2P-Y Høst 2014

Vi vet at antall elever avtar lineært. En lineær funksjon har formen $A(x) = ax + b$.

I 2014 ($x = 0$) er det 350 elever, så $b = 350$.

I 2029 er det 15 år etter 2014, altså $x = 15$. Da er det 275 elever.

Vi finner stigningstallet $a$:

Modellen er:

2024 er 10 år etter 2014, så vi setter inn $x = 10$:

Ifølge modellen vil det være $\underline{\underline{300 \mathrm{~elever}}}$ ved skolen i 2024.

Funksjonen $B(x) = 200 \cdot 1{,}03^x$ er en eksponentialfunksjon der:

• Startverdien er $B(0) = 200 \cdot 1{,}03^0 = 200 \cdot 1 = 200$, altså 200 elever i 2014.
• Vekstfaktoren er $1{,}03$, som betyr at antallet øker med $3 \,\%$ per år.

Uten å regne: I 2014 er det 200 elever ved skolen, og elevtallet vokser med 3 prosent hvert år.

I september 2014 var det $1500$ nedlastinger. Antallet øker med $8\,\%$ per måned, så vekstfaktoren er $1{,}08$.

Vi teller måneder fra september:

Antall nedlastinger i desember er:

Uttrykket $\underline{\underline{1500 \cdot 1{,}08^3}}$ gir antall nedlastinger i desember 2014.

Vi trenger antallet for månedene juli, august, september og oktober. September er startmåneden (0 måneder etter september), så vi teller bakover for månedene før:

Samlet antall nedlastinger i disse fire månedene er:

Uttrykket $\underline{\underline{1500 \cdot 1{,}08^{-2} + 1500 \cdot 1{,}08^{-1} + 1500 + 1500 \cdot 1{,}08}}$ gir samlet antall nedlastinger i juli, august, september og oktober 2014.

I et histogram er y-aksen «Frekvens/Klassebredde», ikke direkte frekvens. For å finne antallet i en klasse multipliserer vi søylehøyden med klassebredden:

For klassen 30–50 år leser vi av søylehøyden til $1{,}5$, og klassebredden er $50 - 30 = 20$:

Det var altså 30 besøkende mellom 30 og 50 år.

Først finner vi antallet i hver klasse:

Totalt antall besøkende:

Prosentandelen mellom 0 og 10 år:

$\underline{\underline{10\,\%}}$ av de besøkende var mellom 0 og 10 år.

Vi bruker klassemidtpunktet for hver klasse:

Sum: $50 + 800 + 1200 + 1400 = 3450$

Gjennomsnitt:

Gjennomsnittsalderen blant de besøkende var $\underline{\underline{34{,}5 \text{~år}}}$.

Vi leser av grafene der de første gang når $y = 4 \, \mathrm{km}$ (Torsøy):

• Torbjørn (blå) når Torsøy ved $t = 30 \mathrm{~min}$
• Tore (rød) når Torsøy ved $t = 40 \mathrm{~min}$

Torbjørn kommer først til Torsøy.

Vi leser av når de forlater Torsøy (grafen begynner å gå nedover igjen):

• Torbjørn er på Torsøy fra $t = 30$ til $t = 40 \mathrm{~min}$ → $\mathbf{10 \mathrm{~min}}$ på øya
• Tore er på Torsøy fra $t = 40$ til $t = 60 \mathrm{~min}$ → $\mathbf{20 \mathrm{~min}}$ på øya

Tore padler $4 \, \mathrm{km}$ på $40 \mathrm{~min}$ på vei ut til Torsøy.

Tore padler $\underline{\underline{0{,}1 \, \mathrm{km/min}}}$ på vei ut til Torsøy.

Det tilsvarer $6 \, \mathrm{km/t}$.

Vi leser av hjemturen fra grafene:

• Torbjørn (blå) forlater Torsøy ved $t = 40 \mathrm{~min}$ og er tilbake ved $t = 105 \mathrm{~min}$. Hjemturen tar $105 - 40 = 65 \mathrm{~min}$. Grafen har en vannrett strekning underveis — dette betyr at Torbjørn stopper og tar en pause på $2 \, \mathrm{km}$ fra start (altså $2 \, \mathrm{km}$ fra Flekkefjord).
• Tore (rød) forlater Torsøy ved $t = 60 \mathrm{~min}$ og er tilbake ved $t = 95 \mathrm{~min}$. Hjemturen tar $95 - 60 = 35 \mathrm{~min}$, og Tore padler jevnt hjem uten stopp.

Tore padler raskere hjem enn Torbjørn og tar ingen pause. Torbjørn stopper underveis på hjemturen, noe som gjør at han totalt bruker lengre tid på hjemturen.

Totalt antall kamper: $2 + 6 + 3 + 4 + 1 = 16$

Vi regner ut summen av alle mål:

Gjennomsnitt:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{1{,}75}}$ mål per kamp.

For medianen sorterer vi alle 16 verdiene i stigende rekkefølge. Medianen er gjennomsnittet av den 8. og 9. verdien.

Vi teller oss frem:

Den 8. verdien er $1$ (siste av de seks enerne), og den 9. verdien er $2$ (første av de tre toerne).

Medianen er $\underline{\underline{1{,}5}}$ mål per kamp.

Den kumulative frekvensen for to mål per kamp er antallet kamper der Oda skåret to mål eller færre:

Den kumulative frekvensen for to mål per kamp er $\underline{\underline{11}}$.

Den relative frekvensen for tre mål per kamp er andelen av kampene der Oda skåret nøyaktig tre mål:

Den relative frekvensen for tre mål per kamp er $\underline{\underline{0{,}25}}$.

Svaret fra b) forteller at Oda skåret to mål eller færre i 11 av 16 kamper i sesongen. Det vil si at hun i flertallet av kampene skåret relativt få mål.

Svaret fra c) forteller at Oda skåret nøyaktig tre mål i $25\,\%$ av kampene — altså i én av fire kamper. Dette er den enkeltprestasjonen hun hadde oftest etter én mål per kamp (frekvens 6).

Vi regner ut gjennomsnittet ved å summere alle kastene og dele på antall kast.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{22{,}7 \, \mathrm{m}}}$.

For standardavviket regner vi først ut hvor mye hvert kast avviker fra gjennomsnittet, kvadrerer avvikene, tar gjennomsnittet av dem og tar kvadratroten.

Standardavviket er $\underline{\underline{2{,}65 \, \mathrm{m}}}$.

Kjells standardavvik er $3{,}2 \, \mathrm{m}$, mens Sveins standardavvik er $2{,}65 \, \mathrm{m}$.

Siden Kjells standardavvik er større enn Sveins, er Kjells kast mer spredt. Det betyr at kastlengdene til Kjell varierer mer fra kast til kast. Sveins kast er jevnere og ligger tettere samlet rundt gjennomsnittet.

Vi setter inn $x = 0$ i formelen:

Giftkonsentrasjonen rett etter ulykken er $\underline{\underline{1{,}42 \, \mathrm{mg/L}}}$.

I formelen $f(x) = 1{,}42 \cdot 0{,}87^x$ er vekstfaktoren $0{,}87$.

Siden $0{,}87 = 1 - 0{,}13$, betyr dette at konsentrasjonen avtar med $\underline{\underline{13 \,\%}}$ per døgn.

Vi bruker GeoGebra til å beregne $f(7)$ og finner gjennomsnittlig endring per døgn den første uken.

Vi regner ut $f(7)$:

Gjennomsnittlig endring per døgn den første uken er:

Giftkonsentrasjonen avtok i gjennomsnitt med $\underline{\underline{0{,}13 \, \mathrm{mg/L}}}$ per døgn den første uken. Det vil si at konsentrasjonen gikk ned med omtrent $0{,}13 \, \mathrm{mg/L}$ hver dag i snitt.

Vi bruker GeoGebra til å finne når $f(x) = 0{,}40$.

Vi tegner grafen til $f(x) = 1{,}42 \cdot 0{,}87^x$ og den horisontale linjen $y = 0{,}40$, og leser av skjæringspunktet.

Fra grafen leser vi at kurvene skjærer hverandre ved $x \approx 9{,}1$ døgn.

Siden $x$ må være et helt antall døgn, og konsentrasjonen må være under $0{,}40 \, \mathrm{mg/L}$, må vi runde opp til neste hele døgn.

Vannet kan drikkes igjen etter $\underline{\underline{10 \text{~hele døgn}}}$. Etter 10 døgn er giftkonsentrasjonen nede på et trygt nivå.

Renten er $2{,}25 \,\%$ per år, så vekstfaktoren er

Etter 10 år har Mads

For å finne den prosentvise økningen beregner vi vekstfaktoren over 10 år:

Beløpet har altså blitt ganget med $1{,}2500$, som betyr at økningen er

Mads har $\underline{\underline{31\,251 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen etter 10 år. Det er en økning på $\underline{\underline{25{,}0 \,\%}}$.

Malin setter inn 25 000 kr ved konfirmasjonen. Disse pengene vokser i 10 år:

Etter 5 år setter hun inn 25 000 kr til. Disse pengene vokser i 5 år frem til 10-årsmerket:

Totalt på kontoen etter 10 år:

Malin har $\underline{\underline{59\,194 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen 10 år etter konfirmasjonen.

Vi ser på mønsteret i figurene. Hver figur har to fulle ytterkolonner, og perler i midten bare i radene mellom topp og bunn:

• $F_1$: 3 rader — øverst 2 perler, 1 midtrad med 3 perler, nederst 2 perler
• $F_2$: 4 rader — øverst 2, 2 mellomrader med 4 perler, nederst 2
• $F_3$: 5 rader — øverst 2, 3 mellomrader med 5 perler, nederst 2

Fra $F_n$ til $F_{n+1}$ blir figuren én rad høyere, det kommer én mellomrad til, og hver mellomrad får én perle mer.

$F_4$ følger dette mønsteret:

• Antall rader: $4 + 2 = 6$
• Øverst og nederst: 2 perler
• Mellomrader: $4 + 2 = 6$ perler per rad, og det er $4$ slike rader

$F_4$ ser slik ut (6 rader):

●         ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
●         ●

Totalt i $F_4$: $2 + 4 \cdot 6 + 2 = \mathbf{28}$ perler.

Vi setter opp en tabell med de tellte verdiene:

Differansen øker med 2 for hvert trinn (5, 7, 9, …). Det betyr at veksten er jevnt tiltagende, og vi trenger en andregradsfunksjon $F_n = an^2 + bn + c$.

Vi bruker de tre kjente verdiene til å sette opp tre likninger:

Fra likning 2 minus likning 1: $\quad 3a + b = 5$

Fra likning 3 minus likning 2: $\quad 5a + b = 7$

Trekker den første fra den andre: $\quad 2a = 2 \implies a = 1$

Da er $b = 5 - 3 \cdot 1 = 2$, og $c = 7 - 1 - 2 = 4$.

Dobbeltsjekk:

• $F_1 = 1 + 2 + 4 = 7$ ✓
• $F_2 = 4 + 4 + 4 = 12$ ✓
• $F_3 = 9 + 6 + 4 = 19$ ✓

Vi kan også se dette geometrisk. $F_n$ har $(n+2)$ rader:

• Øverst og nederst: 2 perler (til sammen $2 \cdot 2 = 4$ perler)
• Mellomrader: $(n+2)$ perler per rad, og det er $n$ slike rader

Vi setter $n = 50$ inn i formelen:

Det vil være $\underline{\underline{2604 \text{ perler}}}$ i figuren $F_{50}$.

Buret er et rett, firkantet prisme med bredde $x$, lengde $4x$ og høyde $h$. Muren danner den ene langveggen, og buret har ingen bunn. Vi teller flatene som trenger hønsenetting:

Muren dekker den andre langveggen, og det er ingen bunn. Summen blir:

Vi setter $O(x) = 40$ og løser for $h$:

Volumet av buret er grunnflate ganger høyde:

Vi setter inn uttrykket for $h$ fra b):

Vi tegner $V(x)$ i GeoGebra og finner toppunktet:

Fra grafen leser vi av at toppunktet ligger ved $x \approx 1{,}83$. Vi kan bekrefte dette ved å sette $V'(x) = 0$:

Tilhørende mål:

For at volumet skal bli størst mulig bør buret lages med bredde $x \approx 1{,}83 \, \mathrm{m}$, lengde $4x \approx 7{,}30 \, \mathrm{m}$ og høyde $h \approx 2{,}43 \, \mathrm{m}$. Da blir volumet $\underline{\underline{V \approx 32{,}5 \, \mathrm{m}^3}}$.

Vi leser av verdiene fra søylediagrammet og setter opp en tabell med $x = 0$ i 2007:

Vi bruker GeoGebra til å utføre lineær regresjon og andregradregresjon på disse datapunktene.

Lineær modell:

Andregradmodell:

Grafene for begge funksjoner for $0 \le x \le 25$ er vist nedenfor. De røde punktene er de avleste verdiene fra diagrammet. Den blå linjen er den lineære modellen $f(x)$, og den grønne kurven er andregradmodellen $g(x)$. Den røde stiplede linjen markerer $x = 10$ (år 2017).

Vi ser at de to modellene er nesten like for $x$-verdier nær måledataene (0–6), men skiller seg mer og mer fra hverandre utover i tid. Andregradmodellen gir en stadig sterkere nedgang, mens den lineære modellen gir en jevn nedgang.

Vi regner ut forbruket om ti år, det vil si i 2017 ($x = 10$), for begge modellene.

Lineær modell:

$\textcolor{steelblue}{f(10) \approx 85 \, \mathrm{liter}}$

Ifølge den lineære modellen vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke omtrent $85 \, \mathrm{liter}$ melk i 2017.

Andregradmodell:

$\textcolor{seagreen}{g(10) \approx 81 \, \mathrm{liter}}$

Ifølge andregradmodellen vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke omtrent $81 \, \mathrm{liter}$ melk i 2017.

Vi finner hvor mye forbruket avtar per år om ti år ($x = 10$) for begge modellene.

Lineær modell:

For en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ er stigningstallet $a$ konstant — det er det samme overalt på grafen.

Forbruket avtar altså med omtrent $\textcolor{steelblue}{1{,}4 \, \mathrm{liter}}$ per år (det samme hvert år).

Andregradmodell:

For andregradmodellen $g(x) = -0{,}087x^2 - 0{,}92x + 99{,}05$ deriverer vi:

Vi setter inn $x = 10$:

Forbruket avtar med omtrent $\textcolor{seagreen}{2{,}6 \, \mathrm{liter}}$ per år om ti år ifølge andregradmodellen.

Andregradmodellen viser altså en stadig sterkere nedgang over tid, mens den lineære modellen holder nedgangen konstant på $1{,}4 \, \mathrm{liter}$ per år.

Reell fart beregnes med formelen:

Vi regner ut for hver rad:

• $18 \cdot 0{,}195 = 3{,}51$
• $35 \cdot 0{,}195 = 6{,}825 \approx 6{,}83$
• $65 \cdot 0{,}195 = 12{,}675 \approx 12{,}68$
• $95 \cdot 0{,}195 = 18{,}525 \approx 18{,}53$
• $124 \cdot 0{,}195 = 24{,}18$

Utfylt tabell:

Vi bruker GeoGebra til å finne den beste lineære og potensfunksjonen for dataene.

Lineær modell (lineær regresjon):

Potensfunksjon (potensfunksjons-regresjon):

Valg av modell: Den lineære modellen passer best. Punktene i grafen ligger svært nær en rett linje, og sammenhengen mellom angitt og reell fart er tilnærmet proporsjonal (jevn økning). Potensfunksjonen er tvunget gjennom origo og bøyer av i ytterkantene — dette gir en litt dårligere tilpasning.

Vi velger den lineære modellen $f(x) = 1{,}176x + 0{,}793$.

Henrik vil løpe i reelt $15 \, \mathrm{km/h}$. Vi setter $f(x) = 15$ og løser for $x$:

Henrik bør angi ca. $\underline{\underline{12 \, \mathrm{km/h}}}$ i displayet for å løpe i en reell fart på $15 \, \mathrm{km/h}$.

Her er et forslag til oppslag som kan henge ved tredemøllen:

Reell fart på tredemøllen

Tredemøllen viser ikke riktig fart! Bruk tabellen nedenfor for å finne din reelle fart.

Beregnet ved hjelp av formelen: reell fart $\approx 1{,}18 \cdot$ angitt fart $+ 0{,}8$