1T Høst 2019

Definisjonsmengde: $4x>0\Rightarrow x>0$.

Vi bruker at $\lg (a)=0\iff a={10}^0=1$:

Dette oppfyller kravet $x>0$.

$\underline{\underline{x={\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

Definisjonsmengde: ${\displaystyle \frac{\sqrt{50}}{x}}>0\Rightarrow x>0$.

Vi bruker at $\lg (a)={\displaystyle \frac{1}{2}}\iff a={10}^{1/2}=\sqrt{10}$:

Vi løser for $x$:

Dette oppfyller kravet $x>0$.

$\underline{\underline{x=\sqrt{5}}}$

Vi bruker potensregelen $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ på venstre side, og skriver $16=2^4$ på høyre side:

Siden grunntallet er det samme på begge sider, må eksponentene være like:

Vi faktoriserer: vi søker to tall som ganget gir $-4$ og summert gir $3$, altså $4$ og $-1$:

$\underline{\underline{x=-4\text{ eller }x=1}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3+4x^2+x-6$ ledd for ledd, med regelen ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{x}^n=n{x}^{n-1}$:

Den momentane vekstfarten i $x=-3$ er verdien av den deriverte i dette punktet, $f^{\prime }(-3)$:

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[-1,2]$ er stigningstallet til sekantlinjen gjennom $(-1,f(-1))$ og $(2,f(2))$:

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Setter vi verdiene inn i formelen for gjennomsnittlig vekstfart:

Vi lar $F$ være hendelsen «velger fiskerett», $K$ være hendelsen «velger kjøttrett» og $D$ være hendelsen «ønsker dessert». Vi vet at $P(F)={\displaystyle \frac{3}{5}}$, og siden alle elevene velger enten fisk eller kjøtt, er $P(K)=1-{\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Videre er $P(D|F)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ og $P(D|K)={\displaystyle \frac{3}{4}}$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ønsket dessert, finner vi ved å summere sannsynlighetene for de to «veiene» gjennom treet som ender i dessert (produktsetningen langs hver gren, deretter addisjonssetningen):

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ønsket dessert, er $\underline{\underline{P(D)={\displaystyle \frac{3}{5}}=60\%}}$.

Trekanten er rettvinklet og likebeint, så de to katetene er like lange. Kaller vi kateten $a$, gir Pytagoras’ setning

Begge katetene er dermed $\underline{\underline{4}}$.

Vinkelen $v$ ligger nederst til høyre i trekanten. Kateten som ligger rett overfor $v$ (den loddrette kateten) er $4$, og kateten som ligger inntil $v$ (den vannrette kateten) er også $4$. Dermed er

Den motstående kateten til $v$ er $4$, og hypotenusen er $4\sqrt{2}$. Da er

Vi utvider brøken med $\sqrt{2}$ for å få bort roten i nevneren:

Dette er akkurat det vi skulle vise: $\underline{\underline{\sin v=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$.

Når vi løser en likning på formen $\sin x=k$, gir det generelt to løsninger mellom $0°$ og $180°$: én spiss vinkel og én stump vinkel som er supplementvinkler til hverandre (de summerer til $180°$). Siden den ene løsningen er $x=\mathrm{53,5}°$, er den andre løsningen

I likningen ${\displaystyle \frac{\sin x}{10}}={\displaystyle \frac{\sin 40°}{8}}$ står $x$ overfor siden med lengde $10$, og $40°$ står overfor siden med lengde $8$.

Med $x=\mathrm{53,5}°$ (spiss vinkel) blir tredje vinkel i trekanten $180°-40°-\mathrm{53,5}°=\mathrm{86,5}°$, og trekanten blir “vanlig” og spiss.

Med $x=\mathrm{126,5}°$ (stump vinkel) blir tredje vinkel $180°-40°-\mathrm{126,5}°=\mathrm{13,5}°$, og trekanten blir flat og bred, siden en av vinklene er stump.

Vi taster funksjonsuttrykket

inn i graftegner, med definisjonsmengden $x\in [23,42]$.

Grafen viser at symfyse–fundus-målet øker gjennom hele svangerskapet, med avtakende stigning mot slutten.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $G^{\prime }(x)$. Vi deriverer $G$ ledd for ledd med potensregelen:

Setter inn $x=29$:

$\underline{\underline{G^{\prime }(29)\approx \mathrm{0,91}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{e}}}$

Praktisk tolkning: I uke 29 av svangerskapet øker symfyse–fundus-målet med omtrent $\mathrm{0,91}\mathrm{cm}$ per uke.

Gjennomsnittlig vekst per uke fra uke 23 til uke 40 er gjennomsnittlig vekstfart, altså stigningstallet til sekanten gjennom $(23,G(23))$ og $(40,G(40))$:

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Dermed blir gjennomsnittlig vekstfart

$\underline{\underline{\text{Symfyse–fundus-målet øker i gjennomsnitt med}\approx \mathrm{0,81}\mathrm{cm}\text{ per uke fra uke 23 til uke 40.}}}$

Vi vet at klassen har $30$ elever, at $12$ har tysk, at $14$ har $1T$, og at $10$ elever har verken tysk eller $1T$.

Elevene som har tysk eller $1T$ (eller begge deler), er da

Kaller vi antall elever som har både tysk og $1T$ for $x$, kan vi telle opp alle elevene som har minst ett av fagene:

Da har $6$ elever begge fagene, $12-6=6$ har bare tysk, og $14-6=8$ har bare $1T$. Vi setter opp en krysstabell:

Vi kontrollerer: $6+6+8+10=30$, som stemmer med antall elever i klassen.

Av tabellen ser vi at $6$ av $30$ elever har tysk, men ikke $1T$. Sannsynligheten blir da

$\underline{\underline{P(\text{tysk, ikke 1T})=\mathrm{0,2}=20\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at eleven har tysk, gitt at eleven ikke har $1T$. Da ser vi bare på kolonnen «Ikke 1T» i tabellen, som har $16$ elever totalt. Av disse har $6$ elever tysk.

$\underline{\underline{P(\text{tysk}|\text{ikke 1T})=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\%}}$

Trekant $ACD$ er rettvinklet i $D$, med kateter $AD=a$ og $CD$, og hypotenus $AC=2a$. Ved Pytagoras’ setning:

$\underline{\underline{CD=a\sqrt{3}}}$

Vi trenger først vinkelen $\angle ACD$ i den rettvinklede trekanten $ACD$. Siden $\sin (\angle ACD)={\displaystyle \frac{AD}{AC}}={\displaystyle \frac{a}{2a}}=\mathrm{0,5}$, er

Diagonalen $CA$ deler den store vinkelen $\angle BCD=165°$ i vinkelen $\angle ACD=30°$ og vinkelen $\angle ACB$. Da er

I trekant $ACB$ kjenner vi nå to sider og vinkelen mellom dem: $AC=2a$, $CB=a\sqrt{3}$ og $\angle ACB=135°$. Vi bruker cosinussetningen til å finne $AB$:

Siden $\cos (135°)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, får vi

Uttrykket under rottegnet kan skrives som et fullstendig kvadrat: $7+2\sqrt{6}=1+2\sqrt{6}+6={(1+\sqrt{6})}^2$. Dermed forenkles svaret til

$\underline{\underline{AB=a(1+\sqrt{6})\approx \mathrm{3,45}a}}$

Vi faktoriserer $f(x)$ ved å sette $x$ utenfor parentes:

Et produkt er null når minst én faktor er null, så

$\underline{\underline{x=0\text{ eller }x=k}}$

Vi deriverer $f(x)=x^3-2k{x}^2+k^{2}x$ ledd for ledd (husk at $k$ er en konstant):

$\underline{\underline{f^{\prime }(x)=3x^2-4kx+k^2}}$

Fra a) vet vi at grafen til $f$ har to nullpunkter: $x=0$ (enkel rot, grafen krysser $x$-aksen) og $x=k$ (dobbel rot, grafen tangerer $x$-aksen der). Siden $k>0$, ligger begge nullpunktene i eller til høyre for origo, med $x=k$ lengst til høyre.

Leddet med høyest grad, $x^3$, har positiv koeffisient, så grafen skal gå mot $-\infty$ når $x\to -\infty$ og mot $+\infty$ når $x\to +\infty$.

Vi finner topp- og bunnpunkt ved å løse $f^{\prime }(x)=0$ (nullpunktene til andregradsuttrykket fra b)):

Siden $0<\frac{k}{3}<k$, ligger toppunktet ($x=\frac{k}{3}$) mellom de to nullpunktene, og bunnpunktet er nettopp det doble nullpunktet $x=k$ (grafen tangerer $x$-aksen der, altså $f(k)=0$, i tråd med at et bunnpunkt på $x$-aksen svarer til en dobbeltrot).

Dette gir følgende forløp: grafen kommer fra $-\infty$, krysser $x$-aksen i $x=0$, stiger til et toppunkt (med positiv $y$-verdi) i $x=\frac{k}{3}>0$, synker til et bunnpunkt som tangerer $x$-aksen i $x=k$, og stiger deretter mot $+\infty$.

Av de tre grafene er det bare graf C som har denne formen: krysser aksen i origo, topp- og bunnpunkt begge til høyre for $y$-aksen, og bunnpunktet ligger akkurat på $x$-aksen. (Graf A går mot $-\infty$ for store $x$, og graf B mangler separate topp- og bunnpunkter.)

$\underline{\underline{\text{Graf C er grafen til }f}}$

Fra c) er toppunktet $(\frac{k}{3},f\left(\frac{k}{3}\right))$ og bunnpunktet $(k,f(k))=(k,0)$ (siden $x=k$ er nullpunkt).