Eksamensoppgavene er utgitt av Utdanningsdirektoratet. Første nedlasting kjører en bot-sjekk i nettleseren (Vercel BotID) — mer i personvernerklæringen.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Likningen for en linje er gitt ved . En annen linje er parallell med linjen og går gjennom punktet .
Bestem likningen for linjen .
Parallelle linjer har samme stigningstall. Siden har likningen , er stigningstallet .
Linje har altså formen
Vi finner ved å sette inn at går gjennom punktet :
Likningen for linjen er .
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Om en rettvinklet trekant får du vite at
Bestem .
Fra leser vi av at .
Fra leser vi av at .
Vinkelsummen i trekanten er , og
Trekanten er altså rettvinklet i , med hypotenus og katet .
For vinkel i en rettvinklet trekant er cosinus lik forholdet mellom nærliggende katet og hypotenusen:
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Løs likningen
(dobbeltrot) og
Vi prøver heltall som er faktorer av konstantleddet , altså .
Prøver :
Siden er et nullpunkt, er en faktor. Vi polynomdividerer:
Vi har nå:
Andregradslikningen løses med abc-formelen:
Samlet faktorisering:
Likningen har løsningene (dobbeltrot) og .
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Vis at likningssystemet ikke har løsning.
Systemet har ingen løsning fordi andregradslikningen man får etter innsetting har negativ diskriminant ().
Vi løser systemet ved innsetting. Fra likning 2 uttrykker vi :
Setter inn i likning 1:
Vi undersøker diskriminanten:
Siden har andregradslikningen ingen reelle løsninger.
Dermed har likningssystemet ingen løsning.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Ovenfor ser du grafen til en tredjegradsfunksjon . Grafen har bunnpunkt og toppunkt . Likningen for tangenten til grafen i punktet er .
Skisser grafen til den deriverte funksjonen, .
er en nedåpent parabel med nullpunkter i og , og toppunkt i .
Siden er en tredjegradsfunksjon, er en andregradsfunksjon — grafen til er en parabel.
Vi leser av tre opplysninger fra oppgaveteksten:
Nullpunkter for : Der har topp- eller bunnpunkt, er stigningstallet til lik null. Derfor er og .
har altså nullpunkter i og .
Fortegn for : For en tredjegradsfunksjon som går fra bunnpunkt til toppunkt (slik grafen gjør fra til ), er stigningstallet positivt mellom ekstremalpunktene. Dermed er for .
Parabelen er nedåpent (åpner nedover): for og for .
Toppunktet for : Tangentlikningen i punktet er , som har stigning . Derfor er .
Vi kan bestemme eksakt: siden har nullpunkter i og , skriver vi
Betingelsen gir
Altså er .
Toppunktet for ligger ved (midtpunkt mellom nullpunktene), med .
Skissen av er en nedåpent parabel som:
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022.
Anta at funksjonen gitt ved
kan brukes som en modell for hvor mange par ski butikken vil kunne selge per uke etter salgsstart.
Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5 000 par ski, ifølge modellen?
Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen når . Gi en praktisk tolkning av svaret.
18 uker (uke 6–23), pluss de to siste ukene 51–52 (totalt ca. 20 uker hvis regnes med; selve grensepunktene gir nøyaktig 5 000).
— salget minker med ca. 345 par ski per uke i uke 30.
Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen av og den horisontale linjen på intervallet .
Fra grafen leser vi av at i tre punkter:
Grafen viser at i to intervaller:
Ifølge modellen vil butikken selge mer enn 5 000 par ski i 18 uker (uke 6–23). I tillegg vil salget overstige 5 000 par i ukene 51 og 52.
Vi deriverer og setter inn i GeoGebra CAS.
Fra CAS-utregningen ser vi:
Praktisk tolkning: I uke 30 er — butikken selger 2 700 par ski. Den momentane vekstfarten betyr at salget på dette tidspunktet minker med ca. 345 par ski per uke.
En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.
Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.
Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.
Tegn grafen til funksjonen gitt ved
Bestem toppunktet på grafen til og skjæringspunktene mellom grafen til og hver av de rette linjene og .
Gi en praktisk tolkning av svarene du får.
Se graf nedenfor.
Toppunkt: . Skjæring med : . Skjæring med : og .
Vi vet at bestanden starter med 500 dyr og øker med samme antall hvert år. Etter 10 år skal bestanden ha doblet seg til 1000 dyr, altså økt med 500 dyr.
Den årlige økningen er
Den lineære modellen blir dermed
Vi vet at og . Vi setter opp modellen og bruker betingelsen for dobling:
Den eksponentielle modellen blir
Vi definerer differansefunksjonen
Vi tegner grafen til i GeoGebra, og bruker Extremum for toppunktet og Intersect for skjæringspunktene med og :
Fra figuren leser vi av:
Toppunkt: Toppunkt = (5.29, 43.04), altså .
Skjæring med : SkjaeringVL = (12, -48.7), altså .
Skjæring med : SkjaeringHL1 = (0.84, 12) og SkjaeringHL2 = (9.32, 12), altså og .
Praktisk tolkning:
Toppunktet : Etter ca. 5,3 år er differansen mellom lineær og eksponentiell modell størst. Da anslår den lineære modellen ca. 43 dyr flere enn den eksponentielle. Det er altså omtrent på dette tidspunktet de to modellene avviker mest fra hverandre i den lineære modellens favør.
Skjæring med i : Etter 12 år gir den eksponentielle modellen ca. 49 dyr mer enn den lineære. Den lineære modellen anslår dyr, mens den eksponentielle anslår dyr. Den eksponentielle veksten har altså passert den lineære.
Skjæringene med i og : I intervallet mellom ca. 0,84 og 9,32 år overestimerer den lineære modellen bestanden med mer enn 12 dyr sammenlignet med den eksponentielle. Utenfor dette intervallet er differansen under 12 dyr (eller negativ).
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Hvilken verdi må ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?
Et likningssystem uten løsning betyr at linjene er parallelle — lik stigning, men ulikt konstantledd.
Vi skriver begge likningene på formen ved hjelp av GeoGebra CAS:
Linje 1:
Linje 2:
For at linjene skal være parallelle må stigningene være like:
Vi sjekker at linjene ikke er sammenfallende: konstantleddene er ✓
gir et likningssystem uten løsning.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
I dag er Monica 72 år yngre enn Sissel. Om fem år vil Sissel være fire ganger så gammel som Monica.
Hvor mange år er Monica og Sissel i dag?
Monica er og Sissel er .
La = Monicas alder i dag og = Sissels alder i dag.
Fra oppgaveteksten setter vi opp to likninger:
Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:
CAS gir og .
Monica er og Sissel er i dag.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Gitt firkanten .
Vis at .
Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.
Bestem slik at arealet av firkanten blir lik .
Diagonalen deler firkanten i to trekanter: og .
Fra figuren: , , (vinkelen mellom og ), og .
Vi bruker cosinussetningen i med , og :
Dermed er (siden ).
Se linje 1 i CAS-utklippet under.
Vi finner først alle sidelengder.
Side : Bruker sinussetningen i . Vi kjenner , og . Fra figuren er , så .
Se linje 2 i CAS-utklippet.
Side : Bruker cosinussetningen i med , og :
GeoGebra CAS forenkler dette til , altså:
(Se linje 3 i CAS-utklippet — .)
Omkretsen er summen av alle fire sider:
CAS forenkler dette til (linje 4):
Vi deler firkanten i og og bruker arealsetningen på begge.
Areal av (linje 5 i CAS):
Areal av (linje 6 i CAS):
Totalt areal (linje 7):
Vi setter og løser for (linje 8 i CAS):
CAS gir løsningene eller . Siden og , er den gyldige løsningen:
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen gitt ved og tangenten til grafen i punktet .
Vis at likningen for tangenten er
Tangenten skjærer koordinataksene i punktene og .
Bestem koordinatene til og uttrykt ved .
Bestem arealet av .
Se løsningsforslag.
,
Vi skal vise at tangenten til i punktet har likningen
Vi deriverer :
I punktet er stigningstallet til tangenten
Vi setter opp tangentlikningen med punktet :
Dette er det vi skulle vise. CAS bekrefter (se utklipp):
Punkt A er der tangenten skjærer -aksen, dvs. :
Punkt B er der tangenten skjærer -aksen, dvs. :
Trekant har som hjørne. Grunnlinjen langs -aksen fra til har lengde , og høyden er -koordinaten til , som er .
Arealet er uavhengig av — tangenten skjærer alltid av en trekant med samme areal, uansett hvilken punkt på grafen vi velger. Figuren nedenfor viser tilfellet :
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.
Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.
Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?
Marius har 400 bokser.
Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.
Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?
Maria har 4 000 bokser.
Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?
I figur 1 har etasje (telt fra toppen) bokser: toppen har 1 boks, etasjen under har 2, osv. Med etasjer blir totalt antall bokser
Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:
CAS bekrefter at og gir
Marius trenger for et tårn med 20 etasjer.
Vi løser ulikheten , dvs. .
CAS gir den eksakte løsningen , og vi sjekker:
Det største tårnet Marius kan lage har (bruker 378 bokser).
I figur 2 er hver etasje en fylt trekant. Etasje (telt fra toppen) inneholder trekanttallet bokser: toppen har 1 boks, neste etasje , deretter , osv. Med etasjer blir totalt antall bokser summen av de første trekanttallene:
Dette er tetraedertallene. Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:
CAS gir
Maria trenger for et tårn med 20 etasjer.
Vi løser ulikheten , dvs. .
CAS gir den øvre løsningen , og vi sjekker nabotallene:
Det største tårnet Maria kan lage har (bruker 3654 bokser).
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Klassen til Andreas og Markus arbeider med oppgaven nedenfor.
Et rektangel er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant som på figuren. Hypotenusen i trekanten har lengde . Undersøk hvor stort areal rektangelet kan få.
Andreas og Markus diskuterer hvordan de skal komme i gang og vurderer ulike strategier.
| Lengde rektangel | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Areal rektangel når | |||||||
| Areal rektangel når | |||||||
| Areal rektangel når |
Ta utgangspunkt i og kommenter det Andreas og Markus har funnet ut og løs oppgaven klassen har fått.
Største areal av rektangelet er , oppnådd når rektangelet har bredde og høyde .
Strategi og geometri
Trekanten ABC er likebeint og rettvinklet med rett vinkel i C og hypotenuse . Siden vinklene A og B er , er katetetene . Vi plasserer trekanten med C i origo, slik at A og B (eller med koordinatsystem som i oppgaven).
Andreas og Markus foreslår å bruke datamaskinen til å tegne trekanter og rektangler for . La oss følge denne strategien og deretter generalisere.
Sette opp arealfunksjonen
La være halvbredden av rektangelet (avstanden fra midtpunktet til den ene siden). Da er bredden til rektangelet .
Trine og Nora sier at linja gjennom B og C er gitt ved . Det stemmer: linjen går gjennom og , og har stigningstall .
Høyden til rektangelet er -verdien på denne linja ved halvbredde :
Arealet av rektangelet er lengde bredde:
Definisjonsområdet er (rektangelet må ligge inni trekanten).
Tabellverdier (a = 2, 3, 4)
For er :
| Lengde rektangel () | Halvbredde | Høyde | Areal |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 1 | 2 |
For er :
| Lengde rektangel () | Halvbredde | Høyde | Areal |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 2 | 4 |
| 4 | 2 | 1 | 4 |
For er :
| Lengde rektangel () | Halvbredde | Høyde | Areal |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 6 |
| 4 | 2 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 1 | 6 |
Vi ser et mønster: størst areal er henholdsvis , og , som svarer til , og .
Generelt bevis med derivasjon
Vi deriverer og setter .
CAS gir (se skjermbilde):
Siden , er et toppunkt.
Størst areal oppnås altså når halvbredden er , det vil si rektangelet har bredde og høyde .
Maksimalt areal er:
Konklusjon: Det største arealet rektangelet kan få, er . Dette oppnås når rektangelet har bredde og høyde , altså når halvbredden er nøyaktig halvparten av .