1P Høst 2024

En billiard er tusen millioner millioner:

Dermed er 20 billiarder:

Antallet maur i en normalt stor maurtue er mellom 200 000 og 300 000. En maur veier mellom 7 mg og 9 mg.

Laveste vekt (200 000 maur à 7 mg):

Høyeste vekt (300 000 maur à 9 mg):

Alle maurene i en normalt stor maurtue veier til sammen omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,4}\mathrm{kg}\text{ til }\mathrm{2,7}\mathrm{kg}}}$.

Program 1, linje 7: e = e * 1.04

Dette betyr at salget for neste måned er 4 % høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser eksponentielt – med samme prosentsats hver måned.

Program 2, linje 7: e = e + 40

Dette betyr at salget for neste måned er 40 enheter høyere enn salget denne måneden. Lisa antar at salget vokser lineært – med samme antall enheter hver måned.

Variabelen t akkumulerer salget for alle 12 månedene. Verdiene som skrives ut, forteller Lisa det totale antallet solgte enheter i løpet av året (januar–desember):

• Program 1 (eksponentiell vekst): $\underline{\underline{15026\text{ enheter}}}$
• Program 2 (lineær vekst): $\underline{\underline{14640\text{ enheter}}}$

Vi leser av to punkter fra koordinatsystemet: $(0,32)$ og $(100,212)$.

Stigningstallet:

Siden punktet $(0,32)$ ligger på $y$-aksen, er konstantleddet $b=32$.

Formelen er:

Vi kan sjekke med punktet $(-40,-40)$: $\frac{9}{5}\cdot (-40)+32=-72+32=-40$ ✓

Vi setter $F=68$ og løser for $C$:

Metode 1 – sett inn $x=0$:

Metode 2 – bruk at ${\mathrm{0,85}}^x\to 0$ når $x\to \infty$:

Modellen har 600 som nedre grense (bunnlinje). I 2010 var det 3600 abonnenter over bunnlinjen, altså $3600+600=4200$ totalt.

Vi beregner funksjonsverdiene i de to punktene:

Stigningstallet til sekantlinjen:

Praktisk tolkning: Antallet papirabonnenter gikk i gjennomsnitt ned med ca. 151 personer per år i perioden fra 2014 til 2024.

Vi definerer funksjonen for digitale abonnenter, der $x$ er år etter 2010 (digitalt startet i 2019, altså ved $x=9$):

Vi plotter $P(x)$ og $D(x)$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen (se Skjaering) skjærer kurvene hverandre ved $x\approx \mathrm{11,6}$, det vil si i løpet av 2021. Vi sjekker ved helårsregnskap:

For første gang i $\underline{\underline{2022}}$ var det flere digitale enn papirabonnenter.

Vi setter inn $s=18$, $v_1=58$ og $v_2=65$:

Camilla brukte ca. 2 minutter lengre på kjøreturen på mandagen.

La $v_1$ være farten den langsomme dagen. Da er $v_2=2v_1$. Vi setter inn $t=20$ og $s=18$:

Kjøretid den langsomme dagen:

Kjøretid den raske dagen:

Øker med samme antall → lineær funksjon $f(x)=ax+b$.

Startverdi: $b=290000$

Økning per måned:

Øker med samme prosent → eksponentialfunksjon $g(x)=b\cdot k^x$.

Startverdi: $b=290000$

Vi finner vekstfaktoren $k$ fra $g(8)=340000$:

Antallet følgere øker med ca. $\mathrm{2,0}\%$ per måned.

Med 3 reiseoppdrag:

Vi setter opp funksjoner for årslønn med $n$ reiseoppdrag:

Vi plotter funksjonene i GeoGebra og leser av skjæringspunktene:

Fra grafen (se BC, AC og AB):

B og C er like gode ved $n=18$ oppdrag (se punkt BC = (18, 1\,044\,000)):

A og B er like gode ved $n=93$ oppdrag (se punkt AB = (93, 2\,244\,000)):

Konklusjon:

• Bedrift C gir best lønn ved færre enn 18 reiseoppdrag per år
• Bedrift B gir best lønn ved 18 til 93 reiseoppdrag per år
• Bedrift A gir best lønn ved flere enn 93 reiseoppdrag per år

Fra oversikten: 4 341 850 stemmeberettigede, fremmøteprosent 62,4 %.

Antall som stemte:

Antall som ikke brukte stemmeretten:

Tore forveksler prosentpoeng (pp) med prosentvis endring. Høyre økte med 5,8 pp, men det er ikke det samme som prosentvis framgang.

Prosentvis framgang beregnes som:

Vi regner ut for partiene med positiv pp-endring:

Fremskrittspartiet har hatt størst prosentvis framgang med ca. $\underline{\underline{\mathrm{37,8}\%}}$, ikke Høyre (28,9 %). Høyre har størst endring i prosentpoeng, men det er ikke det samme som størst prosentvis framgang.

Med sidelengde $x=100\mathrm{mm}$ på hvert utskåret kvadrat:

• Lengde: $1200-2\cdot 100=1000\mathrm{mm}$
• Bredde: $800-2\cdot 100=600\mathrm{mm}$
• Høyde: $100\mathrm{mm}$

Vi omregner til liter ($1\mathrm{L}=1000000{\mathrm{mm}}^3$):

La $x$ være sidelengden (i mm) til de utskårede kvadratene. Vi lager en oversikt:

Ut fra tabellen ser vi at volumet er størst når $x$ er omtrent $150\mathrm{mm}$.

Når Sofie skjærer bort kvadrater med sidelengde $x$ mm, får kassen:

• Lengde: $(1200-2x)\mathrm{mm}$
• Bredde: $(800-2x)\mathrm{mm}$
• Høyde: $x\mathrm{mm}$

Funksjonsuttrykket (volum i L):

Vi tegner grafen i GeoGebra:

Fra grafen (se punkt Maks) er volumet størst ved $x\approx 157\mathrm{mm}$, og maksimalt volum er ca. $\mathrm{67,6}\mathrm{L}$.

Sofie bør skjære bort kvadrater med sidelengde ca. $\underline{\underline{157\mathrm{mm}}}$. Da blir volumet størst mulig med ca. $\underline{\underline{\mathrm{67,6}\mathrm{L}}}$.

For at kassen skal gi mening må alle dimensjonene være positive:

• Høyde: $x>0$
• Bredde: $800-2x>0\Rightarrow x<400$

(Lengdebetingelsen $x<600$ er oppfylt automatisk når $x<400$.)

Gyldighetsområdet er $\underline{\underline{0<x<400\mathrm{mm}}}$.

I praksis vil det også være en nedre grense (for eksempel $x\ge 10\mathrm{mm}$) siden det ikke er mulig å skjære bort kvadrater som er for bitte små, men matematisk sett er $0<x<400\mathrm{mm}$ det naturlige gyldighetsområdet.