeng
Ekstrapoeng realfag/språkfag: $1,5$ poeng
Alderspoeng: han er $22$ år, altså $2$ år etter fylte $20$ , som gir $2 \cdot 2 = 4$ poeng

Totalt:

38 + 2 + 1,5 + 4 = 45,5

Mathias har $45,5$ poeng.

Poengene skal gjelde neste år, og da er Mathias blitt ett år eldre. Han er $22$ år nå, altså $23$ år neste år, som er $3$ år etter fylte $20$ . Alderspoengene øker dermed fra $4$ til

2 \cdot 3 = 6 poeng

De tre poengbidragene som ikke avhenger av karakterene, blir da til sammen

2 + 1,5 + 6 = 9,5 poeng

Skal totalen bli $50,7$ poeng, må bidraget fra karaktersnittet være

50,7 - 9,5 = 41,2

Siden karaktersnittet ganges med $10$ , må gjennomsnittet være

\frac{41,2}{10} = 4,12

Gjennomsnittet av karakterene må være $4,12$ .

Et gjennomsnitt på $4,12$ over $25$ karakterer betyr at summen av karakterene må være

4,12 \cdot 25 = 103

I dag er summen av karakterene $95$ (fra a)). Økningen som trengs, er

103 - 95 = 8

Siden hvert fag han forbedrer, øker summen med nøyaktig $1$ (én karakter opp), må Mathias forbedre

8 fag

Mathias må ta opp igjen $8$ fag for å nå $50,7$ poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sentralmål, Statistikk, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Elevfravær – sentralmål og valg mellom gjennomsnitt og median

Oppgave 1-2·Produkt av tall på standardform

Oppgave 1-3·Forenkle potensuttrykk med grunntall 2, 3 og 4

Oppgave 1-4·Rente på bankinnskudd over fem år

Oppgave 1-5·Lineær modell for barns ordforråd

Oppgave 1-6·Gjennomsnittlige lommepenger fra klassedelt tabell

Oppgave 1-7·Praktisk situasjon for eksponentiell nedgang fra 300 000

Oppgave 1-8·Totallsystem og tretallsystem

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Utenlandske spillere i Eliteserien

Oppgave 2-2·Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgave 2-3·Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Oppgave 2-4·Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Oppgave 2-5·Bakteriekultur som dobles hver sjette time

Oppgave 2-6·Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Oppgave 2-7·Poengberegning ved opptak til Politihøgskolen

Temaer

Oppgave 1-1Elevfravær – sentralmål og valg mellom gjennomsnitt og median

Oppgave 1-2Produkt av tall på standardform

Oppgave 1-3Forenkle potensuttrykk med grunntall 2, 3 og 4

Oppgave 1-4Rente på bankinnskudd over fem år

Oppgave 1-5Lineær modell for barns ordforråd

Oppgave 1-6Gjennomsnittlige lommepenger fra klassedelt tabell

Oppgave 1-7Praktisk situasjon for eksponentiell nedgang fra 300 000

Oppgave 1-8Totallsystem og tretallsystem

Oppgave 2-1Utenlandske spillere i Eliteserien

Oppgave 2-2Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgave 2-3Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Oppgave 2-4Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Oppgave 2-5Bakteriekultur som dobles hver sjette time

Oppgave 2-6Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Oppgave 2-7Poengberegning ved opptak til Politihøgskolen