1T Vår 2025

Oppgave 1-1Asymptoter til rasjonal funksjon

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{12 x - 3}{2 x + 1}

Bestem likningene for eventuelle asymptoter til grafen til $f$ .

Fasit

$x = - \frac{1}{2}$ og $y = 6$

Løsningsforslag

Vi får vertikale asymptoter der hvor nevner er lik 0.

2 x + 1 = 0 ⟺ 2 x = - 1 ⟺ x = - \frac{1}{2}

Vi har en vertikal asymptote i $x = - \frac{1}{2}$ .

Både teller og nevner består av lineære funksjoner. Siden graden på polynomene er lik så vil vi få en horisontal asymptote. Når $x \to \infty$ så vil $- 3$ og $+ 1$ leddene ha infinitesimalt liten betydning og vi får:

\lim_{x \to \infty} f (x) = \frac{12}{2} = 6

Vi har vertikal asymptote i $x = - \frac{1}{2}$ og horisontal asymptote i $y = 6$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for hver riktig asymptote som er argumentert for. En kandidat som finner begge asymptotene og svarer at $x = - \frac{1}{2}$ og $y = 6$ , kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Asymptoter, Rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Andregradsulikhet

Løs ulikheten

x^{2} - 4 x - 12 < 0

Fasit

$x \in ⟨ - 2, 6 ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser først den tilhørende andregradslikningen ved å faktorisere:

x^{2} - 4 x - 12 = 0

Vi søker to tall som multipliserer til $- 12$ og adderer til $- 4$ . Tallene $- 6$ og $2$ passer:

x^{2} - 4 x - 12 = (x - 6) (x + 2) = 0

Dette gir nullpunktene $x = 6$ og $x = - 2$ .

Siden ledende koeffisient er positiv ( $a = 1 > 0$ ), åpner parabelen oppover. Det betyr at parabelen er under $x$ -aksen mellom nullpunktene.

Vi setter opp et fortegnsskjema:

Fortegnslinje for (x+2)(x-6)

Ulikheten $x^{2} - 4 x - 12 < 0$ er oppfylt der produktet er negativt, altså mellom nullpunktene.

Løsningen er $x \in ⟨ - 2, 6 ⟩$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som har funnet riktige nullpunkter og viser hvordan svarene framkommer, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Andregradslikninger, Algebra
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

En andregradsfunksjon $f$ har ett nullpunkt. Grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 9)$ .

Bestem et mulig funksjonsuttrykk $f (x)$ for andregradsfunksjonen.

Fasit

For eksempel $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ eller $f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ .

Løsningsforslag

Ett nullpunkt → grafen «toucher» akkurat $x$ -aksen og diskriminanten $b^{2} - 4 a c$ må være 0.
Grafen skal skjære i $(0,9)$ → $a$ må være positiv og $f (0) = 9$

Vi setter opp det generelle uttrykket.

f (x) = a x^{2} + b x + c

Siden diskriminanten må være null kan vi utnytte at $b^{2} = 4 a c$ og forenkle. Vi er kun ute etter en mulig løsning her, så jeg bruker kvadratroten slik at $b = \sqrt{4 a c}$

f (x) = a x^{2} + \sqrt{4 a c} x + c

Vi utnytter at $f (0) = 9$ som gir oss

a \cdot 0^{2} + \sqrt{4 a c} \cdot 0 + c = 9 ⟹ c = 9

Vi har altså

f (x) = a x^{2} + \sqrt{4 a \cdot 9} x + 9 = a x^{2} + \sqrt{36 a} x + 9 = a x^{2} + 6 \sqrt{a} x + 9

Den enkleste løsningen her vil være $a = 1$ slik at funksjonen vår blir:

f (x) = x^{2} + 6 x + 9

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

Et riktig svar som ikke er argumentert for, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Andregradslikninger, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Tredjegradslikning og grafvalg

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16 = 0

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$ ? Husk å begrunne svaret.

Fire grafer A, B, C og D

Fasit

$x = - 2, x = 1, x = 8$

Graf C

LøsningsforslagKI-generert

Vi prøver $x = 1$ :

1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 1 + 16 = 1 - 7 - 10 + 16 = 0 ✓

Siden $x = 1$ er en rot, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\frac{x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16}{x - 1}

\begin{matrix} (x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16 & ) : (x - 1) = x^{2} - 6 x - 16 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 6 x^{2} - 10 x + 16 \\ - 6 x^{2} + 6 x + 0 \\ - 16 x + 16 \\ - 16 x + 16 \\ 0 \end{matrix}

Vi har nå:

x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16 = (x - 1) (x^{2} - 6 x - 16)

Vi løser $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ med abc-formelen:

x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}

x = \frac{6 + 10}{2} = 8 eller x = \frac{6 - 10}{2} = - 2

Løsningene er $x = - 2$ , $x = 1$ og $x = 8$ .

Vi bruker egenskapene til $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 10 x + 16$ for å velge riktig graf:

Ledende koeffisient positiv ( $+ x^{3}$ ): grafen går mot $- \infty$ når $x \to - \infty$ og mot $+ \infty$ når $x \to + \infty$ . Det utelukker A og B (som begge har negativ ledende koeffisient).
Tre nullpunkter ved $x = - 2$ , $x = 1$ og $x = 8$ : én negativ rot og to positive røtter.
$y$ -skjæring: $f (0) = 16 > 0$ .
Lokalt toppunkt mellom røttene $- 2$ og $1$ ligger ved en negativ $x$ -verdi (til venstre for $y$ -aksen). Lokalt bunnpunkt ligger mellom røttene $1$ og $8$ , altså ved en positiv $x$ -verdi (til høyre for $y$ -aksen).

Graf D har lokalt toppunkt til høyre for $y$ -aksen og lokalt bunnpunkt til venstre – det stemmer ikke med $f$ .

Graf C har:

positiv ledende koeffisient (riktig retning)
én negativ rot (ca. $x = - 2$ ), lokalt toppunkt like til venstre for $y$ -aksen
positiv $y$ -skjæring
en rot ved liten positiv $x$ (ca. $x = 1$ ), lokalt bunnpunkt lengre til høyre
en rot ved større positiv $x$ (ca. $x = 8$ )

Dette stemmer med $f$ . Graf C er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Poengene fordeles i utgangspunktet slik: Én riktig faktor/ett riktig nullpunkt gir 1 poeng. En kandidat som gjør noen riktige beregninger videre, kan få 2 poeng. For å få full uttelling, må det gå klart fram hvilke tre $x$ -verdier som er løsninger av likningen.

Et riktig svar som ikke er argumentert for, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Polynomdivisjon, Funksjoner
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Trigonometri med arealsetning og cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likesidet trekant med sidelengder 2

Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$

Gitt en trekant $A B C$ der $A B = 10$ , $A C = 6$ og $∠ A = 30 °$

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $P Q R$ der $P Q = 8$ , $P R = 3$ og $∠ P = 60 °$

Bestem lengden av siden $Q R$ .

Fasit

$\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ (vist ved halvering av likesidet trekant)

Areal $= 15$

$Q R = 7$

LøsningsforslagKI-generert

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

hypotenus $= 2$
kort katet $= 1$ (halvparten av bunnsiden)
lang katet $= \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

Vinklene i den rettvinklede trekanten er $30 °$ , $60 °$ og $90 °$ .

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

\sin 30 ° = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{1}{2}

\cos 60 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{1}{2}

Dermed er $\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ .

Vi bruker arealsetningen:

T = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin A

T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 15

Vi bruker cosinussetningen:

Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos P

Q R^{2} = 8^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60 °

Q R^{2} = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49

Q R = \sqrt{49} = 7

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som setter opp riktige uttrykk for sinus og cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må det gå tydelig fram hvordan den likesidede trekanten er brukt.

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut arealet, kan få 1 poeng.

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut lengden av $Q R$ , kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Identitet i CAS-verktøy

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kari arbeider med algebraiske uttrykk, likninger og identiteter. Hun prøver å løse likningen

x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)

i et CAS-verktøy og får resultatet $x = x$ . Se nedenfor.

$x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

Løs: ${x = x}$

Ta utgangspunkt i dette resultatet og forklar Kari hva en identitet er.

Fasit

$x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ er en identitet — den er sann for alle reelle tall $x$ .

LøsningsforslagKI-generert

CAS prøver å finne hvilke $x$ -verdier som gjør likningen sann. For å forstå hvorfor den svarer $x = x$ , kan vi se hva som skjer når vi forenkler høyre side:

(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 = x^{2} - 4

De to sidene er altså nøyaktig det samme algebraiske uttrykket. Det betyr at likningen

x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)

er sann uansett hvilken verdi $x$ har. Velger vi for eksempel $x = 3$ :

3^{2} - 4 = 5 og (3 + 2) (3 - 2) = 5 \cdot 1 = 5

eller $x = 0$ :

0^{2} - 4 = - 4 og (0 + 2) (0 - 2) = 2 \cdot (- 2) = - 4

Begge sider gir alltid samme svar.

En slik likhet kalles en identitet — en likhet mellom to uttrykk som er sann for alle verdier av variabelen. CAS uttrykker dette med $x = x$ : det er CAS sin måte å si «alle reelle tall er løsninger».

Dette er annerledes enn en vanlig likning, for eksempel $x^{2} - 4 = 0$ , der bare de spesielle verdiene $x = 2$ og $x = - 2$ er løsninger.

Kari kan altså forklare at $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$ er en identitet fordi de to sidene er ekvivalente uttrykk, og at CAS bekrefter dette ved å returnere $x = x$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

For å få uttelling, må kandidaten argumentere for at de to uttrykkene er identiske.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Identiteter, CAS, Algebra
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Minimumsverdi med while-løkke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Siri har laget programmet nedenfor.

def f(x):
    return x ** 2 + 2 * x - 15

x = -5
verdi = f(x)

while x <= 5:

    if f(x) < verdi:
        verdi = f(x)

    x = x + 1

print(verdi)

Hva finner Siri ut når hun kjører programmet? Hvilken verdi skrives ut?

Fasit

Programmet skriver ut $- 16$ . Siri finner den minste funksjonsverdien til $f (x) = x^{2} + 2 x - 15$ for heltall $x \in [- 5, 5]$ .

LøsningsforslagKI-generert

Programmet definerer $f (x) = x^{2} + 2 x - 15$ og starter med $x = - 5$ og verdi = f(-5).

While-løkka går gjennom heltallene $x = - 5, - 4, - 3, \dots, 5$ . For hvert steg sjekkes det om $f (x)$ er mindre enn den lagrede verdi. Hvis ja, oppdateres verdi. Til slutt skrives den minste verdien som ble funnet.

Vi regner ut $f (x)$ for alle heltall i intervallet:

$x$	$f (x) = x^{2} + 2 x - 15$
$- 5$	$25 - 10 - 15 = 0$
$- 4$	$16 - 8 - 15 = - 7$
$- 3$	$9 - 6 - 15 = - 12$
$- 2$	$4 - 4 - 15 = - 15$
$- 1$	$1 - 2 - 15 = - 𝟏𝟔$
$0$	$0 + 0 - 15 = - 15$
$1$	$1 + 2 - 15 = - 12$
$2$	$4 + 4 - 15 = - 7$
$3$	$9 + 6 - 15 = 0$
$4$	$16 + 8 - 15 = 9$
$5$	$25 + 10 - 15 = 20$

Den minste funksjonsverdien er $f (- 1) = - 16$ .

Programmet skriver ut $- 16$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hvert riktig svar som er argumentert for.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Programmering, Funksjoner
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 2-1Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022, det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

Kalkulator

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ .
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Kalkulator

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Modellverdiene ligger nær de observerte verdiene – $K$ er en god modell.

$Stigning \approx 71,84 tilfeller per måned$

$K (29) \approx 5499 tilfeller$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}$ i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

CAS-beregninger for alle deloppgaver

Vi beregner $K (x)$ for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Måned	$x$	Observert	$K (x)$
Januar 2023	1	29	$\approx 33$
Mai 2023	5	93	$\approx 69$
Oktober 2023	10	164	$\approx 172$
Februar 2024	14	284	$\approx 357$
August 2024	20	1035	$\approx 1066$
Oktober 2024	22	1657	$\approx 1535$

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. $K$ er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ :

\frac{K (21) - K (4)}{21 - 4} = \frac{1278,94 - 57,65}{17} \approx 71,84

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. $𝟕𝟐$ tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ( $x = 4$ ) til september 2024 ( $x = 21$ ).

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså $x = 29$ .

K (29) = 27,8 \cdot {1,2}^{29} \approx 5499 tilfeller

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten vise hvordan utrykket framkommer med utgangspunkt i dataverdiene som er gitt. En kandidat som bruker det gitte uttrykket, tegner grafen, og viser at dataverdiene gir punkt som tilnærmet ligger på denne, kan få 1 poeng. En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i antall registrerte tilfeller per måned.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentiell vekst, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sekker hundemat og likningssystem

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En butikk selger små og store sekker med hundemat. De små sekkene veier $4,5 k g$ , og de store veier $12 k g$ .

En dag solgte butikken 80 sekker. Sekkene veide til sammen $720 k g$ .

Hvor mange små og hvor mange store sekker solgte butikken denne dagen?

Fasit

32 små sekker og 48 store sekker

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være antall små sekker og $y$ være antall store sekker.

Vi setter opp likningssystemet:

{\begin{matrix} x + y = 80 \\ 4,5 x + 12 y = 720 \end{matrix}

Vi løser systemet i GeoGebra CAS med kommandoen Løs({x + y = 80, (9/2)·x + 12·y = 720}, {x, y}):

GeoGebra CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir $x = 32$ og $y = 48$ .

Butikken solgte $32 små sekker$ og $48 store sekker$ denne dagen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. Riktige svar som ikke er argumentert for, gir ingen uttelling. En systematisk prøve- og feile-metode kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Tolvkant innskrevet i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tolvkant innskrevet i sirkel med 30°-vinkel

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

For hånd

Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.

For hånd

Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.

Fasit

$d = 4 \sqrt{10}$

$O = 24 (\sqrt{15} - \sqrt{5})$

Løsningsforslag

Alle 12 trekantene er like store. Dermed må arealet av hver trekant være $\frac{120}{12} = 10$ .

Arealsetningen sier at

A = \frac{1}{2} a b \sin v

Siden trekantene våre er likebeinte med sidelengde $r$ og vi kjenner vinkelen mellom beina kan vi forenkle og regne ut.

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} a b \sin v \\ 10 & = \frac{1}{2} r^{2} \cdot \sin 30 ° \\ \frac{2 \cdot 10}{\sin 30 °} & = r^{2} \\ \frac{20}{\frac{1}{2}} & = r^{2} \\ r & = \sqrt{40} \end{matrix}

Vi kan bestemme diameteren eksakt.

d = 2 r = 2 \cdot \sqrt{40} = 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 10} = 2 \cdot 2 \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}

Diameteren er $4 \sqrt{10}$ .

Vi kjenner to sider i trekantene og mangler den siste. Vi kan bruke cosinussetningen.

\begin{matrix} a^{2} & = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A \\ a^{2} & = {\sqrt{40}}^{2} + {\sqrt{40}}^{2} - 2 \sqrt{40} \cdot \sqrt{40} \cdot \cos 30 ° \\ a^{2} & = 40 + 40 - 2 \cdot 40 \cdot \cos 30 ° \\ a^{2} & = 80 - 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ a^{2} & = 80 (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ a^{2} & = 80 (\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ a^{2} & = 40 (2 - \sqrt{3}) \\ a & = \sqrt{40} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ a & = 2 \sqrt{10} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \\ a & = 2 \cdot \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}} \end{matrix}

Tolvkanten består av tolv slike kanter.

O = 12 \cdot 2 \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}} = 24 \sqrt{20 - 10 \sqrt{3}}

GeoGebra viser at dette kan forenkles til

O = 24 (\sqrt{15} - \sqrt{5})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave a). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng i oppgave b). Følgefeil kan gi full uttelling i oppgave b). En kandidat som ikke regner med eksakte verdier, får maksimalt tre poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Trigonometri, Areal og omkrets
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Figurtall og programmering

Figur 1, 2 og 3 med grønne kvadrater

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Du skal lage et program som beregner og skriver ut hvor mange små grønne kvadrater det vil være i hver av de 20 første figurene.

For hånd

Sett opp en algoritme du kan bruke for å lage programmet.

Oppsett for hånd

Ta utgangspunkt i algoritmen fra oppgave a) og lag programmet.

Tenk deg at du har 1 000 000 små kvadrater. Du starter med å lage figur 1 og fortsetter så med å lage figur 2, figur 3 osv.

Oppsett for hånd

Lag et program som du kan bruke for å finne ut hvor mange figurer du kan lage, og hvor mange små kvadrater du har igjen når du har laget alle figurene.

Fasit

–

Du kan lage 143 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Løsningsforslag

Jeg deler opp figuren slik:

Oppdeling av figurtall

Jeg velger å skrive algoritmen som pseudokode slik at det går raskt å skrive den i Python etterpå.

for hver figur fra n = 1 til n = 20:
	kvadrat = n^2
	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print sum

for n in range(1, 21):
	kvadrat = n ** 2
	høyre_side = n
	nede_venstre = n + 1
	sum = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
	print(f"Figur {n} har {sum} kvadrater.")

Programmet skrev ut hvor mange kvadrater det er i hver figur. Figur 20 har 441 kvadrater.

Vi må holde styr på hvor mange kvadrater vi har brukt med en totalsum, også bruker vi en whileløkke for å avslutte når vi er gått tomme for brikker.

totalsum = 0
n = 0

while totalsum <= 1_000_000:
    n = n + 1
    kvadrat = n ** 2
    høyre_side = n
    nede_venstre = n + 1
    figur = kvadrat + høyre_side + nede_venstre
    totalsum = totalsum + figur   # Legger til den siste figuren

# While-løkka har kjørt en gang for mye og 
# har brukt opp flere brikker enn vi har.
# Vi må derfor "gå en figur tilbake"
brikker_brukt_før_siste = totalsum - figur
brikker_til_overs = 1_000_000 - brikker_brukt_før_siste

print(f"Etter figur {n-1} har du {brikker_til_overs} brikker til overs.")

Output: Etter figur 142 har du 15017 brikker til overs.

Du kan lage 142 figurer. Da har du 15 017 brikker til overs.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

For å få uttelling må algoritmen beskrive en steg for steg framgangsmåte som inkluderer en løkke.

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng. En kode som er godt forklart, kan gi uttelling i oppgave a).

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng. For å få full uttelling, må programmet komme fram til at det kan lages 142 figurer, og at det da vil være 15 017 kvadrater igjen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Figurtall, Programmering
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Sylinderboks med minst overflate

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha

et volum $V$ på $450 c m^{3}$
minst mulig overflate $O$

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen

V = π \cdot r^{2} \cdot h

Kalkulator

Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4			450
6			450
8			450

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

Krever PC

Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

Krever PC

Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

Fasit

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

$O (r) = π r^{2} + \frac{900}{r}$

$r \approx 5,23 cm$ , $O_{\min} \approx 258 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Isabel har gitt at $V = 450 {cm}^{3}$ . Hun løser volumformelen for $h$ :

h = \frac{V}{π r^{2}} = \frac{450}{π r^{2}}

Deretter settes $h$ inn i overflateformelen:

O = π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{450}{π r^{2}} = π r^{2} + \frac{900}{r}

Vi beregner $h$ og $O$ for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):

GeoGebra CAS: tabellverdier for h og O

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi bruker formlene $h = \frac{450}{π r^{2}}$ og $O = π r^{2} + \frac{900}{r}$ direkte på kalkulator, én radius om gangen:

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

Vi setter $h = \frac{450}{π r^{2}}$ inn i formelen for overflaten:

O (r) = π r^{2} + 2 π r \cdot \frac{450}{π r^{2}} = π r^{2} + \frac{900}{r}

Grafen under viser $O (r)$ for $r > 0$ med bunnpunktet markert:

Graf av O(r) med markert minimum

Vi finner minimumet ved å derivere $O (r)$ og sette $O^{'} (r) = 0$ :

O^{'} (r) = 2 π r - \frac{900}{r^{2}}

Vi setter $O^{'} (r) = 0$ :

2 π r = \frac{900}{r^{2}} ⟹ r^{3} = \frac{450}{π}

GeoGebra CAS gir $r \approx 5,23 cm$ (se utklipp over).

Høyden blir da:

h = \frac{450}{π \cdot {5,23}^{2}} \approx 5,23 cm

Vi merker oss at $h = r$ ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.

Minste overflate:

O (5,23) = π \cdot {5,23}^{2} + \frac{900}{5,23} \approx 258 {cm}^{2}

Isabel bør velge radius $r \approx 5,23 cm$ . Da blir overflaten minst mulig, $O_{\min} \approx 258 {cm}^{2}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som ikke viser hvordan svarene framkommer, får høyst 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig funksjonsuttrykk og 1 poeng for en riktig grafisk framstilling som kommuniserer godt. Funksjonsuttrykk og grafiske framstillinger som ikke er riktige, gir ingen uttelling.

I utgangspunktet gis ett poeng for hvert riktig svar som er gjort rede for. Følgefeil kan gi uttelling, dersom svarene som framkommer er rimelige ut fra situasjonen i oppgaven og tabellen i oppgave a).

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klassen til Noah og Johanne arbeider med rasjonale funksjoner. Læreren har tegnet grafene til to rasjonale funksjoner $f$ og $g$ og bedt elevene undersøke hvordan funksjonsuttrykkene kan se ut.

Graf til f

Hjelp Noah og Johanne med å finne fram til et mulig funksjonsuttrykk $f (x)$ for funksjonen $f$ og et mulig funksjonsuttrykk $g (x)$ for funksjonen $g$ .

Husk å argumentere for dine valg av funksjonsuttrykk.

Fasit

$f (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1}$ og $g (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.

Funksjonen $f$

Grafen til $f$ har følgende egenskaper:

To vertikale asymptoter ved $x = - 1$ og $x = 1$
Horisontal asymptote $y = 0$
Positiv $y$ -skjæring ( $f (0) > 0$ )
Nullpunkt mellom $0$ og $1$ (ca. $x = 0,4$ )

Siden $f$ har vertikale asymptoter ved $x = - 1$ og $x = 1$ , må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Telleren må gi nullpunkt nær $x = 0,4$ . Et lineært uttrykk $5 x - 2$ har nullpunkt i $x = \frac{2}{5}$ , som passer godt. Da blir

f (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1}

Vi verifiserer:

Vertikale asymptoter: $x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ✓
Nullpunkt: $5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ ✓
$y$ -skjæring: $f (0) = \frac{- 2}{- 1} = 2 > 0$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x - 2}{x^{2} - 1} = 0$ ✓

Funksjonen $g$

Grafen til $g$ har følgende egenskaper:

Ingen vertikale asymptoter
Horisontal asymptote $y = 0$
Negativ $y$ -skjæring og samme type teller som $f$ (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
Lokalt minimum like til venstre for $y$ -aksen, lokalt maksimum til høyre

Siden $g$ ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i $f$ og bytter nevner til $x^{2} + 1$ (alltid positiv):

g (x) = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}

Vi verifiserer:

Ingen vertikale asymptoter: $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ for alle $x$ ✓
Nullpunkt: $5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$ ✓
$y$ -skjæring: $g (0) = \frac{- 2}{1} = - 2$ ✓
Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1} = 0$ ✓

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = $f$ , rød = $g$ ) og samsvarer med originalfigurene:

Grafer til f og g

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 2 poeng for hvert funksjonsuttrykk som kan være riktig og er argumentert for. Et funksjonsutrykk som kan være riktig, men ikke er argumentert for, gir ingen uttelling. En kandidat som kommer fram til to funksjonsuttrykk som kan være riktige, men ikke argumenterer for disse, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1Asymptoter til rasjonal funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Andregradsulikhet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Tredjegradslikning og grafvalg

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Trigonometri med arealsetning og cosinus

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Identitet i CAS-verktøy

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Minimumsverdi med while-løkke

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1Kikhoste og eksponentiell modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Sekker hundemat og likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Tolvkant innskrevet i sirkel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Figurtall og programmering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Sylinderboks med minst overflate

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Funksjonen $f$

Funksjonen $g$

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1·Asymptoter til rasjonal funksjon

Oppgave 1-2·Andregradsulikhet

Oppgave 1-3·Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

Oppgave 1-4·Tredjegradslikning og grafvalg

Oppgave 1-5·Trigonometri med arealsetning og cosinus

Oppgave 1-6·Identitet i CAS-verktøy

Oppgave 1-7·Minimumsverdi med while-løkke

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1·Kikhoste og eksponentiell modell

Oppgave 2-2·Sekker hundemat og likningssystem

Oppgave 2-3·Tolvkant innskrevet i sirkel

Oppgave 2-4·Figurtall og programmering

Oppgave 2-5·Sylinderboks med minst overflate

Oppgave 2-6·Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Funksjonen f

Funksjonen g

Temaer

Oppgave 1-1Asymptoter til rasjonal funksjon

Oppgave 1-2Andregradsulikhet

Oppgave 1-3Andregradsfunksjon med ett nullpunkt

Oppgave 1-4Tredjegradslikning og grafvalg

Oppgave 1-5Trigonometri med arealsetning og cosinus

Oppgave 1-6Identitet i CAS-verktøy

Oppgave 1-7Minimumsverdi med while-løkke

Oppgave 2-1Kikhoste og eksponentiell modell

Oppgave 2-2Sekker hundemat og likningssystem

Oppgave 2-3Tolvkant innskrevet i sirkel

Oppgave 2-4Figurtall og programmering

Oppgave 2-5Sylinderboks med minst overflate

Oppgave 2-6Rasjonale funksjoner Noah og Johanne

Funksjonen $f$

Funksjonen $g$