1T Vår 2026

Vi løser likningssystemet ved innsetting. Fra den andre likningen isolerer vi $y$:

Vi setter dette inn i den første likningen:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi leter etter to tall med produkt $-6$ og sum $1$: det er $3$ og $-2$.

Dette gir

Vi finner tilhørende $y$-verdier ved å bruke $y=x-2$:

• $x=-3$: $y=-3-2=-5$
• $x=2$: $y=2-2=0$

Løsningene er $\underline{\underline{𝐱=-\mathrm{𝟑},𝐲=-\mathrm{𝟓}}}$ og $\underline{\underline{𝐱=\mathrm{𝟐},𝐲=\mathrm{𝟎}}}$.

Vi tegner de to grafene i samme koordinatsystem:

• $y=-x^2+4$ (parabel)
• $y=x-2$ (rett linje, omskrevet fra $x-y=2$)

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-5, 4, 400)
y_parabel = -x**2 + 4
y_linje = x - 2

fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 6))
ax.plot(x, y_parabel, color='steelblue', linewidth=2.5, label=r'$y = -x^2 + 4$')
ax.plot(x, y_linje, color='tomato', linewidth=2.5, label=r'$y = x - 2$')

for p, label, xytext in [
    ((-3, -5), r'$(-3,\ -5)$', (-4.5, -3.5)),
    ((2, 0),   r'$(2,\ 0)$',   (2.3, 1.2)),
]:
    ax.plot(*p, 'ko', markersize=8, zorder=5)
    ax.annotate(label, xy=p, xytext=xytext, fontsize=11,
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))

ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax.set_xlim(-5, 4); ax.set_ylim(-8, 6)
ax.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.5)
plt.tight_layout()
plt.savefig('_resources/1t-v26-1-2.png', dpi=150)

Grafene skjærer hverandre i punktene $\underline{\underline{(-\mathrm{𝟑},-\mathrm{𝟓})}}$ og $\underline{\underline{(\mathrm{𝟐},\mathrm{𝟎})}}$.

Mønsteret viser at tall nummer $n$ er gitt ved $(n-1)\cdot n+1$.

Vi setter inn $n=8$:

Tall nummer 8 i tallfølgen er $\underline{\underline{57}}$.

Fra mønsteret ser vi at tall nummer $n$ er

Dette kan også skrives som

Den likebeinte trekanten i oppgaven har toppvinkel $30°$ og de to like sidene har lengde $4$.

Vi speiler trekanten om én av de like sidene og setter de to trekantene sammen til én stor trekant. Den store trekanten har tre vinkler på $60°$ og alle tre sidene er $4$, altså er den likebeint.

Vi trekker nå høyden fra toppen ned til grunnflaten i den likesidede trekanten. Høyden deler trekanten i to like rettvinklede trekanter. Hver av disse rettvinklede trekantene har:

• Hypotenuse: $4$ (en side av den likesidede trekanten)
• Kortkatet: ${\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ (halve grunnflaten)
• Vinkel mot hypotenuse ved grunnflaten: $60°$
• Vinkel mot hypotenuse ved toppen: $30°$

I den rettvinklede trekanten kan vi nå lese av:

For å finne lengstkateten $h$ (høyden) bruker vi Pytagoras:

Dermed er:

Trekanten har to sider på $10\sqrt{3}$ og $4$ med $30°$ mellom dem. Vi bruker arealsetningen:

Vi setter inn $\sin 30°={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

Arealet er $\underline{\underline{10\sqrt{3}}}$.

La $x$ være den ukjente siden (motstående $30°$-vinkelen). Vi bruker cosinussetningen:

Vi setter inn $\cos 30°={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$:

Omkretsen er:

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $f$ som har ingen nullpunkter og to vertikale asymptoter.

Idé: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ har

• nullpunkter der telleren $p(x)=0$
• vertikale asymptoter der nevneren $q(x)=0$ (og telleren ikke er 0)

Vi velger telleren til å være konstanten $1$, som aldri blir null. Da får vi ingen nullpunkter uansett hva som skjer i nevneren.

For å få to vertikale asymptoter trenger vi at nevneren har to ulike reelle nullpunkter. Vi velger

som har nullpunktene $x=1$ og $x=-1$.

Vi setter

Argumentasjon:

• Ingen nullpunkter: Telleren er $1\ne 0$ for alle $x$, så $f(x)=0$ har ingen løsning.
• To vertikale asymptoter: Nevneren $x^2-1=0$ gir $x=1$ og $x=-1$. I disse punktene er $f$ udefinert og $|f(x)|\to \infty$. Dermed er $x=1$ og $x=-1$ vertikale asymptoter.

$f$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}}}$

Vi skal konstruere en rasjonal funksjon $g$ med horisontal asymptote $y=2$ som ikke skjærer $y$-aksen.

Horisontal asymptote: En rasjonal funksjon $\frac{p(x)}{q(x)}$ der teller og nevner har samme grad, har horisontal asymptote $y=\frac{a}{b}$, der $a$ er ledende koeffisient i telleren og $b$ er ledende koeffisient i nevneren.

Vi velger teller og nevner av grad 1:

Her er ledende koeffisient i telleren $2$, og ledende koeffisient i nevneren $1$.

Argumentasjon:

• Horisontal asymptote $y=2$: Vi skriver om:

Når $x\to \pm \infty$ går $\frac{1}{x}\to 0$, og dermed $g(x)\to 2$. Den horisontale asymptoten er $y=2$.

• Skjærer ikke $y$-aksen: $g(0)=\frac{2\cdot 0-1}{0}=\frac{-1}{0}$ er udefinert. Dermed er $g$ ikke definert for $x=0$, og grafen skjærer ikke $y$-aksen. ($x=0$ er en vertikal asymptote.)

$g$ er en rasjonal funksjon fordi den er et forhold mellom to polynomer.

Svar: $\underline{\underline{g(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}}}$

Den deriverte $f^{\prime }(a)$ er definert som stigningstallet til tangenten til grafen av $f$ i punktet $x=a$.

Vi er gitt at tangentens stigningstall i $x=4$ er $5$.

Derfor er ${𝐟}^{\prime }(\mathrm{𝟒})=\mathrm{𝟓}$.

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, er $f^{\prime }(x)$ en lineær funksjon (førstegradsfunksjon) på formen

Vi trenger to verdier for å bestemme $a$ og $b$.

Første verdi: bunnpunktet

I bunnpunktet er tangenten horisontal, slik at stigningstallet er $0$. Bunnpunktet har $x$-koordinat $-1$, så:

Andre verdi: fra deloppgave a)

Finn stigningstallet $a$:

Finn konstantleddet $b$:

Vi bruker $f^{\prime }(-1)=0$:

Kontroll: $f^{\prime }(4)=1\cdot 4+1=5$ ✓

Vi setter inn $x=50$ i uttrykket for $U(x)$:

Bilen slipper ut $\mathrm{176,5}$ gram CO₂ per kilometer ved $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.

Vi finner minimum ved å derivere $U(x)$ og sette den deriverte lik null.

Vi setter $U^{\prime }(x)=0$:

Fra grafen ser vi at $U(x)$ har et bunnpunkt (minimum) ved $x\approx \mathrm{71,5}$, som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

Minst utslipp per kilometer er $\mathrm{163,4}\mathrm{g}/\mathrm{k}\mathrm{m}$, og oppnås ved fart $\approx \mathrm{71,5}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.

Vi setter inn $x=90$ og finner utslippet per kilometer:

Fru Hansen kjører i $20$ minutter med fart $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Vi finner strekningen:

Totalt CO₂-utslipp over de $30\mathrm{km}$:

Bilen slipper ut omtrent $5098$ gram ($\mathrm{5,1}\mathrm{kg}$) CO₂ i løpet av disse $20$ minuttene.

I trekant $ABC$ kjenner vi to sider og den mellomliggende vinkelen:

• $AC=\sqrt{2}$
• $CB=1$
• $\angle ACB=105°$

Vi bruker derfor cosinussetningen for å finne $AB$:

Numerisk:

import math
AB_sq = 2 + 1 - 2*math.sqrt(2)*math.cos(math.radians(105))
print(AB_sq, math.sqrt(AB_sq))
# 3.7320508..., 1.9318516...

Vi får $A{B}^2\approx \mathrm{3,732}$, så

(Den eksakte verdien $2+\sqrt{3}$ kommer fra $\cos 105°=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, som gir $A{B}^2=3+\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}=3+\frac{\sqrt{12}-2}{2}=2+\sqrt{3}$.)

$\underline{\underline{AB\approx \mathrm{1,93}}}$

Vi deler trekant $ABD$ i de to deltrekanene $ABC$ og $ACD$, og beregner arealet av hver.

Areal av trekant $ABC$:

Finn $CD$ ved sinussetningen i trekant $ACD$:

Siden $\angle ACB=105°$ er $\angle ACD=180°-105°=75°$ (supplementvinkler). I trekant $ACD$ er $\angle D=60°$, $\angle ACD=75°$, og dermed $\angle CAD=180°-60°-75°=45°$.

Sinussetningen i trekant $ACD$ gir

Areal av trekant $ACD$:

Vi bruker $\sin 75°=\sin (45°+30°)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$:

Totalt areal:

Felles nevner 12:

$\underline{\underline{T_{ABD}={\displaystyle \frac{5\sqrt{3}+9}{12}}\approx \mathrm{1,47}}}$

Vi bruker de to datapunktene $(0,9000)$ og $(9,2500)$.

En lineær modell har formen $f(x)=ax+b$.

Siden $x=0$ svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

Stigningstallet finner vi ved

Den lineære modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent $\mathrm{𝟕𝟐𝟐}$ par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt $x\approx \mathrm{12,5}$, dvs. rundt år 2025–2026.

En eksponentiell modell har formen $g(x)=9000\cdot b^x$ (startverdi 9000 ved $x=0$).

Vi bruker punktet $(9,2500)$:

Den eksponentielle modellen er

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. $\mathrm{𝟏𝟑,𝟑}\%$ per år (siden $b\approx \mathrm{0,867}$ betyr $1-\mathrm{0,867}=\mathrm{0,133}=\mathrm{13,3}\%$ nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell $q$ har derfor en horisontal asymptote ved $y=2000$.

Konstruksjon av $p$:

Egil lager først modellen $p$ ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

• Ved $x=0$: $9000-2000=7000$
• Ved $x=9$: $2500-2000=500$

Modellen $p$ er eksponentiell med startverdi 7000:

Vi finner $c$ fra punktet $(9,500)$:

Konstruksjon av $q$:

Egil hever $p$ opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

Tolkning: Modell $q$ har horisontal asymptote $y=2000$: bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.