1P Høst 2017

Når prisen settes opp med $10\%$, blir vekstfaktoren

Vi ganger den opprinnelige prisen med vekstfaktoren:

Dersom prisen settes opp med $10\%$, koster varen $\underline{\underline{704\mathrm{kr}}}$.

Når prisen settes opp med $15\%$, blir vekstfaktoren

Vi ganger den opprinnelige prisen med vekstfaktoren:

Dersom prisen settes opp med $15\%$, koster varen $\underline{\underline{736\mathrm{kr}}}$.

Forholdet mellom mel og vann skal være $10:7$. Det betyr at for hver $10$ deler mel bruker Kari $7$ deler vann.

Kari skal bruke $50$ L mel. Vi finner hvor mange ganger $50$ L er $10$ deler:

Siden vannet er $7$ deler, blir mengden vann

Kari trenger $\underline{\underline{35\mathrm{L}\text{ vann}}}$.

Til sammen bruker Kari $\mathrm{3,4}$ L mel og vann, fordelt i forholdet $10:7$. Da er det totalt

Vi finner hvor mye én del utgjør:

Mel er $10$ deler:

Vann er $7$ deler:

Vi kontrollerer: $2\mathrm{L}+\mathrm{1,4}\mathrm{L}=\mathrm{3,4}\mathrm{L}$, som stemmer.

Kari bruker $\underline{\underline{2\mathrm{L}\text{ mel og }\mathrm{1,4}\mathrm{L}\text{ vann}}}$.

Hytta koster $3600$ kroner å leie, og i tillegg betaler hver person $1300$ kroner for mat og transport. Utgiften per person finner vi ved å dele hytteleia på antall personer og legge til $1300$ kroner.

2 personer:

4 personer:

8 personer:

Vi ser av utregningene i a) at utgiften per person er hytteleia $3600$ kroner delt på antall personer $x$, pluss $1300$ kroner per person:

Vi setter $U=1600$ inn i formelen og løser likningen for $x$:

Det må delta $\underline{\underline{12\text{ personer}}}$ for at utgiftene per person skal bli $1600$ kroner.

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom produktet av dem alltid er det samme, altså $U\cdot x=k$ for en konstant $k$, uansett hvilken verdi $x$ har.

Vi sjekker med tallene fra tabellen i a):

Produktene er ikke like, så $U$ og $x$ er $\underline{\underline{\text{ikke}}}$ omvendt proporsjonale størrelser. Dette skyldes at formelen $U={\displaystyle \frac{3600}{x}}+1300$ har et ekstra ledd, $1300$, i tillegg til ${\displaystyle \frac{3600}{x}}$. Ved ren omvendt proporsjonalitet skulle formelen bare vært $U={\displaystyle \frac{k}{x}}$, uten det faste tillegget.

Siden klassene har like mange elever, er sannsynligheten for at en tilfeldig elev går i 2A lik sannsynligheten for at eleven går i 2B:

Alle i 2A har valgt biologi, så $P(\text{biologi}|2A)=1$. Halvparten av 2B har valgt biologi, så $P(\text{biologi}|2B)=\mathrm{0,5}$.

Vi bruker setningen om total sannsynlighet:

Svar: $\underline{\underline{P(\text{biologi})=\mathrm{0,75}}}$

Vi skal finne $P(2A|\text{biologi})$, altså sannsynligheten for at eleven går i 2A, gitt at eleven har valgt biologi. Vi bruker definisjonen av betinget sannsynlighet:

Telleren er sannsynligheten for å gå i 2A og ha valgt biologi:

Fra a) vet vi at $P(\text{biologi})=\mathrm{0,75}$. Da får vi

Det betyr at om lag $67\%$ av elevene som har valgt biologi, går i klasse 2A.

Svar: $\underline{\underline{P(2A|\text{biologi})={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,67}}}$

Punktet $(0,-450)$ viser overskuddet når $0$ vaffelplater er solgt, altså før elevene har solgt noe. Da er overskuddet $-450$ kroner, som betyr at elevene har et underskudd på $450$ kroner. Dette er de faste kostnadene til utstyr og ingredienser som elevene må betale uansett hvor mange vaffelplater de får solgt.

Punktet $(30,0)$ er nullpunktet til grafen, der overskuddet er $0$ kroner. Dette betyr at elevene må selge $30$ vaffelplater for å dekke inn kostnadene sine (gå i null). Selger de færre enn $30$ vaffelplater, går de med underskudd, mens de går med overskudd hvis de selger flere enn $30$.

Prisen per vaffelplate er stigningstallet til den rette linjen. Vi bruker de to oppgitte punktene $(0,-450)$ og $(30,0)$:

Elevene tar $\underline{\underline{15\mathrm{kr}}}$ betalt for hver vaffelplate.

Funksjonsuttrykket for overskuddet er $y=15x-450$, der $x$ er antall solgte vaffelplater. Elevene har laget $120$ vaffelplater, så vi setter $x=120$:

Vi kan også lese av dette direkte fra grafen, siden linjen går gjennom punktet $(120,1350)$.

Dersom elevene selger alle vaffelplatene, blir overskuddet $\underline{\underline{1350\mathrm{kr}}}$.

Vi tegner grafen til $f(x)=-\mathrm{2,34}{x}^3+50x^2+129x+\mathrm{19,7}$ for $0\le x\le 15$ i GeoGebra.

Antall artikler passerte 4 millioner da $f(x)=4000$ (siden $f$ gir antall artikler i tusen). Vi legger inn linja $y=4000$ og finner skjæringspunktet med grafen til $f$ i GeoGebra, se figuren over.

Skjæringspunktet i det aktuelle intervallet er

Siden $x$ er antall år etter 1. januar 2002, betyr dette at antall artikler passerte 4 millioner om lag $\mathrm{10,1}$ år etter 2002, altså tidlig i 2012.

Svar: Ifølge modellen passerte antall Wikipedia-artikler $\underline{\underline{4\text{ millioner i løpet av }2012}}$.

Når basisåret endres fra 1998 til 2015, skal den nye konsumprisindeksen (KPI) for 2015 bli $100$. Vi finner den nye indeksen for et hvilket som helst år ved å dele den gamle indeksen for det året på den gamle indeksen for det nye basisåret (2015), og gange med $100$:

Med basisår 1998 var indeksen i 1998 lik $100$ (siden 1998 var basisåret). Vi bruker at indeksen for 2015 (med gammelt basisår) var $\mathrm{139,8}$:

Dette stemmer med det vi skulle vise.

$\underline{\underline{{\text{KPI}}_{1998}\approx \mathrm{71,5}}}$ (vist)

Vi bruker samme metode for 2016. Indeksen i 2016 med gammelt basisår var $\mathrm{144,8}$:

$\underline{\underline{{\text{KPI}}_{2016}\approx \mathrm{103,6}}}$

Vi trekker to kuler uten tilbakelegging, og bruker produktregelen (multiplikasjonsprinsippet). Sannsynligheten for at den første kulen er feilfri, er

Når den første kulen er feilfri, er det igjen $6$ feilfrie kuler av totalt $11$ kuler i esken. Sannsynligheten for at også den andre kulen er feilfri, blir dermed

Sannsynligheten for at begge kulene er feilfrie, er da

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{7}{22}}\approx \mathrm{0,318}}}$

Hendelsen «minst én av kulene er ødelagt» er den komplementære hendelsen til «ingen av kulene er ødelagt» (som er det samme som «begge kulene er feilfrie»), som vi fant i a).

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{15}{22}}\approx \mathrm{0,682}}}$

Tverrsnittet av treklossen er et kvadrat med side $\mathrm{12,0}\mathrm{cm}$, der ett hjørne er skåret bort og erstattet med en kvart sirkelbue med radius $r=\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$.

Vi finner arealet av tverrsnittet ved å ta arealet av hele kvadratet, trekke fra det lille hjørnekvadratet på $\mathrm{6,0}\mathrm{cm}\times \mathrm{6,0}\mathrm{cm}$ (det kvadratet som avgrenser det avrundede hjørnet), og legge til arealet av kvartsirkelen som er igjen etter avrundingen:

Volumet av treklossen (et prisme med lengde $\mathrm{36,0}\mathrm{cm}$) er da

Volumet av treklossen er omtrent ${\text{𝟒𝟗𝟎𝟔 𝐜𝐦}}^3$.

Overflaten består av to like endeflater (tverrsnittet fra a)) og en sammenhengende sideflate som følger hele kanten rundt tverrsnittet, med lengde $\mathrm{36,0}\mathrm{cm}$.

Endeflatene. De to endeflatene har til sammen arealet

Omkretsen av tverrsnittet. Kanten rundt tverrsnittet består av to hele sider på $\mathrm{12,0}\mathrm{cm}$, to forkortede sider på $\mathrm{12,0}-\mathrm{6,0}=\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$ (de to sidene som møtte det avrundede hjørnet), og sirkelbuen med lengde en kvart omkrets av en sirkel med radius $\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$:

Sideflaten. Sideflaten (tre plane rektangler og én kvart sylinderflate) har da arealet

Total overflate.

Overflaten av treklossen er omtrent ${\text{𝟏𝟗𝟎𝟖 𝐜𝐦}}^2$.

Alternativ 1 – Frikort. Per tjener $60000\mathrm{kr}$, altså $5000\mathrm{kr}$ over fribeløpet på $55000\mathrm{kr}$. Skattetrekket er $50\%$ av denne delen:

Nettolønnen blir da

Alternativ 2 – Prosentkort. Skattetrekket er $10\%$ av hele inntekten:

Nettolønnen blir da

Med frikort får Per altså mer i nettolønn enn med prosentkort når han tjener $60000\mathrm{kr}$.

Svar: $\underline{\underline{57500\mathrm{kr}\text{ med frikort og }54000\mathrm{kr}\text{ med prosentkort}}}$

Kolonne A inneholder inntektene fra $56000\mathrm{kr}$ til $75000\mathrm{kr}$ i steg på $1000\mathrm{kr}$ (celle A7 til A26). I de blå cellene settes formler som regner ut skattetrekk og nettolønn for hvert alternativ, ut fra tallene i A-kolonnen. I rad 7 (inntekt $56000\mathrm{kr}$) blir formlene:

     A          B                              C          D              E
6  Inntekt   Skattetrekk (frikort)   Nettolønn (frikort)   Skattetrekk (%-kort)   Nettolønn (%-kort)
7  56000    =HVIS(A7>55000;(A7-55000)*0,5;0)   =A7-B7     =A7*0,1        =A7-D7
8  57000    =HVIS(A8>55000;(A8-55000)*0,5;0)   =A8-B8     =A8*0,1        =A8-D8
...
26 75000    =HVIS(A26>55000;(A26-55000)*0,5;0) =A26-B26   =A26*0,1       =A26-D26

Formlene i B7:E7 fylles nedover til rad 26 (autofyll), slik at cellereferansene A7 automatisk endres til A8, A9, osv.

• B-kolonnen (skattetrekk, frikort): HVIS-funksjonen sjekker om inntekten er over fribeløpet på $55000\mathrm{kr}$. Er den det, regnes $50\%$ av den delen som overstiger $55000$; ellers blir trekket $0$.
• C-kolonnen (nettolønn, frikort): inntekt minus skattetrekk fra B-kolonnen.
• D-kolonnen (skattetrekk, prosentkort): $10\%$ av hele inntekten.
• E-kolonnen (nettolønn, prosentkort): inntekt minus skattetrekk fra D-kolonnen.

Resultatet av utregningen for alle inntektene fra $56000\mathrm{kr}$ til $75000\mathrm{kr}$ blir:

Legg merke til at skattetrekket ved frikort er lavere enn ved prosentkort for inntekter opp til $68000\mathrm{kr}$, mens det er høyere ved $69000\mathrm{kr}$ og over. De to trekkene må derfor bli like et sted mellom disse to inntektene.

Vi kaller inntekten $x$. Skattetrekket med frikort er $\mathrm{0,5}\cdot (x-55000)$, og skattetrekket med prosentkort er $\mathrm{0,1}\cdot x$. De to trekkene er like når

Dette stemmer med tabellen i b), der de to skattetrekkene krysser hverandre mellom $68000\mathrm{kr}$ og $69000\mathrm{kr}$: ved $x=68750\mathrm{kr}$ blir begge skattetrekk lik $6875\mathrm{kr}$.

Svar: $\underline{\underline{x=68750\mathrm{kr}}}$

Av figuren og opplysningene vet vi at:

• $AD$ er vannrett.
• $B$, $D$ og $C$ ligger alle på linjen $BC$, som er parallell med $y$-aksen, altså loddrett. Da er $BD$ og $DC$ deler av den samme loddrette linjen.
• Linjene $f$ og $g$ står vinkelrett på hverandre i $A$ (rett vinkel mellom de to linjene i figuren).

Siden $AD$ er vannrett og $BD$/$DC$ er loddrette, er

Vinkelen mellom $f$ og $g$ i $A$ er delt i to av $AD$: $\angle DAC$ (mellom $AD$ og $f$) og $\angle DAB$ (mellom $AD$ og $g$). Siden $f⟂g$, er

I den rettvinklede trekanten $ABD$ er $\angle ADB=90°$, så vinkelsummen gir

Fra de to likningene over ser vi at $\angle DAC=\angle ABD$.

Trekantene $ADC$ og $BDA$ har da:

To like vinkler er nok til å avgjøre formlikhet (vinkel-vinkel), så

Fra formlikheten i a) svarer $AD$ i $△ADC$ til $BD$ i $△BDA$, og $DC$ i $△ADC$ svarer til $AD$ i $△BDA$. Det gir forholdet

Vi trenger $DC$. Stigningstallet til $f$ er $2$, og $AD=1$ er den vannrette avstanden fra $A$ til $D$. Siden $C$ ligger loddrett over $D$ (på samme loddrette linje som $B$ og $D$), er den loddrette avstanden $DC$ lik stigningstallet ganger den vannrette avstanden:

Setter vi inn i uttrykket over:

Dette stemmer med det vi skulle vise.

Siden $g(x)=ax+b$ og $g(0)=\mathrm{3,5}$, er

For å finne $a$ bruker vi den rettvinklede trekanten $ABD$. Fra $A$ til $D$ beveger vi oss $AD=1$ vannrett (samme retning som vi brukte for $f$ i b)). Punktet $B$ ligger på motsatt side av linjen $AD$ i forhold til $C$: mens $C$ ligger $DC=2$ over $D$, ligger $B$ et stykke $BD=\mathrm{0,5}$ under $D$. Siden $D$ har samme høyde som $A$ (fordi $AD$ er vannrett), betyr dette at $B$ ligger $\mathrm{0,5}$ lavere enn $A$.

Fra $A$ til $B$ er altså den vannrette endringen $1$ og den loddrette endringen $-\mathrm{0,5}$. Stigningstallet til $g$ blir dermed

Dermed er

slik at $g(x)=-\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5}$.