1P Vår 2022

Oppgave 1-1Renteøkning fra 2,0 til 2,2 prosent

Renten på et lån steg fra $2,0 %$ til $2,2 %$ .

Hvor mange prosentpoeng steg renten med?

Hvor mange prosent steg renten med?

Fasit

$0,2 prosentpoeng$

$10 %$

Løsningsforslag

Prosentpoeng er den vanlige differansen mellom to prosentsatser. Vi finner den ved å trekke den gamle renten fra den nye renten:

2,2 % - 2,0 % = 0,2 prosentpoeng

Renten steg altså med $0,2 prosentpoeng$ .

Når vi skal finne den prosentvise økningen, må vi sammenligne økningen med den opprinnelige renten (den vi startet med), altså $2,0 %$ . Økningen i renten var $0,2$ prosentpoeng, som vi fant i a).

Den prosentvise økningen finner vi ved å dele økningen på den opprinnelige verdien, og gange med $100 %$ :

\frac{0,2}{2,0} \cdot 100 % = 10 %

Renten steg altså med $10 %$ .

Legg merke til forskjellen: en økning på $0,2$ prosentpoeng tilsvarer en økning på $10 %$ , fordi prosentvis endring alltid regnes ut fra den opprinnelige verdien (her $2,0 %$ ), ikke fra et fast tall.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Prosentpoeng
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Prosentvis økning i elevtall fra søylediagram

Elever ved skolen 2018–2021

Diagrammet viser antall elever ved en videregående skole de fire siste årene.

Når var det størst prosentvis økning i antall elever fra et år til det neste?

Fasit

$Fra 2018 til 2019$

Løsningsforslag

Vi leser av antall elever for hvert år fra søylediagrammet:

2018: $700$ elever
2019: $800$ elever
2020: $900$ elever
2021: $1000$ elever

Elevtallet øker med $100$ elever hvert år. Prosentvis økning er økningen delt på elevtallet året før:

\frac{100}{700} = \frac{1}{7} \frac{100}{800} = \frac{1}{8} \frac{100}{900} = \frac{1}{9}

Økningen er like stor hvert år, men elevtallet vi sammenligner med, blir større og større. Da utgjør de $100$ elevene en stadig mindre del av elevtallet. Brøken $\frac{1}{7}$ er størst, fordi vi deler med det minste tallet.

Den prosentvise økningen er derfor størst $fra 2018 til 2019$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentvis vekst, Prosentregning, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Eksempel og graf for proporsjonale størrelser

Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale.

Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom de to størrelsene.

Fasit

$y = 30 x$ (pris og antall kg epler)

Rett linje gjennom origo, se graf i løsningsforslaget.

Løsningsforslag

Pris og antall kilo epler er proporsjonale. Koster 1 kg $30 kr$ , er prisen $y$ (i kr) for $x$ kg

y = 30 x

Antall kg ( $x$ )	0	1	2	3	4
Pris ( $y$ ) i kr	0	30	60	90	120

Vi tegner punktene fra tabellen med antall kg ( $x$ ) på førsteaksen og pris ( $y$ ) på andreaksen. Grafen er en rett linje gjennom origo.

Graf som viser proporsjonalitet

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Oppgave a) og b) må ses under ett.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Proporsjonalitet, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Volum av eske med tredjegradsmodell

Siri har et stykke papp og vil lage en eske. Hun har satt opp en modell som viser volumet $V (x) {c m}^{3}$ av esken dersom hun lager den $x c m$ høy:

V (x) = 4 x^{3} - 100 x^{2} + 600 x, 0 < x < 10

Hvor stort volum får esken dersom Siri lager den $5 c m$ høy?

Hva finner Siri ut dersom hun løser likningen $V (x) = 500$ ?

Fasit

$V (5) = 1000 {cm}^{3}$

Siri finner ut hvilken/hvilke høyde(r) $x$ som gir esken et volum på $500 {cm}^{3}$ .

Løsningsforslag

Vi setter $x = 5$ inn i uttrykket for $V (x)$ :

\begin{matrix} V (5) & = 4 \cdot 5^{3} - 100 \cdot 5^{2} + 600 \cdot 5 \\ = 4 \cdot 125 - 100 \cdot 25 + 600 \cdot 5 \\ = 500 - 2500 + 3000 \\ = 1000 \end{matrix}

Esken får altså et volum på $1000 {cm}^{3}$ når høyden er $5 cm$ .

Å løse likningen $V (x) = 500$ betyr å finne den eller de høydene $x$ som gjør at volumet blir nøyaktig $500 {cm}^{3}$ .

Siri finner altså ut hvor høy esken må være for at volumet skal bli $500 {cm}^{3}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Modellering, Likninger, Volum
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Python-program for fordobling av startverdi

startverdi = 2000
verdi = startverdi
vekstfaktor = 1.05
år = 0

while verdi < startverdi * 2:
    verdi = verdi * vekstfaktor
    år = år + 1

print(verdi)
print(år)

En elev har skrevet programkoden ovenfor.

Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

Fasit

Eleven vil finne ut hvor mange år det tar før $2000$ kroner har blitt fordoblet med en årlig vekstfaktor på $1,05$ ( $5 %$ vekst). Programmet gir svaret $15 år$ .

Løsningsforslag

Programmet starter med en startverdi på $2000$ og lar verdi starte på samme tall. Vekstfaktoren er $1,05$ , som tilsvarer en årlig vekst på $5 %$ . Variabelen år starter på $0$ og skal telle antall år.

I while-løkka skjer følgende hver gang løkka kjører, så lenge verdi er mindre enn dobbelt startverdi (altså mindre enn $4000$ ):

verdi blir ganget med vekstfaktoren $1,05$ , altså vokser med $5 %$ .
år øker med $1$ .

Løkka fortsetter helt til verdi har blitt minst $4000$ , altså minst dobbelt så stor som startverdien på $2000$ . Dette betyr at programmet regner ut hvor mange år det tar før beløpet er fordoblet ved en årlig vekst på $5 %$ .

Eleven ønsker altså å finne ut hvor mange år det tar før $2000$ kroner er blitt fordoblet med en årlig vekst på 5 %.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som bare viser forståelse for enkeltlinjer i koden, får 1 poeng.

En kandidat som viser forståelse for koden og while-løkken, får 2 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten

vise forståelse for koden
få klart fram hva eleven vil finne ut
kommentere at programmet skriver ut hvor mange år det tar før startverdien er doblet, og at verdien som skrives ut vil være større enn 4000

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Programmering, Eksponentiell vekst, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Bredden i et rektangel tre ganger så langt som bredt

Et rektangel

Et rektangel er tre ganger så langt som det er bredt.
Arealet av rektangelet er $432 {cm}^{2}$ .

Hvor bredt er rektangelet?

Fasit

$b = 12 cm$

Løsningsforslag

Vi lar $b$ være bredden av rektangelet, målt i centimeter. Siden rektangelet er tre ganger så langt som det er bredt, er lengden $3 b$ .

Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, så vi får likningen

3 b \cdot b = 432

3 b^{2} = 432

Vi deler begge sider med $3$ :

b^{2} = \frac{432}{3} = 144

Vi må da finne det tallet som ganget med seg selv gir $144$ . Siden $12 \cdot 12 = 144$ , er

b = 12

Bredden av rektangelet er $12 cm$ .

Kontroll: Lengden blir da $3 \cdot 12 = 36 cm$ , og arealet blir $12 \cdot 36 = 432 {cm}^{2}$ , som stemmer med opplysningen i oppgaven.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som løser oppgaven riktig algebraisk, eller kommer fram til riktig svar ved å prøve med ulike verdier og lage en systematisk oversikt, får 3 poeng.

Kandidater som innfører fornuftige variable størrelser og gjør noen beregninger, eller prøver med ulike verdier på en mindre systematisk måte, får 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Likninger
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen $V$ gitt ved

V (x) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{x}{40})}^{2}, 0 \leq x \leq 40

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V (x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.

For hånd

Bestem $V (0)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

For hånd

Bestem verdimengden til $V$ .

Krever PC

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, V (0))$ og $(30, V (30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Krever PC

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

$V (0) = 0 L$ . Tolkning: ingen vann er tappet ut ved starten.

$⟨ 0, 2000 ⟩$

$x \approx 11,72 m i n$ (ca. 11 min 43 s)

Stigningstallet er $𝟔𝟐,𝟓$ . Tolkning: gjennomsnittlig ble det tappet ut 62,5 liter per minutt de første 30 minuttene.

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Høyest hastighet er i første minutt: $V (1) - V (0) = 98,75 L$ .

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til alle utregningene. Se skjermbildet under for linjene 1–7.

Vanntank som tappes ut – CAS-beregninger

Vi definerer funksjonen og beregner $V (0)$ (linje 1–2 i CAS):

V (x) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{x}{40})}^{2}

V (0) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{0}{40})}^{2} = 2000 - 2000 \cdot 1 = 𝟎

$V (0) = 0$ , det vil si at ved starten av tappingen ( $x = 0$ ) er det tappet ut 0 liter – tanken er ennå full.

Funksjonen $V (x) = 2000 - 2000 {(1 - \frac{x}{40})}^{2}$ er definert på $⟨ 0, 40 ⟩$ .

Fra CAS (linje 2–3): $V (0) = 0$ og $V (40) = 𝟐𝟎𝟎𝟎$ .

Siden $V$ er en andregradsfunksjon med positiv ledende koeffisient ( $- 2000 \cdot {(- 1 / 40)}^{2} \cdot x^{2} \Rightarrow$ koeffisient $= - 2000 / 1600 = - 1,25 < 0$ ) og har maksimum ved $x = 40$ , er $V$ voksende på $⟨ 0, 40 ⟩$ .

Verdimengden er $⟨ 𝟎, 𝟐𝟎𝟎𝟎 ⟩$ liter.

Vi løser $V (x) = 1000$ (halvparten av 2000 liter). Se linje 4 i CAS:

2000 - 2000 {(1 - \frac{x}{40})}^{2} = 1000

CAS gir $x \approx 11,72$ (og $x \approx 68,28$ , men den er utenfor definisjonsmengden $[0, 40]$ ).

Det tar omtrent $11,72 m i n$ (ca. 11 min 43 s) før halvparten av vannet er tappet ut.

Vi beregner stigningstallet til den rette linjen gjennom $(0, V (0))$ og $(30, V (30))$ .

Fra CAS (linje 5–6): $V (30) = 1875$ og

\frac{V (30) - V (0)}{30 - 0} = \frac{1875 - 0}{30} = 𝟔𝟐,𝟓

Stigningstallet er $62,5$ .

Tolkning: de første 30 minuttene ble det i gjennomsnitt tappet ut 62,5 liter per minutt.

Vi undersøker om det noen gang tappes ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Tappehastigheten er størst i starten (funksjonen er konkav – vekstraten avtar). Vi sjekker derfor det første minuttet (linje 7 i CAS):

V (1) - V (0) = 98,75 - 0 = 98,75 L

Siden $V$ er konkav på $[0, 40]$ , avtar mengden som tappes ut per minutt hele veien. Det første minuttet gir størst uttak, og dette er $98,75 L < 105 L$ .

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 10 poeng

1 poeng for å bestemme $V (0)$ . 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som kommer i gang, tegner grafen eller gjør noen riktige beregninger uten å komme fram til riktig svar, får 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

1 poeng for riktig stigningstall. 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner eller konkluderer feil, får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser

Markus skal leie en bil i et døgn. Grafene nedenfor viser prisen han må betale hos firma A, firma B og firma C.

Grafer som viser pris hos firma A, B og C som funksjon av antall kilometer

Kalkulator

Forklar at prisen Markus må betale hos firma A, kan beskrives med uttrykket $A (x) = 4 x + 600$ .

Kalkulator

Hva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus kjører $50 km$ ?
Hva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus kjører $400 km$ ?

Markus skal kjøre fra Bodø til Sulitjelma og tilbake til Bodø igjen. På internett finner han ut at avstanden fra Bodø til Sulitjelma er $9,7 mil$ .

Kalkulator

Gjør beregninger, og vurder hvilket firma han bør leie bil hos.

Fasit

Se løsningsforslag – linja starter i $600$ kr og stiger med $4$ kr per km.

$50$ km: $20 k r / k m$ , $400$ km: $4,25 k r / k m$

$Firma C, 1282 kr$

Løsningsforslag

Grafen viser at linja til firma A skjærer den vertikale aksen (prisaksen) i $600$ kr når $x = 0$ km. Dette betyr at Markus må betale $600$ kr uansett, selv om han ikke kjører noe – dette er startprisen for døgnet.

Videre ser vi av grafen at linja stiger $400$ kr for hver $100$ km han kjører (for eksempel fra $600$ kr ved $0$ km til $1000$ kr ved $100$ km). Stigningstallet blir dermed

\frac{400}{100} = 4 k r / k m

Dette stemmer med at prisen øker med $4$ kr for hver kilometer Markus kjører.

Siden startprisen er $600$ kr og prisen øker med $4$ kr per kilometer $x$ , kan den totale prisen skrives som

A (x) = 4 x + 600

der $600$ er konstantleddet (startprisen) og $4$ er stigningstallet (prisen per kilometer).

Uttrykket for firma B er $B (x) = 2 x + 900$ .

Ved $50$ km:

B (50) = 2 \cdot 50 + 900 = 100 + 900 = 1000 kr

Prisen per kilometer blir da

\frac{1000}{50} = 20 k r / k m

Ved $400$ km:

B (400) = 2 \cdot 400 + 900 = 800 + 900 = 1700 kr

Prisen per kilometer blir da

\frac{1700}{400} = 4,25 k r / k m

Vi ser at prisen per kilometer blir mye lavere når Markus kjører langt. Det er fordi startprisen på $900$ kr da fordeles på flere kilometer, slik at hver kilometer i snitt koster mindre.

Avstanden fra Bodø til Sulitjelma er $9,7$ mil, som tilsvarer $97$ km. Siden Markus skal kjøre både til og fra Sulitjelma, blir total kjørelengde

2 \cdot 97 = 194 km

Vi setter $x = 194$ inn i prisuttrykkene for de tre firmaene:

A (194) = 4 \cdot 194 + 600 = 776 + 600 = 1376 kr

B (194) = 2 \cdot 194 + 900 = 388 + 900 = 1288 kr

C (194) = 3 \cdot 194 + 700 = 582 + 700 = 1282 kr

Prisene til firma A, B og C som funksjon av antall kilometer, med den vertikale linja x = 194 km som markerer turen til Sulitjelma og tilbake

Vi ser at $C (194) = 1282$ kr er lavest av de tre prisene. Markus bør derfor leie bil hos $firma C$ , og han betaler da $1282 kr$ . Forskjellen til firma B er likevel liten – bare $6$ kr – så begge firmaene er nesten like gunstige for akkurat denne turen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

1 poeng for riktig svar ved 50 km
1 poeng for riktig svar ved 400 km

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner eller konkluderer feil, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Sammenligne fire dusjsåpetilbud

Kalkulator

En flaske dusjsåpe koster det samme i fire butikker.

De fire butikkene bestemmer seg for å sette ned prisen. Dette gjør de på hver sin måte. Se nedenfor.

Fire tilbud på dusjsåpe

Gjør beregninger, og sett opp en oversikt hvor du sorterer tilbudene etter hvor gode de er.

Fasit

Det billigste tilbudet avhenger av hvor mange flasker man kjøper. Se oversikten i løsningsforslaget.

Løsningsforslag

Vi sier at en flaske dusjsåpe koster $100$ kr før tilbudene, og regner ut hva det koster å kjøpe ulikt antall flasker i hver butikk.

A: Tre flasker koster $200$ kr.
B: Hver flaske koster $70$ kr.
C: To flasker koster $100 + 25 = 125$ kr.
D: Fem flasker koster $300$ kr.

Flaskene som ikke er med i et tilbud, betaler vi full pris ( $100$ kr) for.

Antall flasker	A (kr)	B (kr)	C (kr)	D (kr)	Billigst
1	100	70	100	100	B
2	200	140	125	200	C
3	200	210	225	300	A
4	300	280	250	400	C
5	400	350	350	300	D
6	400	420	375	400	C
7	500	490	475	500	C
8	600	560	500	600	C
9	600	630	600	700	A og C
10	700	700	625	600	D

Ingen av tilbudene er best for alle antall. B er billigst for 1 flaske, A for 3 flasker og D for 5 og 10 flasker. For de fleste andre antall er C billigst.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For hvert av de fire tilbudene gis 1 poeng for riktige beregninger/konklusjon.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om situasjonar frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Massetetthet for olje ved 22 grader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en temperatur på $22 ° C$ veier $1 L$ olje $0,9124 kg$ .

Kalkulator

Hvor mange gram veier $10 mL$ av oljen ved denne temperaturen?

Oljen i et beger veier $556,6 g$ ved en temperatur på $22 ° C$ .

Kalkulator

Hvor mange desiliter olje er det i begeret?

Fasit

$9,124 g$

$6,1 dL$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $1 L$ olje veier $0,9124 kg$ . Vi gjør om til gram:

0,9124 kg = 912,4 g

$10 mL$ er en del av $1 L = 1000 mL$ :

\frac{10}{1000} = \frac{1}{100}

Da veier $10 mL$ olje

\frac{912,4 g}{100} = 9,124 g

$10 mL$ av oljen veier altså $9,124 g$ .

Vi vet at $912,4 g$ olje tilsvarer $1 L$ . For å finne volumet av $556,6 g$ olje deler vi massen på massen til én liter:

\frac{556,6 g}{912,4 g} = 0,6100 L

Vi gjør om til desiliter ( $1 L = 10 dL$ ):

0,6100 L = 6,1 dL

Det er altså $6,1 dL$ olje i begeret.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner feil/gjør feil ved omgjøring av enheter, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Måleenheter, Sammensatte måleenheter
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Bakteriefordobling etter 12 timer

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bakterie formerer seg ved todeling hvert 20. minutt.

Det vil si at om det i starten er én bakterie, vil det etter 20 minutter være 2 bakterier, etter 40 minutter fire bakterier osv.

Hvor mange bakterier vil det være etter 12 timer?

Fasit

$68 719 476 736 bakterier$ (ca. $69$ milliarder)

LøsningsforslagKI-generert

Antall bakterier dobles hvert 20. minutt. Vi ser først på mønsteret:

Tid	Antall bakterier
$0$ min	$1 = 2^{0}$
$20$ min	$2 = 2^{1}$
$40$ min	$4 = 2^{2}$
$60$ min	$8 = 2^{3}$
$⋮$	$⋮$
$20 n$ min	$2^{n}$

Etter $20 n$ minutter er det altså $2^{n}$ bakterier, der $n$ er antall fordoblinger som har skjedd.

Vi regner ut hvor mange fordoblinger som skjer i løpet av $12$ timer. Vi gjør først om til minutter:

12 timer = 12 \cdot 60 min = 720 min

Antall fordoblinger blir da

\frac{720}{20} = 36

Antall bakterier etter 12 timer er dermed

2^{36} = 68 719 476 736

Det vil altså være $68 719 476 736 bakterier$ etter 12 timer, det vil si omtrent $69$ milliarder bakterier.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentiell vekst, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Klossmønster i tre figurer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

For hånd

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Kalkulator

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppsett for hånd

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

$55 klosser$

$1210 klosser$

Roar kan lage $17 figurer$ og har $1279 klosser$ igjen.

LøsningsforslagKI-generert

Hver figur er en pyramide der lagene ovenfra og ned er $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ , … Figur $n$ består altså av lagene $1^{2}, 2^{2}, \dots, n^{2}$ klosser:

Figurnummer $n$	1	2	3
Antall klosser	$1$	$1 + 4 = 5$	$1 + 4 + 9 = 14$

Antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene:

f (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Figur 5 har

f (5) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 𝟓𝟓 klosser

Vi trenger summen av antall klosser i de 10 første figurene. La $g (n)$ være denne summen:

g (n) = \sum_{m = 1}^{n} f (m) = \sum_{m = 1}^{n} \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}

Vi bruker GeoGebra CAS til å sette opp $f (n)$ og $g (n)$ og regne ut:

GeoGebra CAS – klossmønster: figur 5, sum av 10 første, og kumulativ sum

CAS gir $g (10) = 𝟏𝟐𝟏𝟎 klosser$ (se linje 4 i utklippet).

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Her trengs ikke CAS. Vi regner ut $f (m) = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}$ for hver av de ti figurene på kalkulatoren og legger sammen:

Figur $m$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$f (m)$	1	5	14	30	55	91	140	204	285	385

g (10) = 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + 91 + 140 + 204 + 285 + 385 = 1210

Legg merke til at hver ny figur bare legger til ett kvadrattall mer enn den forrige, så tabellen kan fylles ut raskt: $f (m + 1) = f (m) + {(m + 1)}^{2}$ .

Roar lager én figur i hver størrelse, fra den minste og oppover. Han kan lage figurene så lenge den totale klossmengden $g (n)$ ikke overstiger $10 000$ . Fra CAS-utklippet (linje 5 og 6):

g (17) = 8 721 \leq 10 000 g (18) = 10 830 > 10 000

Roar kan altså lage $17 figurer$ . Antall klosser igjen er

10 000 - 8 721 = 𝟏𝟐𝟕𝟗 klosser

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2,0 ° C$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 ° C$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$2,0$	$3,7$	$5,3$	$8,0$	$10,2$	$13,4$	$16,4$	$18,4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_{1}$ på formen $T_{1} (x) = a \cdot x^{b}$ .

Krever PC

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Krever PC

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_{1}$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_{1}$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 ° C$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$- 18,0$	$- 16,3$	$- 14,7$	$- 12,0$	$- 9,8$	$- 6,6$	$- 3,6$	$- 1,6$

Tabell 2

Krever PC

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Krever PC

Tegn grafen til $T_{1}$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_{1}$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20 ° C$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Krever PC

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_{2}$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_{2}$ ?

Fasit

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

Modellen gjelder bare i et begrenset tidsintervall (omtrent de to første timene). For store $x$ vokser $T_{1}$ ubegrenset og overstiger snart $20 ° C$ .

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Se graf. $T_{1}$ er positiv og vokser uten grense. $f$ er negativ og nærmer seg $0$ nedenfra (asymptote $y = 0$ ).

$T_{2} (x) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ . Etter 4 timer: $T_{2} (240) \approx 19,86 ° C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra CAS med tallene fra tabell 1.

T 1Data : = {(1; 2,0), (5; 3,7), (10; 5,3), (20; 8,0), (30; 10,2), (50; 13,4), (80; 16,4), (120; 18,4)}

𝚁𝚎𝚐𝙿𝚘𝚝(𝚃𝟷𝙳𝚊𝚝𝚊)

CAS-regresjon

GeoGebra gir $a \approx 1,85$ og $b \approx 0,49$ , det vil si:

T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

$T_{1}$ er en potensfunksjon som vokser ubegrenset når $x$ øker. I virkeligheten kan temperaturen ikke overstige termostatens innstilte temperatur på $20 ° C$ . Vi ser allerede at $T_{1} (150) \approx 21,5 ° C$ , som er urealistisk.

Modellen er kun gyldig i et begrenset tidsrom — omtrent for de første to timene ( $x ≲ 120 m i n$ ) der datapunktene i tabell 1 ligger. For store verdier av $x$ gir modellen temperaturer som overstiger $20 ° C$ , noe som ikke er fysisk mulig.

Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra CAS med den korrigerte temperaturen fra tabell 2.

La $g (x) = 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ (regresjon på de positive verdiene av $|$ korrigert temperatur $|$ ). Da er eksponentialfunksjonen som passer til tabell 2:

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

GeoGebra gir koeffisientene $a \approx - 18,16$ og $b \approx 0,980$ (se CAS-skjermbidet fra oppgave a):

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Vi tegner grafene til $T_{1}$ og $f$ i samme koordinatsystem i GeoGebra.

Grafer for T1 og f

Forskjeller mellom de to grafene:

$T_{1}$ (grønn) er positiv for alle $x > 0$ og vokser ubegrenset — den har ingen horisontal asymptote.
$f$ (blå) er negativ for alle $x > 0$ og nærmer seg $0$ nedenfra etter hvert som $x$ øker — den har horisontal asymptote $y = 0$ .
$T_{1}$ øker raskest i begynnelsen (typisk potensatferd), mens $f$ flater ut mot asymptoten gradvis (typisk eksponentiell nedgang).

Malene foreslår å «løfte grafen til $f$ opp $20 ° C$ ». Det betyr at vi legger til $20$ til $f (x)$ :

T_{2} (x) = f (x) + 20 = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

Etter 4 timer er $x = 4 \cdot 60 = 240 m i n$ . Vi regner ut:

T_{2} (240) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{240}

Fra GeoGebra CAS (se skjermbildet fra oppgave a):

T_{2} (240) \approx 19,86 ° C

Ifølge modellen $T_{2}$ vil temperaturen i stua være omtrent $19,86 ° C$ etter 4 timer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som bruker en potensfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktige svar, får 1 poeng.

En kandidat som tegner grafene, men ikke beskriver forskjeller på en god måte, får 1 poeng.

1 poeng for å komme fram til modellen $T_{2} (x) = - 18 \cdot {0,98}^{x} + 20$ . 1 poeng for å kunne bruke modellen til i å bestemme temperaturen i stua etter fire timer. En kandidat som kommer fram til feil modell, men velger riktig strategi for å bestemme temperaturen etter fire timer, får full uttelling dersom svaret som framkommer er rimelig.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Lysgardin med tråder i økende lengde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser et lysgardin med små lyspærer.

Lyspærene henger på tråder. Den første tråden i en lenke har tre lyspærer, den neste har seks og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentas videre.

Avstanden mellom hver tråd er $10 cm$ . Figuren viser altså et gardin med lengde $80 cm$ .

Lysgardin med lyspærer på tråder av økende lengde, totalt 80 cm bredt

Et annet lysgardin av samme type er én meter langt.

Kalkulator

Hvor mange tråder har dette lysgardinet?

Kalkulator

Hvor mange lyspærer er det på den siste tråden?

Tabellen viser antall lyspærer på lysgardiner med ulike lengder.

Meter	Antall lyspærer
1	63
2	126
3	183
4	243
5	306
6	363

Kalkulator

Hvor mange lyspærer er det på et $15 meter$ langt lysgardin?

Kalkulator

Hvilke lengder, i hele meter, kan et lysgardin ha om det skal være ni lyspærer på den siste tråden?

Fasit

$11 tråder$

$6 lyspærer$

$903 lyspærer$

$L = 2, 5, 8, 11, \dots meter$

LøsningsforslagKI-generert

Trådene har lyspærer etter mønsteret $3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9, \dots$ — mønsteret med $3$ , $6$ og $9$ lyspærer gjentar seg om og om igjen.

Avstanden mellom trådene er $10 cm$ , og det henger en tråd i hver ende av gardinet. Et gardin som er $L$ meter langt, altså $100 L cm$ , er dermed delt inn i $\frac{100 L}{10} = 10 L$ like store mellomrom, og siden det er tråd i begge ender blir antall tråder én mer enn antall mellomrom:

antall tråder = 10 L + 1

Vi kontrollerer modellen mot figuren: et gardin på $80 cm = 0,8 m$ skal da ha $10 \cdot 0,8 + 1 = 9$ tråder. Det er $3$ hele runder av mønsteret $(3 + 6 + 9)$ , altså $3 \cdot 18 = 54$ lyspærer, som stemmer med figuren.

Gardinet er $1$ meter langt, altså $L = 1$ . Antall tråder blir da

10 \cdot 1 + 1 = 11

Lysgardinet har altså $11 tråder$ .

Vi skal finne hvor mange lyspærer det er på tråd nummer $11$ , altså den siste tråden fra a). Mønsteret gjentar seg for hver $3$ . tråd, så vi ser hvor tråd $11$ havner i mønsteret:

11 = 3 \cdot 3 + 2

Det betyr at tråd $11$ er den $2$ . tråden i den $4$ . runden av mønsteret, altså samme plass i mønsteret som tråd nummer $2$ (som har $6$ lyspærer).

Vi kan kontrollere dette ved å telle opp alle lyspærene på gardinet: de $3$ første hele rundene (tråd $1$ – $9$ ) gir $3 \cdot 18 = 54$ lyspærer, tråd $10$ har $3$ lyspærer, og tråd $11$ har $6$ lyspærer:

54 + 3 + 6 = 63

Dette stemmer med verdien for $1$ meter i tabellen. Den siste tråden har altså $6 lyspærer$ .

Gardinet er $15$ meter langt. Antall tråder blir

10 \cdot 15 + 1 = 151

Vi finner hvor mange hele runder av mønsteret $(3, 6, 9)$ dette utgjør:

151 = 50 \cdot 3 + 1

Det er altså $50$ hele runder, som til sammen gir $50 \cdot 18 = 900$ lyspærer, pluss én ekstra tråd (den $151$ .) som er den første i en ny runde og dermed har $3$ lyspærer:

50 \cdot 18 + 3 = 903

Et $15$ meter langt lysgardin har altså $903 lyspærer$ .

Den siste tråden har $9$ lyspærer nettopp når trådnummeret er delelig med $3$ , siden det er den siste trådtypen i hver runde av mønsteret. Vi må derfor finne hvilke lengder $L$ (i hele meter) som gjør at

10 L + 1

er delelig med $3$ . Vi prøver oss fram med hele meter:

$L$	$10 L + 1$	Delelig med 3?
$1$	$11$	Nei
$2$	$21$	Ja
$3$	$31$	Nei
$4$	$41$	Nei
$5$	$51$	Ja
$6$	$61$	Nei

Vi ser at dette skjer for $L = 2, 5, 8, 11, \dots$ , altså hver tredje meter fra og med $2$ meter.

Vi kontrollerer mot tabellen: for $L = 2$ meter er antall tråder $21$ , som er delelig med $3$ , og for $L = 5$ meter er antall tråder $51$ , som også er delelig med $3$ . Begge stemmer.

Lysgardinet har altså $9$ lyspærer på siste tråd for $L = 2, 5, 8, 11, \dots meter$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Riktige svar uten begrunnelser gir 1 poeng.

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.
En kandidat som velger en riktig strategi, finner et mønster eller argumenterer for løsningen, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 eller 2 poeng.

En kandidat som har funnet minst tre mulige lengder, men ikke beskriver mønsteret, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Mønstre, Tallfølger, Modellering
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar og bruke dei til utforsking og generalisering
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 16 poeng

Oppgave 1-1Renteøkning fra 2,0 til 2,2 prosent

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Prosentvis økning i elevtall fra søylediagram

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Eksempel og graf for proporsjonale størrelser

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Volum av eske med tredjegradsmodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Python-program for fordobling av startverdi

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Bredden i et rektangel tre ganger så langt som bredt

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 45 poeng

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Sammenligne fire dusjsåpetilbud

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Massetetthet for olje ved 22 grader

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Bakteriefordobling etter 12 timer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Klossmønster i tre figurer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Lysgardin med tråder i økende lengde

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 16 poeng

Oppgave 1-1·Renteøkning fra 2,0 til 2,2 prosent

Oppgave 1-2·Prosentvis økning i elevtall fra søylediagram

Oppgave 1-3·Eksempel og graf for proporsjonale størrelser

Oppgave 1-4·Volum av eske med tredjegradsmodell

Oppgave 1-5·Python-program for fordobling av startverdi

Oppgave 1-6·Bredden i et rektangel tre ganger så langt som bredt

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 45 poeng

Oppgave 2-1·Vanntank som tappes ut

Oppgave 2-2·Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser

Oppgave 2-3·Sammenligne fire dusjsåpetilbud

Oppgave 2-4·Massetetthet for olje ved 22 grader

Oppgave 2-5·Bakteriefordobling etter 12 timer

Oppgave 2-6·Klossmønster i tre figurer

Oppgave 2-7·Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Oppgave 2-8·Lysgardin med tråder i økende lengde

Temaer

Oppgave 1-1Renteøkning fra 2,0 til 2,2 prosent

Oppgave 1-2Prosentvis økning i elevtall fra søylediagram

Oppgave 1-3Eksempel og graf for proporsjonale størrelser

Oppgave 1-4Volum av eske med tredjegradsmodell

Oppgave 1-5Python-program for fordobling av startverdi

Oppgave 1-6Bredden i et rektangel tre ganger så langt som bredt

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

Oppgave 2-2Bilutleie fra tre firmaer med lineære priser

Oppgave 2-3Sammenligne fire dusjsåpetilbud

Oppgave 2-4Massetetthet for olje ved 22 grader

Oppgave 2-5Bakteriefordobling etter 12 timer

Oppgave 2-6Klossmønster i tre figurer

Oppgave 2-7Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Oppgave 2-8Lysgardin med tråder i økende lengde