2P-Y Vår 2017

Per antar at verdien stiger med et fast beløp hvert år (80 000 kr). Det er en lineær modell med startverdi 1 200 000 og stigningstall 80 000.

$f(x) = 1\,200\,000 + 80\,000x$, der $x$ er antall år etter 2017.

Kari antar at verdien stiger med 8 % hvert år. Det betyr at verdien hvert år ganges med vekstfaktoren $1 + 0{,}08 = 1{,}08$. Det er en eksponentiell modell.

$g(x) = 1\,200\,000 \cdot 1{,}08^x$, der $x$ er antall år etter 2017.

$f$ er en lineær funksjon — verdien øker med like mye hvert år. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Det passer med graf B.

$g$ er en eksponentiell funksjon — verdien øker med en fast prosent hvert år, slik at veksten akselererer over tid. Grafen krummer stadig brattere oppover. Det passer med graf A.

Graf C starter bratt og flater ut, noe som ikke passer for noen av modellene (det minner om en rotfunksjon).

$f$ tilsvarer graf B (rett linje). $g$ tilsvarer graf A (eksponentiell vekst som krummer oppover).

Vi vet at totalt antall elever er 1 000. Vi finner de manglende frekvensene:

• $[50,\ 70\rangle$ har relativ frekvens $0{,}6$, så frekvens $= 0{,}6 \cdot 1000 = 600$
• $[30,\ 50\rangle$: frekvens $= 1000 - 100 - 600 - 200 = 100$

Klassemidtpunktene finner vi som midtpunktet i hvert intervall:

• $[0,\ 30\rangle$: midtpunkt $= \frac{0+30}{2} = 15$
• $[30,\ 50\rangle$: midtpunkt $= \frac{30+50}{2} = 40$
• $[50,\ 70\rangle$: midtpunkt $= \frac{50+70}{2} = 60$
• $[70,\ 100\rangle$: midtpunkt $= \frac{70+100}{2} = 85$

Utfylt tabell:

Vi beregner gjennomsnittet ved å gange klassemidtpunkt med frekvens for hvert intervall, summere og dele på totalt antall elever:

Den gjennomsnittlige poengsummen var $\underline{\underline{58{,}5 \mathrm{~poeng}}}$.

Det er 3 525 elever. Medianen er verdien til eleven som er midt i rekken. Vi finner posisjonen:

Vi finner hvilken klasse median-eleven befinner seg i ved å summere frekvensene kumulativt:

• Etter $[0,\ 30\rangle$: $563$ elever
• Etter $[30,\ 50\rangle$: $563 + 700 = 1263$ elever
• Etter $[50,\ 70\rangle$: $1263 + 2000 = 3263$ elever

Elev nr. 1763 befinner seg i klassen $[50,\ 70\rangle$ (siden $1263 < 1763 \leq 3263$).

Vi beregner medianen ved lineær interpolasjon inni intervallet. Det mangler $1763 - 1263 = 500$ elever inn i dette intervallet, som har 2000 elever og bredde 20.

Medianen er $\underline{\underline{55 \mathrm{~poeng}}}$.

Vi teller pinner i de første figurene:

Mønsteret øker med 2 pinner for hver ny figur. Figur 4 trenger derfor $7 + 2 = 9$ pinner.

For å finne omkretsen av figur 4 teller vi de pinnene som utgjør ytterkanten. Figur 4 har $4 + 2 = 6$ ytterpinner (se mønster under deloppgave c). Hver pinne er 2,5 cm:

Figur 4 har $\underline{\underline{9 \mathrm{~pinner}}}$, og omkretsen er $\underline{\underline{15 \mathrm{~cm}}}$.

Fra tabellen ser vi at antall pinner øker med 2 for hver ny figur. Det er et lineært mønster:

• Figur 1: $3 = 2 \cdot 1 + 1$
• Figur 2: $5 = 2 \cdot 2 + 1$
• Figur 3: $7 = 2 \cdot 3 + 1$

Antall pinner i figur $n$ er $\underline{\underline{N(n) = 2n + 1}}$.

Vi teller ytterpinnene (de som utgjør omkretsen) i de første figurene:

Antall ytterpinner i figur $n$ er $n + 2$. Omkretsen er:

Omkretsen av figur $n$ er $\underline{\underline{O(n) = 2{,}5n + 5 \mathrm{~cm}}}$.

Vi setter $O(n) = 105$ og løser for $n$:

Figurnummeret er 40. Vi finner antall pinner med formelen fra b):

Figuren har $\underline{\underline{81 \mathrm{~pinner}}}$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til $V(x) = 0{,}064x^4 - 2{,}41x^3 + 28{,}4x^2 - 105x + 39$ for $0 \le x \le 18$.

Grafen viser bunnpunkter (røde), toppunkt (grønt) og tangenten i $x = 7$ (oransje).

Vi setter inn $x = 1$ og $x = 12$ i funksjonsuttrykket.

Én time etter midnatt ($x = 1$):

$\mathbf{V(1) \approx -40}$, altså er vannstanden ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt.

Tolv timer etter midnatt ($x = 12$):

$\mathbf{V(12) \approx 31}$, altså er vannstanden ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.

Vi bruker GeoGebra til å finne høyeste og laveste vannstand i perioden $0 \le x \le 18$.

Fra grafen og GeoGebra-beregninger finner vi:

• Høyeste vannstand (toppunkt): $V \approx 59{,}7 \, \mathrm{cm}$ ved $x \approx 9{,}6$ (ca. kl. 09.36)
• Laveste vannstand (bunnpunkt): $V \approx -81{,}5 \, \mathrm{cm}$ ved $x \approx 2{,}7$ (ca. kl. 02.40)

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand:

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er $\underline{\underline{141{,}2 \, \mathrm{cm}}}$.

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $V'(7)$.

Vi deriverer $V(x)$:

Vi setter inn $x = 7$:

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $\underline{\underline{V'(7) \approx 26{,}1 \, \mathrm{cm/time}}}$.

Praktisk tolkning: Akkurat klokken 07.00 stiger vannstanden med ca. 26,1 cm per time. Vannstanden øker altså raskt på dette tidspunktet (det er flo på vei inn).

Vi leser av histogrammet og finner tetthet og klassebredde for hver klasse:

Totalt antall elever:

Vi bruker klassemidtpunktet for hver klasse som representativ verdi:

• Klasse $[0, 10)$: midtpunkt $= 5$
• Klasse $[10, 40)$: midtpunkt $= 25$
• Klasse $[40, 60)$: midtpunkt $= 50$

Gjennomsnittet beregnes ved å veie hvert midtpunkt med antall elever i klassen:

Den gjennomsnittlige poengsummen for elevene var $28{,}5$ poeng.

Vi skal finne høyden $x$ der temperaturen er $5 \, \degree\text{C}$. Vi setter $T(x) = 5$ og løser:

Temperaturen er $5 \, \degree\text{C}$ når vi er $\underline{\underline{1077 \, \mathrm{m}}}$ over Spiterstulen.

Galdhøpiggen ligger $2\,469 \, \mathrm{m}$ over havet, og Spiterstulen ligger $1\,106 \, \mathrm{m}$ over havet. Det betyr at Galdhøpiggen ligger

over Spiterstulen. Vi setter $x = 1363$ inn i formelen:

Temperaturen på toppen av Galdhøpiggen er $\underline{\underline{3{,}1 \, \degree\text{C}}}$.

Stigningstallet i formelen $T(x) = -0{,}0065x + 12$ er $-0{,}0065$. Det forteller oss at temperaturen synker med $0{,}0065 \, \degree\text{C}$ for hver meter vi stiger.

Per $100 \, \mathrm{m}$ stigning synker temperaturen med:

Temperaturen synker med $\underline{\underline{0{,}65 \, \degree\text{C}}}$ per $100 \, \mathrm{m}$ stigning.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og lar programmet finne en tredjegradsfunksjon ved regresjon.

Grafen nedenfor viser de fem datapunktene (røde punkter) og regresjonskurven (blå kurve):

$f(x) = 0{,}12x^3 - 2{,}57x^2 + 21{,}82x + 53{,}56$ er en tredjegradsfunksjon som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene, der $x$ er alder i år og $f(x)$ er høyde i cm.

Vi skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten til Espen fra han var 7 år til han ble 12 år, det vil si fra $x = 7$ til $x = 12$.

Vi bruker funksjonen $g(x) = 0{,}13x^3 - 2{,}8x^2 + 23x + 52$:

Gjennomsnittlig vekstfart er:

Den gjennomsnittlige vekstfarten til Espen fra han var 7 til han ble 12 år, er $\underline{\underline{5{,}81 \, \text{cm/år}}}$.

Nei, funksjonen $g$ kan ikke brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.

Ifølge sitatet fra Norsk Helseinformatikk avtar veksthastigheten mot null etter vekstspurten i puberteten. Det betyr at høydeveksten bremser opp og til slutt stopper.

Tredjegradsfunksjonen $g$ oppfører seg imidlertid stikk motsatt for $x > 12$: den stiger stadig raskere og går mot uendelig. For eksempel gir $g(15) \approx 195 \, \mathrm{cm}$ og $g(20) \approx 370 \, \mathrm{cm}$, som er helt urealistisk.

Modellen er kun basert på målinger fra 0 til 12 år og er bare gyldig i dette dataområdet. Utenfor dette intervallet gir tredjegradsfunksjonen resultater som ikke stemmer overens med virkeligheten.

Vi systematiserer opplysningene i en krysstabell:

Vi trekker to elever uten tilbakelegging. Vi vil finne sannsynligheten for at begge ikke ønsker å studere i utlandet.

Det er $25$ elever som ikke ønsker å studere i utlandet, av totalt $30$ elever.

• Sannsynligheten for at den første eleven ikke ønsker utland: $\dfrac{25}{30}$
• Sannsynligheten for at den andre eleven heller ikke ønsker utland (gitt at den første allerede er trukket): $\dfrac{24}{29}$

Sannsynligheten for å trekke to elever som ikke ønsker å studere i utlandet, er $\underline{\underline{69{,}0 \,\%}}$.

Vi skal trekke én gutt og én jente som begge ønsker å studere i utlandet. Det er $2$ gutter og $3$ jenter som ønsker utland, av totalt $30$ elever.

Dette kan skje på to måter: gutt først, deretter jente — eller jente først, deretter gutt.

Gutt først, deretter jente:

Jente først, deretter gutt:

Den totale sannsynligheten er summen av de to:

Sannsynligheten for å trekke én gutt og én jente som begge ønsker å studere i utlandet, er $\underline{\underline{1{,}4 \,\%}}$.

Regnearket har fire kolonner: År, Elise, Ådne og Til sammen.

• Rad 1 (1. januar 2017, $n = 0$): Elise = 20 000, Ådne = 25 000, Til sammen = 45 000.
• Neste rad: gang forrige verdi med $1{,}0275$ i Elise- og Ådne-kolonnene. Til-sammen-kolonnen er summen av de to.
• Fortsett ned til 31. desember 2036 ($n = 20$).

Eksempel på oppsett (utvalgte år):

Vi leser av regnearket og ser at «Til sammen»-kolonnen passerer 70 000 kr første gang 31. desember 2033:

• 31. desember 2032 ($n = 16$): $69\,457{,}92 \, \mathrm{kr}$ (under 70 000)
• 31. desember 2033 ($n = 17$): $71\,368{,}02 \, \mathrm{kr}$ (over 70 000)

De to vil til sammen ha mer enn 70 000 kr i banken i løpet av år 2033, dvs. etter 17 år.

Etter 20 år (31. desember 2036) har de til sammen:

De satte inn til sammen $20\,000 + 25\,000 = 45\,000 \, \mathrm{kr}$.

Rentene de har fått er:

Elise og Ådne vil til sammen få $32\,419{,}28 \, \mathrm{kr}$ i renter i løpet av de 20 årene.