1P Vår 2017

Vi setter $x=15$ inn i formelen $y={\displaystyle \frac{9}{5}}x+32$:

$15°\mathrm{C}$ tilsvarer altså $\underline{\underline{59°\mathrm{F}}}$.

Vi skal løse likningen

For å bli kvitt brøken ganger vi begge sider med $5$:

Deretter trekker vi $9x$ fra begge sider for å samle $x$-leddene:

Til slutt deler vi begge sider på $-4$:

Løsningen $\underline{\underline{x=-40}}$ betyr at når temperaturen er $-40°\mathrm{C}$, er den også $-40°\mathrm{F}$ — dette er den eneste temperaturen der de to skalaene viser samme tall.

Turen har en fast totalpris, uansett hvor mange som er med. Vi vet at når $3$ personer deler turen, betaler hver av dem $260$ kr. Da er totalprisen

For å finne beløpet per person med et annet antall personer, deler vi totalprisen $780$ kr på antall personer:

Vi har regnet ut:

To størrelser er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem alltid er det samme (konstant), uansett hvilket verdipar vi ser på.

Her ser vi at produktet av antall personer og beløp per person alltid gir totalprisen $780$ kr:

Siden produktet er konstant lik $780$ kr for alle verdiene i tabellen, er antall personer og beløpet hver person betaler, $\underline{\underline{\text{omvendt proporsjonale størrelser}}}$. Dette stemmer også med at når antall personer blir dobbelt så stort, blir beløpet per person halvparten så stort.

Vi setter inn hver $x$-verdi i funksjonsuttrykket $f(x)=-x^2+4$.

Da blir verditabellen:

Vi plotter punktene fra verditabellen i et koordinatsystem og tegner en jevn kurve gjennom dem. Grafen er en parabel med toppunkt i $(0,4)$, siden dette er den største $y$-verdien i tabellen og funksjonen er symmetrisk om $y$-aksen.

La $N$ være hendelsen “leser aviser på nett” og $P$ være hendelsen “leser papiraviser”. Vi vet at

Siden $2\%$ ikke leser noen aviser, leser $98\%$ minst én type avis, altså $P(N\cup P)=\mathrm{0,98}$.

Vi bruker addisjonssetningen for å finne sannsynligheten for at en elev leser begge typer aviser:

Vi kan da fylle ut krysstabellen. Andelen som leser bare nettaviser er $\mathrm{0,80}-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,48}$, andelen som leser bare papiraviser er $\mathrm{0,50}-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,18}$, og andelen som ikke leser noen aviser er $\mathrm{0,02}$. Kontroll: $\mathrm{0,48}+\mathrm{0,18}+\mathrm{0,32}+\mathrm{0,02}=\mathrm{1,00}$.

Fra tabellen i a) leser $\underline{\underline{P(N\cap P)=\mathrm{0,32}=32\%}}$ av elevene både aviser på nett og papiraviser.

Vi skal finne den betingede sannsynligheten for at en elev ikke leser papiraviser, gitt at hun leser nettaviser:

Andelen som leser nettaviser, men ikke papiraviser, er

Dette gir

Svar: $\underline{\underline{P(\text{ikke }P|N)=\mathrm{0,6}=60\%}}$

Forholdet mellom rød og blå maling er $2:5$. Det betyr at for hver $2$ deler rød maling er det $5$ deler blå maling.

Vi har $\mathrm{7,5}$ dL blå maling, og skal finne hvor mye rød maling som trengs. Vi setter opp forholdet som en brøk og løser for mengden rød maling $x$:

Det trengs $\underline{\underline{3\mathrm{dL}}}$ rød maling.

Blandingsforholdet er $2:5$, så den ferdige blandingen består av totalt $2+5=7$ deler. Rød maling utgjør $2$ av disse $7$ delene.

Vi skal lage $21$ L ferdig blanding, og finner mengden rød maling $y$ ved å sette opp forholdet:

Det trengs $\underline{\underline{6\mathrm{L}}}$ rød maling.

Vi har $21$ L blanding i forholdet $2:5$. Fra b) vet vi at det er $6$ L rød maling. Da er mengden blå maling

I det nye forholdet $1:3$ skal det være $3$ ganger så mye blå som rød maling. Siden det allerede er forholdsmessig mye blå maling i blandingen ($5$ deler blå mot $2$ deler rød, mot bare $1$ del rød til $3$ deler blå i det nye forholdet), må vi tilsette mer blå maling. Vi kan ikke fjerne maling, så mengden rød maling holdes fast på $6$ L.

Vi finner hvor mye blå maling $z$ den ferdige blandingen skal inneholde, ved å bruke det nye forholdet $1:3$ med rødmengden $6$ L:

Den ferdige blandingen skal altså inneholde $18$ L blå maling. Vi har allerede $15$ L blå maling, så vi må tilsette

Svar: Du må tilsette $\underline{\underline{3\mathrm{L}}}$ blå maling for å få forholdet $1:3$.

Vi taster funksjonsuttrykket

inn i graftegneren, med $0\le x\le 52$. Grafen viser fyllingsgraden $f(x)$ i prosent som funksjon av antall uker $x$ etter 1. januar 2016.

Vi bruker graftegneren til å finne bunnpunktet (minimumspunktet) på grafen til $f$. Fra utklippet i a) ser vi at bunnpunktet er

Praktisk tolkning: Koordinatene til bunnpunktet forteller oss at fyllingsgraden i vannmagasinet var lavest ca. $\mathrm{13,7}$ uker etter 1. januar 2016 — altså midt i april 2016. Da var fyllingsgraden nede i omtrent $\mathrm{35,3}\%$, som var det laveste nivået i løpet av det året grafen viser.

Vi regner ut $f(0)$ og $f(4)$:

Nedgang i prosentpoeng. Fyllingsgraden var $86\%$ ved starten av året ($x=0$) og $\mathrm{58,9}\%$ etter fire uker ($x=4$). Nedgangen i prosentpoeng finner vi ved å ta differansen mellom de to prosenttallene:

Nedgang i prosent. Prosentvis nedgang regner vi ut ved å dele nedgangen på startverdien:

Legg merke til forskjellen: fyllingsgraden falt med $\mathrm{27,1}$ prosentpoeng (differansen mellom to prosenttall), men dette utgjorde en nedgang på $\mathrm{31,5}$ prosent sammenlignet med hva den var ved starten av året.

Den sylinderformede beholderen har diameter $320\mathrm{mm}=32\mathrm{cm}$, altså radius $r=16\mathrm{cm}$, og høyde $h=535\mathrm{mm}=\mathrm{53,5}\mathrm{cm}$.

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$:

Siden $1\mathrm{L}=1000{\mathrm{cm}}^3$, blir volumet

$\underline{\underline{V\approx \mathrm{43,0}\mathrm{L}}}$

Vi skal fylle $40\mathrm{L}=40000{\mathrm{cm}}^3$ i beholderen. Vi bruker formelen $V=\pi r^{2}h$ og løser for $h$, med samme radius $r=16\mathrm{cm}$ som i a):

$\underline{\underline{h\approx \mathrm{49,7}\mathrm{cm}}}$ — vannet vil stå omtrent $\mathrm{49,7}\mathrm{cm}$ opp i beholderen.

Pedalbøtta er satt sammen av en sylinder og en halv kule med samme radius. Bredden på pedalbøtta er $400\mathrm{mm}=40\mathrm{cm}$, så radien er $R=20\mathrm{cm}$.

Totalhøyden på pedalbøtta er $755\mathrm{mm}=\mathrm{75,5}\mathrm{cm}$. Halvkula har høyde lik radien, $20\mathrm{cm}$, så sylinderdelen av pedalbøtta har høyde

Volumet av sylinderdelen:

Volumet av halvkula (halvparten av en kule med samme radius):

Totalt volum av pedalbøtta:

$\underline{\underline{V\approx \mathrm{86,5}\mathrm{L}}}$

Hver eske inneholder $6$ porsjonspakninger på $22\mathrm{g}$, altså totalt

for $32\mathrm{kr}$. Prisen per gram er da

Dersom en boks med $200\mathrm{g}$ hadde hatt samme pris per gram, ville prisen vært

$\underline{\underline{\mathrm{48,48}\mathrm{kr}}}$

Boksen med $200\mathrm{g}$ koster faktisk $24\mathrm{kr}$, så prisen per gram i boks er

Prisen per gram i porsjonspakningene var $\approx \mathrm{0,2424}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{g}$, fra a). Hvor mange prosent dyrere dette er, finner vi ved å sammenlikne de to prisene per gram:

$\underline{\underline{\approx 102\%}}$ — leverposteien i porsjonspakninger er altså omtrent dobbelt så dyr per gram som leverposteien i boks.

I trekant $ABE$ er $AB$ langs bakken og $AE$ langs husveggen, så vinkelen i $A$ er $90°$.

I trekant $CDE$ er $CD$ vannrett (parallell med bakken, siden $C$ og $D$ begge ligger $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$ over bakken) og $CE$ ligger langs husveggen, så vinkelen i $C$ er også $90°$.

Siden $B$, $D$ og $E$ ligger på den samme rette linjen (stigen), er vinkelen i toppunktet $E$ felles for de to trekantene — $\angle AEB=\angle CED$.

To trekanter som har to par like vinkler, er formlike (AA). Dermed er $△ABE\sim △CDE$.

Vi setter opp koordinater med husveggen langs $x=0$ og bakken langs $y=0$. Gjerdet står $\mathrm{0,75}\mathrm{m}$ fra veggen, og stigens fot $B$ står $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ fra gjerdet. Da blir

Vi kaller høyden der stigen berører veggen for $h=AE$. Da er $CE=h-\mathrm{2,0}$.

Siden trekantene er formlike fra a), er forholdet mellom korresponderende sider likt:

Vi ganger begge sider med $CD\cdot (h-2)$ og løser for $h$:

Stigen berører altså veggen i høyde $AE=\mathrm{3,5}\mathrm{m}$. Lengden av stigen $BE$ finner vi med Pytagoras i den rettvinklede trekanten $ABE$:

$\underline{\underline{BE\approx \mathrm{3,91}\mathrm{m}}}$

På kjølelageret er det $200$ kartonger med lettmelk og $100$ kartonger med helmelk, altså $300$ kartonger totalt.

Antall lettmelk-kartonger uten tett kork:

Antall helmelk-kartonger uten tett kork:

Totalt antall kartonger uten tett kork:

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong ikke har tett kork:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{ikke tett kork})=\mathrm{0,35}=35\%}}$

Vi skal finne sannsynligheten for at kartongen inneholder lettmelk, gitt at den ikke har tett kork. Av de $105$ kartongene uten tett kork er $80$ lettmelk-kartonger (fra a):

Svar: $\underline{\underline{P(\text{lettmelk}|\text{ikke tett kork})=\frac{16}{21}\approx \mathrm{76,2}\%}}$

Trinnskatten regnes ut trinn for trinn. Vi finner først hvor stor del av personinntekten som ligger på hvert trinn, og ganger med riktig prosentsats.

Terje har en personinntekt på $220000$ kroner.

Hele inntekten over $164100$ kroner ligger på trinn 1, siden $220000$ er mindre enn $230950$:

Trinnskatten på trinn 1 blir da:

Terje har ingen inntekt på trinn 2, siden personinntekten hans er lavere enn $230950$ kroner. Trinnskatten hans blir dermed

Lise har en personinntekt på $520000$ kroner.

Hele trinn 1 (fra $164100$ til $230950$ kroner) er inkludert i inntekten hennes:

I tillegg ligger en del av inntekten hennes på trinn 2, fra $230950$ til $520000$ kroner:

Samlet trinnskatt for Lise blir summen av skatten på de to trinnene:

Vi setter opp et regneark der brukeren skriver inn personinntekten sin i celle A2 (og eventuelt flere rader under, for eksempel A3 for Lise). Regnearket regner deretter automatisk ut trinnskatten på hvert trinn og summen.

Kolonne B regner ut hvor mye av personinntekten som ligger på trinn 1 (mellom $164100$ og $230950$ kroner), ganget med $\mathrm{0,93}\%$. Kolonne C gjør det samme for trinn 2 (mellom $230950$ og $565400$ kroner), ganget med $\mathrm{2,41}\%$. Vi bruker MAKS og MIN slik at formelen fungerer riktig uansett hvor stor personinntekten er innenfor det oppgitte intervallet — hvis inntekten ikke rekker opp til eller forbi et trinn, blir bidraget fra det trinnet $0$.

Formlene i rad 2 dras nedover til flere rader, slik at flere personer kan legge inn sin personinntekt samtidig — for eksempel Terje i rad 2 og Lise i rad 3.

Vi kontrollerer svarene fra a) ved å legge inn de to personinntektene:

Verdiene i regnearket stemmer overens med det vi regnet ut for hånd i a): Terje betaler $\approx 520\mathrm{kr}$ og Lise $\approx 7588\mathrm{kr}$ i trinnskatt.

Farten er $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$, og strekningen er $1\mathrm{mil}=10\mathrm{km}$. Tiden finner vi med $t={\displaystyle \frac{s}{v}}$:

Vi gjør om til minutter ved å gange med $60$:

Det er $6$ hele minutter, og $\mathrm{0,667}\min$ gjør vi om til sekunder ved å gange med $60$:

Altså bruker vi $6$ min og $40$ s på å kjøre $1$ mil i $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$, som stemmer med det oppgaven ber oss vise.

På samme måte finner vi tiden ved $110\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Det tilsvarer $5$ min og $\mathrm{0,4545}\cdot 60\approx 27\mathrm{s}$, altså $5$ min $27$ s.

Tidsbesparelsen per mil er differansen mellom tidene ved $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ og $110\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Dette stemmer med det oppgaven ber oss vise: du sparer omtrent $1$ min og $13$ s per mil.

Vi bruker de nøyaktige (ikke avrundede) tidene fra a) og b) i minutter:

Tidsbesparelsen per mil er

Vi skal spare $15$ minutter totalt. Siden strekningen er proporsjonal med tiden spart, finner vi antall mil ved å dividere:

Siden $1\mathrm{mil}=10\mathrm{km}$, blir strekningen

$\underline{\underline{\approx \mathrm{123,75}\mathrm{km}}}$ — du må kjøre omtrent $124\mathrm{km}$ med konstant fart $110\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ for å spare $15$ minutter sammenliknet med å holde $90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.