2P-Y Høst 2013 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Gjennomsnitt og median for elevfravær

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av skoleåret.

$0 3 2 7 2 0 0 11 4 3 28 1 0 3 2 1 1 0 0 32$

Bestem gjennomsnitt og median for elevenes fravær.

Fasit

Gjennomsnitt: $5 d a g e r$

Median: $2 d a g e r$

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnitt

Vi legger sammen alle fraværsdagene og deler på antall elever (20).

\overline{x} = \frac{0 + 3 + 2 + 7 + 2 + 0 + 0 + 11 + 4 + 3 + 28 + 1 + 0 + 3 + 2 + 1 + 1 + 0 + 0 + 32}{20} = \frac{100}{20} = 5

Gjennomsnittlig fravær er $5 d a g e r$ per elev.

Det betyr at om vi fordeler fraværsdagene likt mellom alle 20 elevene, ville hver elev ha vært borte 5 dager.

Median

For å finne medianen sorterer vi tallene fra minst til størst:

0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 7 11 28 32

Det er 20 verdier, så medianen er gjennomsnittet av de to midterste verdiene (nr. 10 og nr. 11):

median = \frac{2 + 2}{2} = 2

Medianen er $2 d a g e r$ . Det betyr at halvparten av elevene hadde 2 fraværsdager eller færre.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Produkt av tall på standardform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

3,2 \cdot 10^{8} \cdot 4,0 \cdot 10^{- 3}

Fasit

$1,28 \cdot 10^{6}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi grupperer tallene og potensene av 10 for seg:

3,2 \cdot 10^{8} \cdot 4,0 \cdot 10^{- 3} = (3,2 \cdot 4,0) \cdot (10^{8} \cdot 10^{- 3})

Vi regner ut hvert ledd:

3,2 \cdot 4,0 = 12,8

10^{8} \cdot 10^{- 3} = 10^{8 + (- 3)} = 10^{5}

Så får vi:

12,8 \cdot 10^{5}

Dette er ikke standardform fordi $12,8 \geq 10$ . Vi skriver $12,8 = 1,28 \cdot 10^{1}$ :

12,8 \cdot 10^{5} = 1,28 \cdot 10^{1} \cdot 10^{5} = 1,28 \cdot 10^{6}

Svaret på standardform er $1,28 \cdot 10^{6}$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Forenkle potensuttrykk med negative eksponenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

{(2^{2})}^{- 3} \cdot 4^{4}

Fasit

$4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ på det første leddet:

{(2^{2})}^{- 3} = 2^{2 \cdot (- 3)} = 2^{- 6}

Deretter skriver vi $4$ som $2^{2}$ :

4^{4} = {(2^{2})}^{4} = 2^{2 \cdot 4} = 2^{8}

Nå setter vi det sammen og bruker $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ :

2^{- 6} \cdot 2^{8} = 2^{- 6 + 8} = 2^{2} = 4

Svaret er $4$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Rente på bankinnskudd over fem år

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per satte inn 200 000 kroner i banken 1. januar 2008. Renten har vært $4,65 %$ per år.

Sett opp et uttrykk som viser hvor mye penger Per har fått i rente i løpet av de fem årene fra 1. januar 2008 til 1. januar 2013.

Fasit

$200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Renten er $4,65 %$ per år, så vekstfaktoren er:

1 + \frac{4,65}{100} = 1,0465

Etter 5 år har Per følgende beløp i banken:

200 000 \cdot {1,0465}^{5} kr

For å finne hvor mye han har fått i rente, trekker vi fra det opprinnelige innskuddet:

Rente = 200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr

Uttrykket for samlet rente er $200 000 \cdot {1,0465}^{5} - 200 000 kr$ .

Det er dette beløpet Per har tjent i rente i løpet av de fem årene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Lineær modell for barns ordforråd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord.

Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs $x$ -aksen og ord som enhet langs $y$ -aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene.

Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan.

Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan.

Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde.

Fasit

Se koordinatsystem i løsningsforslaget.

$\approx 1200 o r d$

$f (x) = 60 x - 900$ , gyldig for $20 \leq x \leq 50$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$ i et koordinatsystem med $x$ -akse for alder (måneder) og $y$ -akse for antall ord, og trekker en rett linje gjennom dem.

Vi leser av linjen ved $x = 35$ , som er midtpunktet mellom 20 og 50. Midtpunktet på $y$ -aksen er

\frac{300 + 2100}{2} = \frac{2400}{2} = 1200

Et 35 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt omtrent $1200 o r d$ .

Vi beregner stigningstallet $a$ fra de to punktene $(20, 300)$ og $(50, 2100)$ :

a = \frac{2100 - 300}{50 - 20} = \frac{1800}{30} = 60

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn punktet $(20, 300)$ :

300 = 60 \cdot 20 + b

300 = 1200 + b

b = 300 - 1200 = - 900

Funksjonsuttrykket er

f (x) = 60 x - 900

Gyldighetsområde: Modellen er basert på målinger for barn mellom 20 og 50 måneder. Utenfor dette intervallet gir modellen trolig ikke meningsfulle verdier — den sier for eksempel at et nyfødt barn ( $x = 0$ ) kan $- 900$ ord, noe som er umulig. Gyldighetsområdet er $20 \leq x \leq 50$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Høyde og tid for kastet stein

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per kaster en stein. Funksjonen $h$ gitt ved

h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1

viser hvor mange meter over bakken steinen er etter $t$ sekunder.

Hvor høyt over bakken er steinen idet Per kaster den? Hvor høyt over bakken er steinen etter 3 s?

Vil steinen treffe bakken før det har gått 5 s? Begrunn svaret.

Fasit

$h (0) = 1 m$ , $h (3) = 16 m$

Ja, steinen treffer bakken før $t = 5 s$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $t = 0$ (idet steinen kastes):

h (0) = - 5 \cdot 0^{2} + 20 \cdot 0 + 1 = 1

Steinen er $1 m$ over bakken idet den kastes. (Per holder den 1 m over bakken.)

Vi setter inn $t = 3$ :

h (3) = - 5 \cdot 3^{2} + 20 \cdot 3 + 1 = - 5 \cdot 9 + 60 + 1 = - 45 + 60 + 1 = 16

Etter 3 sekunder er steinen $16 m$ over bakken.

Vi regner ut $h (5)$ :

h (5) = - 5 \cdot 5^{2} + 20 \cdot 5 + 1 = - 5 \cdot 25 + 100 + 1 = - 125 + 101 = - 24

$h (5) = - 24 < 0$ , men steinen kan ikke være under bakken. Det betyr at steinen har truffet bakken før $t = 5 s$ .

Vi vet at $h (0) = 1 > 0$ og $h (5) = - 24 < 0$ . Siden høyden går fra positiv til negativ, må steinen ha truffet bakken (der $h = 0$ ) et sted mellom $t = 0$ og $t = 5$ .

Ja, steinen treffer bakken før det har gått $5 s$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Andregradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Kaffedrikking i klasse og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 15 jenter og 10 gutter. 5 av jentene og 5 av guttene drikker kaffe.

Tegn av tabellen nedenfor, og fyll inn tall i de hvite rutene.

	Jenter	Gutter	Sum
Drikker kaffe
Drikker ikke kaffe
Sum

Vi velger tilfeldig en elev fra klassen.

Bestem sannsynligheten for at eleven drikker kaffe.

En elev fra klassen drikker kaffe.

Bestem sannsynligheten for at eleven er ei jente.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

$P (kaffe) = \frac{2}{5}$

$P (jente | kaffe) = \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi fyller inn tallene vi vet direkte: 5 jenter og 5 gutter drikker kaffe. Det er 15 jenter og 10 gutter totalt, altså $25$ elever totalt.

Jenter som ikke drikker kaffe: $15 - 5 = 10$ . Gutter som ikke drikker kaffe: $10 - 5 = 5$ . Totalt som drikker kaffe: $5 + 5 = 10$ . Totalt som ikke drikker kaffe: $10 + 5 = 15$ .

	Jenter	Gutter	Sum
Drikker kaffe	5	5	10
Drikker ikke kaffe	10	5	15
Sum	15	10	25

Det er 10 av 25 elever som drikker kaffe:

P (kaffe) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev drikker kaffe er $\frac{2}{5}$ . Det betyr at dersom vi velger mange ganger, vil vi i gjennomsnitt treffe en kaffedrikker 2 av 5 ganger.

Vi vet nå at eleven drikker kaffe. Det er totalt 10 kaffedrikere, og 5 av dem er jenter:

P (jente | kaffe) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Sannsynligheten for at eleven er ei jente, gitt at hun/han drikker kaffe, er $\frac{1}{2}$ . Halvparten av kaffedrikerne er jenter.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Totallsystem og tretallsystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv tallene 11, 22 og 44 i totallsystemet.

Formuler en regel for hvordan vi dobler et tall i totallsystemet.

Tallene $121_{3}$ og $120010_{3}$ er skrevet i tretallsystemet.

Hvilket tall i tretallsystemet er tre ganger så stort som tallet $121_{3}$ ? Hvilket tall i tretallsystemet er en tredjedel av tallet $120010_{3}$ ?

Fasit

$11 = 1011_{2}$ , $22 = 10110_{2}$ , $44 = 101100_{2}$

For å doble et tall i totallsystemet legger vi til en $0$ bakerst.

$3 \cdot 121_{3} = 1210_{3}$ , $120010_{3} \div 3 = 12001_{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler gjentatte ganger på 2 og leser av restene nedenfra og opp.

$11$ i totallsystemet:

11 = 8 + 2 + 1 = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}

11 = 1011_{2}

$22$ i totallsystemet:

22 = 16 + 4 + 2 = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0}

22 = 10110_{2}

$44$ i totallsystemet:

Vi kan også bruke at $44 = 2 \cdot 22$ . I totallsystemet betyr det å legge til en $0$ bakerst:

44 = 101100_{2}

I titallsystemet dobler vi et tall ved å legge til en $0$ bakerst (f.eks. $3 \to 30$ ). Det samme gjelder i totallsystemet.

Regel: For å doble et tall i totallsystemet legger vi til en $0$ bakerst i tallrepresentasjonen.

Forklaring: Hvert siffer i totallsystemet har dobbelt så stor verdi som sifferet til høyre. Å legge til en $0$ bakerst forskyver alle siffer ett hakk til venstre, slik at hvert siffer er verdt dobbelt så mye.

I tretallsystemet har hvert siffer tre ganger så stor verdi som sifferet til høyre (akkurat som titallet mot enetallet i titallsystemet).

Tre ganger så stort som $121_{3}$ :

Å gange med 3 i tretallsystemet betyr å legge til en $0$ bakerst (tilsvarende å gange med 10 i titallsystemet):

3 \cdot 121_{3} = 1210_{3}

En tredjedel av $120010_{3}$ :

Å dele på 3 i tretallsystemet betyr å fjerne siste siffer (siste siffer er $0$ , så vi mister ingenting):

120010_{3} \div 3 = 12001_{3}

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Utenlandske spillere i Eliteserien

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utenlandske spillere i Eliteserien 2000–2012

Ovenfor ser du hvor mange utenlandske spillere som spilte i den norske eliteserien hvert år i perioden 2000–2012.

Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet.

Fasit

Gjennomsnitt: $\overline{x} \approx 86,7$

Standardavvik: $s \approx 24,0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av antall utenlandske spillere fra diagrammet for hvert år:

År	Antall
2000	45
2001	55
2002	62
2003	63
2004	72
2005	80
2006	100
2007	108
2008	117
2009	114
2010	111
2011	94
2012	106

Vi har $n = 13$ verdier.

Gjennomsnitt:

\overline{x} = \frac{45 + 55 + 62 + 63 + 72 + 80 + 100 + 108 + 117 + 114 + 111 + 94 + 106}{13} = \frac{1127}{13} \approx 86,7

Det gjennomsnittlige antallet utenlandske spillere i Eliteserien i perioden 2000–2012 var omtrent $87$ spillere per år.

Standardavvik:

Vi beregner standardavviket (populasjonsformel):

s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \overline{x})}^{2}}{n}} \approx 24,0

Standardavviket forteller oss at antall utenlandske spillere typisk avviker omtrent $24$ spillere fra gjennomsnittet.

Svaret er $\overline{x} \approx 86,7$ og $s \approx 24,0$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sektordiagram for transportmidler til skolen

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

	Antall elever
Går	4
Sykler	7
Kjører privat bil	3
Tar buss	10
Tar tog	6

I tabellen ovenfor ser du hvordan elevene i en klasse kommer seg til og fra skolen.

Bruk et sektordiagram til å presentere datamaterialet fra tabellen.

Fasit

Se sektordiagram nedenfor.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner andelen og sektorvinkelen for hvert transportmiddel. Det er totalt $4 + 7 + 3 + 10 + 6 = 30$ elever.

Sektorvinkelen regnes ut med formelen

sektorvinkel = \frac{antall}{totalt} \cdot 360 °

Transportmiddel	Antall	Andel	Prosent	Sektorvinkel
Går	4	$\frac{4}{30}$	$13,3 %$	$\frac{4}{30} \cdot 360 ° = 48 °$
Sykler	7	$\frac{7}{30}$	$23,3 %$	$\frac{7}{30} \cdot 360 ° = 84 °$
Kjører privat bil	3	$\frac{3}{30}$	$10,0 %$	$\frac{3}{30} \cdot 360 ° = 36 °$
Tar buss	10	$\frac{10}{30}$	$33,3 %$	$\frac{10}{30} \cdot 360 ° = 120 °$
Tar tog	6	$\frac{6}{30}$	$20,0 %$	$\frac{6}{30} \cdot 360 ° = 72 °$
Totalt	30		$100 %$	$360 °$

Sektordiagrammet ser slik ut:

Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Presentasjon av data
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et atomkraftverk omdannes radioaktive atomkjerner. I omdanningen forsvinner noe av massen fra atomkjernene, og energi blir frigitt.

Når massen $m$ kilogram forsvinner fra atomkjernene, er den frigitte energien, $E$ Joule (J), gitt ved

E = m \cdot c^{2}

Konstanten $c$ har verdien $3,0 \cdot 10^{8}$

Kalkulator

Hvor mye energi blir frigitt når en masse på $0,010 k g$ forsvinner fra atomkjernene?

En norsk husholdning har et årlig energiforbruk på $9,0 \cdot 10^{10} J$

Kalkulator

Hvor mye masse må forsvinne for å gi nok energi til en norsk husholdning i et år?

Fasit

$E = 9,0 \cdot 10^{14} J$

$m = 1,0 \cdot 10^{- 6} kg$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $m = 0,010 kg$ og $c = 3,0 \cdot 10^{8}$ inn i formelen:

E = m \cdot c^{2} = 0,010 \cdot {(3,0 \cdot 10^{8})}^{2}

Vi regner ut ${(3,0 \cdot 10^{8})}^{2}$ ved å kvadrere talldelene og eksponentene hver for seg:

{(3,0 \cdot 10^{8})}^{2} = {3,0}^{2} \cdot {(10^{8})}^{2} = 9,0 \cdot 10^{16}

Deretter multipliserer vi:

E = 0,010 \cdot 9,0 \cdot 10^{16} = 9,0 \cdot 10^{14}

Den frigitte energien er $E = 9,0 \cdot 10^{14} J$ .

Det tilsvarer omtrent én milliard norske husholdningers årlige energiforbruk fra bare $0,010 kg$ masse.

Vi kjenner $E = 9,0 \cdot 10^{10} J$ og skal finne $m$ . Vi løser formelen $E = m \cdot c^{2}$ for $m$ :

m = \frac{E}{c^{2}}

Vi setter inn verdiene:

m = \frac{9,0 \cdot 10^{10}}{9,0 \cdot 10^{16}}

Vi deler talldelene og bruker potensregelen $\frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a - b}$ :

m = \frac{9,0}{9,0} \cdot 10^{10 - 16} = 1,0 \cdot 10^{- 6}

Det må forsvinne $m = 1,0 \cdot 10^{- 6} kg$ masse for å dekke én norsk husholdnings energibehov i et år.

$1,0 \cdot 10^{- 6} kg$ er det samme som $0,0000010 kg$ , altså bare én milligram – en svært liten masse gir enormt mye energi.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Standardform, Formler
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Årstall	1985	1990	1995	2000	2005	2010
Prosent mannlige røykere	42	37	34	31	25	19

Tabellen ovenfor viser hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år som røykte hver dag noen år i perioden 1985–2010.

Sett $x = 0$ i 1985, $x = 5$ i 1990 og så videre, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme

Krever PC

1) en lineær modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

en eksponentiell modell som viser hvordan andelen mannlige røykere har endret seg

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange prosent av norske menn i alderen 16–74 år vil være røykere i 2020 ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Krever PC

Når vil andelen mannlige røykere bli lavere enn 5 % ifølge hver av de to modellene i oppgave a)?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Kommenter modellenes gyldighetsområde.

Fasit

a1) $f (x) = - 0,88 x + 42,3$

a2) $g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}$

Lineær: $\approx 11,5 %$ . Eksponentiell: $\approx 16,5 %$ .

Lineær: under $5 %$ fra $2027$ . Eksponentiell: under $5 %$ fra $2064$ .

Den lineære modellen gir negativ andel etter ca. 2033 og er urealistisk på lang sikt. Den eksponentielle modellen nærmer seg 0, men gir aldri negativ andel — den er mer realistisk, men ekstrapolering langt frem er usikker.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å finne regresjonsmodeller og lese av verdier fra grafene.

Vi setter inn datapunktene $(x, y)$ der $x$ er antall år etter 1985:

$x$	$0$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$
$y$ (%)	$42$	$37$	$34$	$31$	$25$	$19$

Vi ber GeoGebra finne lineær regresjon og eksponentiell regresjon for datapunktene.

1) Lineær modell:

f (x) = - 0,88 x + 42,3

Svar: $f (x) = - 0,88 x + 42,3$

2) Eksponentiell modell:

g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}

Svar: $g (x) = 42,9 \cdot {0,973}^{x}$

Grafene med datapunktene (røde) er vist nedenfor. Den blå linjen er den lineære modellen og den grønne kurven er den eksponentielle modellen. Den røde vannrette linjen viser $y = 5$ .

Lineær og eksponentiell modell for andel mannlige røykere

Vi setter inn $x = 35$ (år 2020 er 35 år etter 1985) i begge modellene.

Lineær modell:

f (35) = - 0,88 \cdot 35 + 42,3 = - 30,8 + 42,3 = 11,5

Eksponentiell modell:

g (35) = 42,9 \cdot {0,973}^{35} \approx 16,5

Svar: Ifølge den lineære modellen vil ca. $11,5 %$ av norske menn røyke i 2020. Ifølge den eksponentielle modellen vil ca. $16,5 %$ røyke. Det vil si at de to modellene gir ganske ulike prognoser for 2020.

Vi vil finne når andelen blir lavere enn $5 %$ , altså løse $f (x) = 5$ og $g (x) = 5$ .

Lineær modell ( $f (x) = 5$ ):

- 0,88 x + 42,3 = 5

- 0,88 x = 5 - 42,3 = - 37,3

x = \frac{- 37,3}{- 0,88} \approx 42,4

$x \approx 42,4$ tilsvarer ca. $1985 + 42,4 \approx 2027$ .

Eksponentiell modell ( $g (x) = 5$ ): Vi leser av fra grafen (eller løser med GeoGebra) at $g (x) = 5$ når $x \approx 78,8$ , som tilsvarer $1985 + 78,8 \approx 2064$ .

Svar: Ifølge den lineære modellen vil andelen mannlige røykere bli lavere enn $5 %$ rundt $2027$ . Ifølge den eksponentielle modellen vil dette først skje rundt $2064$ .

Begge modellene bygger på målinger fra perioden 1985–2010, og de passer rimelig bra til dataene i denne perioden.

Den lineære modellen har et viktig problem: den gir negativ andel røykere etter ca. $x \approx 48$ , det vil si rundt år $2033$ . Det er åpenbart urealistisk — andelen kan ikke bli negativ. Modellen er derfor ikke gyldig for ekstrapolering langt frem i tid.

Den eksponentielle modellen nærmer seg 0 asymptotisk, det vil si at den aldri gir negativ andel. Den er derfor mer realistisk på lang sikt. Likevel er det stor usikkerhet i å bruke modellen langt utenfor datagrunnlaget (ekstrapolere). Det er ikke sikkert at trenden fortsetter på samme måte langt ut i fremtiden.

Konklusjon: Begge modellene er gyldige som beskrivelse av perioden 1985–2010. For prognoser langt inn i fremtiden er den eksponentielle modellen mer realistisk, men all ekstrapolering er usikker.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Skiskytter Tora og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tora er en ivrig skiskytter. Hun treffer blinken med $84 %$ av skuddene sine. I en konkurranse skyter hun fem skudd.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med de fire første skuddene og bommer med det siste.

Krever PC

Bestem sannsynligheten for at hun treffer blinken med fire av skuddene.

Fasit

$P \approx 0,0797 \approx 7,97 %$

$P \approx 0,3985 \approx 39,9 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at sannsynligheten for treff er $p = 0,84$ og sannsynligheten for bom er $1 - p = 0,16$ .

Her spør oppgaven etter én bestemt rekkefølge: fire treff etterfulgt av én bom. Siden hvert skudd er uavhengig, ganger vi sannsynlighetene sammen:

P (fire treff, så bom) = 0,84 \cdot 0,84 \cdot 0,84 \cdot 0,84 \cdot 0,16

= {0,84}^{4} \cdot 0,16

\approx 0,4979 \cdot 0,16

\approx 0,0797

Sannsynligheten for at Tora treffer de fire første og bommer med det siste er $P \approx 0,0797 \approx 7,97 %$ .

Nå spør oppgaven etter sannsynligheten for nøyaktig fire treff av fem skudd, uansett rekkefølge. Vi bruker den binomiske sannsynlighetsformelen:

P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

Her er $n = 5$ (antall skudd), $k = 4$ (antall treff vi ønsker), $p = 0,84$ .

Antall måter å velge hvilke 4 av 5 skudd som er treff:

(\binom{5}{4}) = 5

Det vil si at det er 5 forskjellige rekkefølger der nøyaktig fire skudd treffer. Hver slik rekkefølge har sannsynlighet ${0,84}^{4} \cdot 0,16 \approx 0,0797$ (fra deloppgave a).

P (X = 4) = (\binom{5}{4}) \cdot {0,84}^{4} \cdot {0,16}^{1} = 5 \cdot 0,0797 \approx 0,3985

Sannsynligheten for at Tora treffer nøyaktig fire av fem skudd er $P \approx 0,3985 \approx 39,9 %$ .

Det betyr at omtrent 4 av 10 ganger hun skyter fem skudd, vil hun treffe nøyaktig fire.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en undersøkelse ble 30 elever spurt om hvor lang tid de bruker på å komme seg til og fra skolen hver dag. Elevene oppga tiden i minutter. Resultatet av undersøkelsen er vist nedenfor.

$28 56 12 16 34 78 64 18 10 21$

$32 26 54 62 64 70 50 44 70 86$

$16 20 38 14 80 24 20 32 14 10$

Kalkulator

Lag et klassedelt materiale av tallene ovenfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassene ha klassebredde 10.

Kalkulator

Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i oppgave a), og bestem gjennomsnittet.

Kalkulator

Bruk det klassedelte materialet til å avgjøre hvor stor andel av elevene som trenger mindre enn 60 min på å komme seg til og fra skolen.

Fasit

Se frekvenstabell i løsningsforslaget.

$\overline{x} \approx 40,3 m i n$

$73,3 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sorterer alle 30 verdiene inn i klasser med bredde 10, der den første klassen starter i 10.

Klasse	Midtpunkt	Frekvens
$[10, 20)$	$15$	$8$
$[20, 30)$	$25$	$6$
$[30, 40)$	$35$	$4$
$[40, 50)$	$45$	$1$
$[50, 60)$	$55$	$3$
$[60, 70)$	$65$	$3$
$[70, 80)$	$75$	$3$
$[80, 90)$	$85$	$2$
Sum		30

Vi kontrollerer at frekvensene summerer til 30: $8 + 6 + 4 + 1 + 3 + 3 + 3 + 2 = 30$ . Det stemmer.

Når vi beregner gjennomsnitt fra klassedelt materiale, bruker vi midtpunktet i hver klasse som representativ verdi for alle verdiene i klassen.

\overline{x} = \frac{\sum (midtpunkt \cdot frekvens)}{n}

Vi regner ut telleren:

15 \cdot 8 + 25 \cdot 6 + 35 \cdot 4 + 45 \cdot 1 + 55 \cdot 3 + 65 \cdot 3 + 75 \cdot 3 + 85 \cdot 2

= 120 + 150 + 140 + 45 + 165 + 195 + 225 + 170 = 1210

Deretter deler vi på antall elever:

\overline{x} = \frac{1210}{30} \approx 40,3

Gjennomsnittet er $\approx 40,3 m i n$ . Det betyr at en typisk elev bruker omtrent 40 minutter på å komme seg til og fra skolen.

For å finne andelen elever med reisetid under 60 minutter, summerer vi frekvensene i klassene $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ og $[50, 60)$ :

8 + 6 + 4 + 1 + 3 = 22

Andelen av de 30 elevene er:

\frac{22}{30} = \frac{11}{15} \approx 0,733 = 73,3 %

$73,3 %$ av elevene bruker mindre enn 60 minutter på å komme seg til og fra skolen. Det vil si omtrent 3 av 4 elever.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Innloggede brukere på nettside modellert med tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = - 9 x^{3} + 270 x^{2} - 1400 x + 3000

viser hvor mange personer som var logget på en nettside $x$ timer etter midnatt et gitt døgn.

Krever PC

Tegn grafen til $f$ for $0 \leq x \leq 24$ .

Krever PC

Hvor mye var klokka da det var flest personer logget på nettsiden? Hvor mange personer var logget på nettsiden da?

Krever PC

Når var flere enn 1 500 personer logget på nettsiden?

Kalkulator

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ for $6 \leq x \leq 16$ . Hva forteller dette svaret?

Fasit

Se graf under.

$Ca. kl. 17, med ca. 13 000 påloggede$

$0 \leq x ≲ 1,5 og 4,8 ≲ x ≲ 23,7$ (dvs. fra midnatt til ca. kl. 01:30, og fra ca. kl. 04:50 til ca. kl. 23:45)

$\approx 1050 personer/time$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver inn funksjonen $f (x) = - 9 x^{3} + 270 x^{2} - 1400 x + 3000$ i GeoGebra for $0 \leq x \leq 24$ , og tegner også linjen $y = 1500$ (rød) for å se når det er flere enn 1 500 påloggede.

Graf over innloggede brukere

Grafen viser antall påloggede brukere i løpet av et døgn. Kurven starter på $3 000$ ved midnatt ( $x = 0$ ), synker til et minimum tidlig på morgenen, stiger deretter kraftig mot ettermiddagen og faller igjen sent på kvelden.

Vi bruker GeoGebra til å finne toppunktet på grafen. GeoGebra finner maksimalpunktet ved kommandoen Extremum(f, 0, 24).

GeoGebra gir toppunktet $\approx (16,94; 13 014)$ .

Det betyr at $x \approx 16,94$ timer etter midnatt, altså ca. kl. 17, var det flest påloggede.

Det var flest personer pålogget ca. kl. 17:00, med omtrent $13 000 personer$ .

Vi tegner linjen $g (x) = 1500$ (rød linje i grafen) og finner skjæringspunktene med $f$ grafisk i GeoGebra.

GeoGebra finner skjæringspunktene:

$x \approx 1,47$ (kurven krysser ned gjennom $y = 1500$ , like etter midnatt)
$x \approx 4,79$ (kurven krysser opp gjennom $y = 1500$ , tidlig morgen)
$x \approx 23,74$ (kurven krysser ned gjennom $y = 1500$ , sent på kvelden)

Fra grafen ser vi at $f (x) > 1500$ i to perioder:

Fra $x = 0$ til $x \approx 1,47$ (fra midnatt til ca. kl. 01:30)
Fra $x \approx 4,79$ til $x \approx 23,74$ (fra ca. kl. 04:50 til ca. kl. 23:45)

Det var flere enn 1 500 personer pålogget fra midnatt til ca. kl. 01:30, og fra ca. kl. 04:50 til ca. kl. 23:45.

Den gjennomsnittlige vekstfarten for $6 \leq x \leq 16$ beregnes slik:

\frac{f (16) - f (6)}{16 - 6}

Vi regner ut funksjonsverdiene:

f (6) = - 9 \cdot 6^{3} + 270 \cdot 6^{2} - 1400 \cdot 6 + 3000 = - 1944 + 9720 - 8400 + 3000 = 2376

f (16) = - 9 \cdot 16^{3} + 270 \cdot 16^{2} - 1400 \cdot 16 + 3000 = - 36864 + 69120 - 22400 + 3000 = 12856

\frac{f (16) - f (6)}{16 - 6} = \frac{12856 - 2376}{10} = \frac{10480}{10} = 1048

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $1048 \approx 1050 personer/time$ .

Dette betyr at antallet påloggede brukere økte med gjennomsnittlig ca. 1 050 personer per time i tidsrommet mellom kl. 06 og kl. 16.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjoner, Modellering, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Gjennomsnitt og median for elevfravær

Oppgave 1-2·Produkt av tall på standardform

Oppgave 1-3·Forenkle potensuttrykk med negative eksponenter

Oppgave 1-4·Rente på bankinnskudd over fem år

Oppgave 1-5·Lineær modell for barns ordforråd

Oppgave 1-6·Høyde og tid for kastet stein

Oppgave 1-7·Kaffedrikking i klasse og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8·Totallsystem og tretallsystem

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Utenlandske spillere i Eliteserien

Oppgave 2-2·Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgave 2-3·Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Oppgave 2-4·Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Oppgave 2-5·Skiskytter Tora og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-6·Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Oppgave 2-7·Innloggede brukere på nettside modellert med tredjegradsfunksjon

Temaer

Oppgave 1-1Gjennomsnitt og median for elevfravær

Oppgave 1-2Produkt av tall på standardform

Oppgave 1-3Forenkle potensuttrykk med negative eksponenter

Oppgave 1-4Rente på bankinnskudd over fem år

Oppgave 1-5Lineær modell for barns ordforråd

Oppgave 1-6Høyde og tid for kastet stein

Oppgave 1-7Kaffedrikking i klasse og betinget sannsynlighet

Oppgave 1-8Totallsystem og tretallsystem

Oppgave 2-1Utenlandske spillere i Eliteserien

Oppgave 2-2Sektordiagram for transportmidler til skolen

Oppgave 2-3Energi frigitt i atomkraftverk med E = mc²

Oppgave 2-4Andel mannlige røykere 1985–2010 lineær og eksponentiell modell

Oppgave 2-5Skiskytter Tora og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-6Klassedelt materiale for reisetid til skolen

Oppgave 2-7Innloggede brukere på nettside modellert med tredjegradsfunksjon