1P Høst 2022

Vi ser på punktene som er merket av på grafen: $(4, 2)$, $(25, 5)$, $(49, 7)$, $(81, 9)$ og $(100, 10)$.

Vi legger merke til at $x$-verdiene er perfekte kvadrater, og at $y$-verdiene er kvadratrøttene av dem:

Alle fem punktene passer til formelen $y = \sqrt{x}$, så et mulig uttrykk er:

Vi bruker $f(x) = \sqrt{x}$ og setter inn de gitte verdiene.

$f(16)$:

$f(400)$:

$f\!\left(\dfrac{9}{4}\right)$:

$f(-25)$:

Kvadratrotfunksjonen $f(x) = \sqrt{x}$ er bare definert for $x \geq 0$, fordi vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall i de reelle tallene. Siden $-25 < 0$, er $-25$ ikke i definisjonsmengden til $f$.

Det er derfor ikke mulig å bestemme $f(-25)$.

Vi leser av to punkter på den rette linjen i grafen: $(42, 159)$ og $(142, 538)$.

Stigningstallet er definert som

Stigningstallet er $\underline{\underline{3{,}79 \, \mathrm{liter/gallon}}}$.

Praktisk tolkning: 1 gallon tilsvarer omtrent $3{,}79$ liter.

Vi gjør om trinn for trinn:

Steg 1: Omregn fat til gallon.

Steg 2: Omregn gallon til liter.

Steg 3: Skriv svaret på standardform ($a \cdot 10^n$ der $1 \leq a < 10$).

Etterspørselen tilsvarer omtrent $\underline{\underline{1{,}6 \cdot 10^{10} \, \mathrm{liter}}}$ per dag.

Vi setter inn $x = 0$:

Temperaturen i vannet når strømmen blir slått av, er $\underline{\underline{38\degree\mathrm{C}}}$.

Vi løser ulikheten $T(x) < 20$ i CAS:

Altså gjelder $T(x) < 20$ for $x > 5{,}30$.

Temperaturen er under $20\degree\mathrm{C}$ etter ca. $\underline{\underline{5{,}30 \mathrm{~timer}}}$ (omtrent 5 timer og 18 minutter).

Stigningstallet til linjen gjennom $(0,\, T(0))$ og $(4,\, T(4))$ er

CAS gir $T(4) \approx 23{,}265$ og $T(0) = 38$, så

Stigningstallet er $\underline{\underline{a \approx -3{,}68 \degree\mathrm{C}\text{ per time}}}$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i bassenget med ca. $3{,}68\degree\mathrm{C}$ per time de første 4 timene etter at strømmen slås av.

Temperaturnedgangen i løpet av time nummer $x$ til $x+1$ er $T(x) - T(x+1)$.

Siden $T$ er en avtagende eksponentialfunksjon, er nedgangen størst i begynnelsen og avtar for hver time. Det er altså tilstrekkelig å sjekke den første timen:

CAS bekrefter $T(0) - T(1) \approx 4{,}485 < 5$.

Temperaturen synker aldri med mer enn $5\degree\mathrm{C}$ i løpet av en time. Den største nedgangen er ca. $4{,}49\degree\mathrm{C}$, og den skjer i den første timen.

Funksjonen $T(x) = 3{,}5 + 34{,}5 \cdot 0{,}87^x$ har horisontal asymptote $y = 3{,}5$, siden $0{,}87^x \to 0$ når $x \to \infty$.

Tallet $3{,}5$ er omgivelsestemperaturen — den temperaturen vannet vil nærme seg på lang sikt (men aldri gå under). Dette tilsvarer lufttemperaturen rundt bassenget, som er den naturlige likevektstemperaturen.

Grafen viser fart (km/h) som funksjon av tid (minutter). Kurven er en hyperbel — den faller raskt og nærmer seg aksene uten å nå dem.

Vi kan kontrollere om fart $\times$ tid er tilnærmet konstant ved å lese av noen punkter fra grafen:

Produktet fart $\times$ tid er tilnærmet konstant ($\approx 3600$), noe som er kjennetegnet på omvendt proporsjonalitet.

Fart og tid er $\underline{\underline{\text{omvendt proporsjonale}}}$ størrelser.

Huskeregelen sier: når farten dobles, firedobles bremselengden.

For proporsjonale størrelser ville en dobling av farten også gi en dobling av bremselengden.

For omvendt proporsjonale størrelser ville en dobling av farten gi en halvering av bremselengden.

Her gir en dobling av farten en firedobling av bremselengden, altså en $2^2$-dobling. Dette er en kvadratisk sammenheng ($\text{bremselengde} \propto \text{fart}^2$), ikke en proporsjonal eller omvendt proporsjonal sammenheng.

Fart og bremselengde er $\underline{\underline{\text{ingen av delene}}}$ — sammenhengen er kvadratisk.

Formelen for omregning er:

For at $C$ og $F$ skal være proporsjonale, må grafen være en rett linje gjennom origo, det vil si at $C = k \cdot F$ for en konstant $k$.

Her har formelen et konstantledd ($-17{,}8$), så grafen er en rett linje som ikke går gjennom origo. Vi kan sjekke: når $F = 0$ er $C = \frac{0 - 32}{1{,}8} \approx -17{,}8$, ikke $0$.

Forholdet $\frac{C}{F}$ er ikke konstant, og $C \cdot F$ er heller ikke konstant, så størrelsene er verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale.

Grader celsius og grader fahrenheit er $\underline{\underline{\text{ingen av delene}}}$ — sammenhengen er lineær, men grafen går ikke gjennom origo.

Vi lar $x$ være bredden i rektangelet (i meter). Siden omkretsen er $64 \, \mathrm{m}$, blir

der $y$ er lengden. Vi setter opp en oversikt over ulike verdier:

Oversikten viser at arealet er størst når $x = 16 \, \mathrm{m}$ og $y = 16 \, \mathrm{m}$, altså når rektangelet er et kvadrat. Dette støtter Pers påstand.

Vi bruker at $y = 32 - x$ og setter opp arealet som funksjon av $x$:

Vi finner toppunktet med GeoGebra CAS:

Grafen viser $A(x) = x(32 - x)$ med toppunktet $A = (16, 256)$.

Siden toppunktet er i $x = 16$, blir lengden $y = 32 - 16 = 16 \, \mathrm{m}$.

Rektangelet er altså et kvadrat med sidelengde $16 \, \mathrm{m}$, og det største arealet er

Dette bekrefter Pers påstand.

Programmet definerer funksjonen $f(x) = 3x - 15$ og går gjennom alle heltall fra $x = 0$ til $x = 10$ (med while x <= 10). For hvert heltall sjekker det om $f(x) = 0$, og skriver i så fall ut $x$.

Lars ønsker å finne heltallige nullpunkter til $f(x)$, altså de heltallsverdiene av $x$ der $f(x) = 0$.

Vi regner ut: $f(5) = 3 \cdot 5 - 15 = 15 - 15 = 0$, så $x = 5$ er et nullpunkt.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{5}}$.

Med $f(x) = x^2 - 6x + 8$ sjekker programmet fortsatt alle heltall fra $0$ til $10$.

Vi regner ut:

Begge nullpunktene $x = 2$ og $x = 4$ er heltall og ligger i intervallet $[0, 10]$.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{2}}$ og $\underline{\underline{4}}$.

Med $f(x) = x^2 - 144$ er nullpunktene der $x^2 = 144$, altså $x = 12$ og $x = -12$.

Begge nullpunktene ligger utenfor løkkens søkeområde ($0$ til $10$), så programmet finner ingenting og skriver ikke ut noe.

Lars må endre programmet slik at søkeområdet dekker $x = 12$. En mulig løsning:

def f(x):
    return x ** 2 - 144

x = 0

while x <= 12:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

Dette programmet skriver ut $x = 12$.

Hvis Lars også vil finne det negative nullpunktet $x = -12$, kan han starte på et negativt tall:

def f(x):
    return x ** 2 - 144

x = -12

while x <= 12:

    if f(x) == 0:
        print(x)

    x = x + 1

Da skriver programmet ut $-12$ og $12$.

Vi bruker GeoGebra til å utføre potensregresjon på måledataene fra tabellen.

Potensregresjon på tabellverdiene gir

Vi forenkler formelen $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ ved å sette inn $g = 9{,}81$:

Vi regner ut konstantleddet:

Siden $2{,}006 \approx 2$, får vi

Vi sammenligner modellen fra a) med den forenklede formelen fra b):

Konstantleddet $a \approx 2{,}03$ er svært nær $2$, og eksponenten $b \approx 0{,}47$ er svært nær $\tfrac{1}{2}$.

Den eksperimentelle modellen stemmer altså svært godt med den teoretiske formelen $T \approx 2\sqrt{L}$.