1P Høst 2021

Vi skal finne $t$ når $T = 52$.

Vi setter inn $T = 52$ i formelen:

Vi trekker $7$ fra begge sider:

Vi deler begge sider på $9$:

Det tar $\underline{\underline{5 \text{ timer}}}$ før temperaturen er $52 \degree\text{C}$.

Formelen er $T = 9t + 7$.

Stigningstallet er $9$. Det betyr at temperaturen stiger med $9 \degree\text{C}$ for hver time som går.

Konstantleddet er $7$. Når $t = 0$ (akkurat idet strømmen kobles til) er $T = 9 \cdot 0 + 7 = 7$. Det betyr at vannet hadde en temperatur på $7 \degree\text{C}$ da strømmen ble koblet til.

Vi leser av to punkter for hver graf.

Graf f går gjennom $(0, 3)$ og $(2, -1)$.

Stigningstallet finner vi med formelen $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

Skjæring med $y$-aksen leser vi av direkte: $b = 3$.

Graf g går gjennom $(0, -2)$ og $(2, -1)$.

Skjæring med $y$-aksen: $b = -2$.

Den grønne trekanten har tre hjørner: der $f$ krysser $x$-aksen, der $g$ krysser $x$-aksen, og der $f$ og $g$ skjærer hverandre.

Nullpunkt til $f$ (der $f(x) = 0$):

Nullpunktet er $\left(\dfrac{3}{2},\ 0\right)$.

Nullpunkt til $g$ (der $g(x) = 0$):

Nullpunktet er $(4,\ 0)$.

Skjæringspunkt mellom $f$ og $g$:

Skjæringspunktet er $(2,\ -1)$.

Areal av trekanten:

Grunnlinjen ligger langs $x$-aksen, mellom $x = \dfrac{3}{2}$ og $x = 4$:

Høyden er den loddrette avstanden fra $x$-aksen ned til skjæringspunktet $(2, -1)$:

Arealet av den grønne trekanten er $\underline{\underline{\dfrac{5}{4} \, \mathrm{e}^2}}$.

Vi tegner grafen til $S(x) = 0{,}75x^3 - 59{,}5x^2 + 1200x$ og den horisontale linjen $y = 5000$ i GeoGebra.

Fra grafen leser vi av at $S(x) = 5000$ når $x \approx 5{,}62$, $x \approx 23{,}71$ og $x = 50$.

Grafen ligger over linjen $y = 5000$ i to intervaller:

• Fra $x \approx 5{,}62$ til $x \approx 23{,}71$
• Fra $x = 50$ til $x = 52$

Siden $x$ representerer hele uker, betyr dette at butikken selger mer enn 5000 par ski:

• Fra uke 6 til og med uke 23 — det gir $23 - 6 + 1 = 18$ uker
• I uke 51 og uke 52 — det gir $2$ uker

Totalt: $18 + 2 = \underline{\underline{20 \text{ uker}}}$

Vi skal finne stigningstallet til den rette linjen gjennom $(0,\, S(0))$ og $(12,\, S(12))$.

Vi beregner funksjonsverdiene:

Stigningstallet til linjen gjennom $(0,\, 0)$ og $(12,\, 7128)$ er:

Fra grafen ser vi sekanten (grønn linje) gjennom de to punktene, og GeoGebra bekrefter $\text{stign} = 594$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte salget med $594$ par ski per uke i løpet av de 12 første ukene etter salgsstart.

Vi regner ut energiinnholdet fra hvert næringsstoff og summerer:

Energiinnholdet i 100 g kokt egg er $\underline{\underline{142{,}6 \, \mathrm{kcal}}}$.

De to eggene veier 125 g med skall. Den spiselige delen er 88 % av totalvekten:

Vi regner ut energiinnholdet i 110 g kokt egg. Vi vet at 100 g gir 142,6 kcal, så:

Vi regner ut hvor mange prosent dette utgjør av dagsbehovet på 3000 kcal:

Eggene utgjorde $\underline{\underline{5{,}2 \,\%}}$ av Tobias’ daglige energibehov.

Vi vet at bestanden starter med 500 dyr og øker med samme antall hvert år. Etter 10 år skal bestanden ha doblet seg til 1000 dyr, altså økt med 500 dyr.

Den årlige økningen er

Den lineære modellen blir dermed

Vi vet at $E(0) = 500$ og $E(10) = 1000$. Vi setter opp modellen $E(x) = 500 \cdot k^x$ og bruker betingelsen for dobling:

Den eksponentielle modellen blir

c og d

Vi definerer differansefunksjonen

Vi tegner grafen til $F$ i GeoGebra, og bruker Extremum for toppunktet og Intersect for skjæringspunktene med $x = 12$ og $y = 12$:

Fra figuren leser vi av:

Toppunkt: Toppunkt = (5.29, 43.04), altså $\underline{\underline{(5{,}29\,;\,43{,}0)}}$.

Skjæring med $x = 12$: SkjaeringVL = (12, -48.7), altså $\underline{\underline{(12\,;\,-48{,}7)}}$.

Skjæring med $y = 12$: SkjaeringHL1 = (0.84, 12) og SkjaeringHL2 = (9.32, 12), altså $\underline{\underline{(0{,}84\,;\,12)}}$ og $\underline{\underline{(9{,}32\,;\,12)}}$.

Praktisk tolkning:

• Toppunktet $(5{,}29\,;\,43{,}0)$: Etter ca. 5,3 år er differansen mellom lineær og eksponentiell modell størst. Da anslår den lineære modellen ca. 43 dyr flere enn den eksponentielle. Det er altså omtrent på dette tidspunktet de to modellene avviker mest fra hverandre i den lineære modellens favør.

• Skjæring med $x = 12$ i $(12\,;\,-48{,}7)$: Etter 12 år gir den eksponentielle modellen ca. 49 dyr mer enn den lineære. Den lineære modellen anslår $L(12) = 1100$ dyr, mens den eksponentielle anslår $E(12) \approx 1149$ dyr. Den eksponentielle veksten har altså passert den lineære.

• Skjæringene med $y = 12$ i $(0{,}84\,;\,12)$ og $(9{,}32\,;\,12)$: I intervallet mellom ca. 0,84 og 9,32 år overestimerer den lineære modellen bestanden med mer enn 12 dyr sammenlignet med den eksponentielle. Utenfor dette intervallet er differansen under 12 dyr (eller negativ).

Celle C4 viser verdifallet fra nyverdi etter 2 år.

Vi regner ut bilens verdi hvert år:

Verdifallet fra nyverdi etter 2 år:

Regnearket har følgende kolonner:

I tillegg trenger vi bilens verdi etter hvert år som hjelpecelle:

• Hjelpecelle F4 (år 1): =390000*(1−B4) → $312\,000 \, \mathrm{kr}$
• Hjelpecelle F5 (år 2): =F4*(1−B5) → $268\,320 \, \mathrm{kr}$
• Hjelpecelle F6 (år 3): =F5*(1−B6) → osv.

Formel for C-kolonnen (verdifall % fra nyverdi):

• C4 (år 1): =(390000−F4)/390000 → $20 \,\%$ ✓
• C5 (år 2): =(390000−F5)/390000 → $31 \,\%$ ✓
• C6–C9 (år 3–6): samme mønster, disse er grønne i oppgavens regneark

Vi legger til to nye kolonner for verdifall i kroner:

Ferdig regneark:

De grønne cellene (C6–C9, alle D- og E-celler) beregnes automatisk av formlene. Alle tall er verifisert med Python.

Fullstendig tabell med verdier:

Vi bruker formelen med $n = 20$:

Marius trenger $\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi skal finne det største hele tallet $n$ slik at $\dfrac{n \cdot (n+1)}{2} \leq 400$.

Vi prøver verdier:

Med 27 etasjer bruker Marius 378 bokser, men til 28 etasjer trengs 406 bokser — det er for mange.

Det største tårnet Marius kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$.

Mønsteret til Maria (figur 2)

Maria stabler i en trekantbasert pyramide (tetraeder). Hvert lag er en trekant sett ovenfra, og hver etasje er selv et triangeltall: øverste lag har 1 boks, neste lag har $1+2 = 3$ bokser, tredje lag har $1+2+3 = 6$ bokser:

Etasje $k$ har altså $\dfrac{k(k+1)}{2}$ bokser (et triangeltall). Det totale antallet bokser i et tårn med $n$ etasjer er summen av disse triangeltallene:

Vi kontrollerer med 3 etasjer: $\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$ bokser (1+3+6=10). ✓

Vi bruker formelen med $n = 20$:

Maria trenger $\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi skal finne det største hele tallet $n$ slik at $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000$.

Vi prøver verdier:

Med 27 etasjer bruker Maria 3654 bokser, men til 28 etasjer trengs 4060 bokser — det er for mange.

Det største tårnet Maria kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$.

Vi regner ut differansene og produktet for hvert kvadrat:

Blått kvadrat (hjørnetall: 1, 2, 11, 12):

Grønt kvadrat (hjørnetall: 27, 28, 37, 38):

Vi prøver med flere 2×2-kvadrater og legger merke til at produktet alltid blir 99.

Algebraisk argument:

La øverst-til-venstre kalles $a$. Siden hvert tall er 1 mer enn naboen til venstre og 10 mer enn tallet rett over, er de fire hjørnetallene:

De to differansene blir:

Produktet er:

Dette gjelder uansett hvilken verdi $a$ har, så produktet er alltid 99 for alle 2×2-kvadrater.

Vi generaliserer til et $s \times s$-kvadrat (dvs. $s$ celler i bredde og høyde).

Algebraisk argument:

La øverst-til-venstre fremdeles være $a$. De fire hjørnetallene er nå:

De to differansene:

Produktet:

Dette er uavhengig av $a$, så produktet avhenger bare av størrelsen $s$.

Oversikt over resultater:

Vi oppdager at differansene vokser lineært med $(s-1)$, og produktet vokser som $(s-1)^2$. For eksempel er produktet for $s=3$ fire ganger så stort som for $s=2$, siden $(3-1)^2 = 4$ og $4 \cdot 99 = 396$.