1P Eksempeloppgave 2015

Vi setter inn $F=86$ i formelen $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$:

Det tilsvarer altså $\underline{\underline{30°\text{C}}}$.

Vi tar utgangspunkt i formelen

og skal løse den med hensyn på $F$. Vi multipliserer først begge sider med ${\displaystyle \frac{9}{5}}$ for å bli kvitt brøken foran parentesen:

Deretter legger vi $32$ til på begge sider:

Formelen for $F$ uttrykt ved $C$ blir dermed

Prosentpoeng finner vi ved å ta differansen mellom de to prosenttallene direkte:

Høyres oppslutning gikk altså fram med $\underline{\underline{\mathrm{9,6}\text{ prosentpoeng}}}$ fra 2009 til 2013.

Her skal vi finne den prosentvise framgangen i antall mandater, altså hvor mange prosent 18 nye mandater (av 48 - 30 = 18) utgjør av de opprinnelige 30 mandatene.

Vi finner endringen i antall mandater:

Deretter finner vi hvor mange prosent denne endringen utgjør av det opprinnelige antallet mandater (30):

Høyre hadde altså en prosentvis framgang på $\underline{\underline{60\%}}$ i antall mandater fra 2009 til 2013.

Siden $D$ ligger mellom $A$ og $B$ på linjestykket $AB$, er

Trekanten $ABC$ er rettvinklet i $B$, med kateter $AB=\mathrm{8,0}\mathrm{m}$ og $BC=\mathrm{6,0}\mathrm{m}$, og hypotenus $AC$. Pytagoras’ setning gir:

Lengden $AC$ er $\underline{\underline{AC=10\mathrm{m}}}$.

Linjestykket $DE$ står vinkelrett på $AB$, og $BC$ står også vinkelrett på $AB$ (siden trekant $ABC$ er rettvinklet i $B$). Da er $DE\parallel BC$.

Trekantene $ADE$ og $ABC$ har da samme vinkel i $A$ (felles vinkel), og begge har en rett vinkel (i henholdsvis $D$ og $B$). To like vinkler betyr at også den tredje vinkelen er lik, så trekantene er formlike (vinkel-vinkel).

Fordi trekantene er formlike, er forholdet mellom samsvarende sider det samme:

Vi setter inn kjente verdier og løser for $DE$:

Lengden $DE$ er $\underline{\underline{DE=\mathrm{3,75}\mathrm{m}}}$.

Firkanten $DBCE$ er et trapes med de parallelle sidene $DE=\mathrm{3,75}\mathrm{m}$ og $BC=\mathrm{6,0}\mathrm{m}$. Høyden i trapeset er avstanden mellom de parallelle sidene langs $AB$, altså $DB=\mathrm{3,0}\mathrm{m}$.

Arealet av et trapes er gitt ved formelen $A={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\cdot h$, der $a$ og $b$ er de parallelle sidene og $h$ er høyden:

Arealet av $DBCE$ er $\underline{\underline{\mathrm{14,625}{\mathrm{m}}^2}}$.

Vi finner noen punkter på grafen ved å sette inn ulike verdier for $x$ i funksjonsuttrykket $T(x)=20x+50$.

Grafen er en rett linje som starter i $(0,50)$ og stiger med $20$ for hver enhet $x$ øker med, altså går den gjennom punktene $(\mathrm{0,50})$, $(\mathrm{5,150})$ og $(\mathrm{10,250})$.

I funksjonsuttrykket $T(x)=20x+50$ er $20$ stigningstallet og $50$ konstantleddet.

Stigningstallet $20$ forteller hvor mye prisen øker for hver kilometer vi kjører, altså at prisen per kilometer er $20\mathrm{kr}$.

Konstantleddet $50$ er verdien til $T$ når $x=0$, altså startprisen (grunnbeløpet) på $50\mathrm{kr}$ som betales uansett hvor langt turen er.

$\underline{\underline{20\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{m}\text{ er prisen per kilometer, }50\mathrm{kr}\text{ er startprisen}}}$

To størrelser er proporsjonale når den ene er en konstant faktor ganger den andre, det vil si at grafen er en rett linje som går gjennom origo $(\mathrm{0,0})$.

Her er $T(0)=20\cdot 0+50=50\ne 0$, så grafen går ikke gjennom origo. Det betyr for eksempel at en dobling av antall kilometer ikke gir en dobling av prisen.

$\underline{\underline{\text{Prisen og antall kilometer er ikke proporsjonale størrelser}}}$

Hendelsene «blått» og «grønt» er disjunkte (pilen kan ikke peke på begge farger samtidig), så vi bruker addisjonssetningen:

$\underline{\underline{P(\text{blått eller grønt})={\displaystyle \frac{5}{8}}=\mathrm{0,625}}}$

Lotte snurrer hjulet to ganger, og resultatet av det ene snurret påvirker ikke resultatet av det andre — utfallene er uavhengige. Vi skal finne sannsynligheten for at hun får én blå og én grønn, og dette kan skje i to rekkefølger: blått først og grønt sist, eller grønt først og blått sist. Vi bruker produktsetningen på hver rekkefølge og legger sammen med addisjonssetningen:

$\underline{\underline{P(\text{én blått og én grønt})={\displaystyle \frac{3}{16}}=\mathrm{0,1875}}}$

Prisen per treningsøkt finner vi ved å dele den faste månedsprisen, $360\mathrm{kr}$, på antall treningsøkter $x$. For eksempel er prisen per økt når $x=1$: $360:1=360\mathrm{kr}$, og når $x=5$: $360:5=72\mathrm{kr}$. Vi regner ut resten av tallene på samme måte.

To størrelser er omvendt proporsjonale når produktet av dem alltid er det samme tallet, uansett hvilket verdipar vi ser på. Vi sjekker dette med tallene fra tabellen i a):

Produktet av antall treningsøkter og pris per økt er alltid $360$. Dermed er pris per treningsøkt og antall treningsøkter omvendt proporsjonale størrelser, og sammenhengen mellom dem er

Vi skal finne de $x$-verdiene som gjør at $18\le T(x)\le 30$, altså $18\le {\displaystyle \frac{360}{x}}\le 30$. Siden $x$ er et antall treningsøkter, er $x>0$, og vi kan derfor løse de to ulikhetene hver for seg ved å gange begge sider med $x$.

Først ulikheten ${\displaystyle \frac{360}{x}}\le 30$:

Deretter ulikheten $18\le {\displaystyle \frac{360}{x}}$:

Til sammen gir dette

Siden antall treningsøkter må være et helt tall, betyr dette at prisen per treningsøkt ligger mellom $18\mathrm{kr}$ og $30\mathrm{kr}$ når du trener mellom $12$ og $20$ ganger i måneden.

Vi fyller ut krysstabellen ved å bruke at hver rad og hver kolonne skal summere seg til tallet i «Sum».

• I raden «Facebook» er summen $24$, og vi vet at $12$ ikke bruker Twitter. Da må $24-12=12$ av Facebook-brukerne også bruke Twitter.
• Sum-kolonnen for Twitter er $13$. Vi har nå $12$ Twitter-brukere som også bruker Facebook, så $13-12=1$ av dem som ikke bruker Facebook, bruker Twitter.
• I raden «Ikke Facebook» er summen $3$, og $1$ av disse bruker Twitter. Da bruker $3-1=2$ av dem ikke Twitter.
• Sum-kolonnen for «Ikke Twitter» blir da $12+2=14$.
• Vi kontrollerer: $13+14=27$, som stemmer med at klassen har $27$ elever.

Eleven vi trekker, bruker Facebook. Vi skal derfor bare se på raden «Facebook» i tabellen, som har $24$ elever totalt. Av disse bruker $12$ også Twitter. Sannsynligheten for at eleven bruker Twitter, gitt at eleven bruker Facebook, blir da

Vi bruker komplementsetningen: sannsynligheten for at minst én av de to elevene bruker Twitter er $1$ minus sannsynligheten for at ingen av dem bruker Twitter.

Av de $27$ elevene i klassen er det $14$ som ikke bruker Twitter (se tabellen i a)). Elevene trekkes uten tilbakelegging.

Sannsynligheten for at den første eleven vi trekker, ikke bruker Twitter:

Når den første eleven er trukket, er det $26$ elever igjen, hvorav $13$ ikke bruker Twitter. Sannsynligheten for at den andre eleven heller ikke bruker Twitter:

Sannsynligheten for at ingen av de to elevene bruker Twitter, blir da

Sannsynligheten for at minst én av elevene bruker Twitter, blir dermed

Vi bruker graftegneren til å finne toppunktet til grafen i intervallet $x\in [0,5]$. Toppunktet vises i utklippet ved $(\mathrm{2,15};\mathrm{866,67})$.

Det betyr at hjortebestanden var størst omtrent $\mathrm{2,15}$ år etter 1. januar 2000, altså i løpet av 2002 (rundt februar/mars 2002). Da var det ca. $867$ hjort i kommunen.

$\underline{\underline{\text{Bestanden var størst etter ca. }\mathrm{2,15}\text{ år, med om lag }867\text{ hjort.}}}$

Vi legger inn linjen $y=850$ og lar graftegneren finne skjæringspunktene med $h$ i intervallet $x\in [0,10]$. Utklippet viser to skjæringspunkter, markert med rødt: $(\mathrm{1,42};850)$ og $(\mathrm{2,95};850)$.

Løsningene av likningen $h(x)=850$ er dermed

Dette forteller at hjortebestanden passerte $850$ dyr to ganger: første gang mens bestanden var voksende, ca. $\mathrm{1,42}$ år etter 1. januar 2000 (i løpet av 2001), og andre gang mens bestanden var avtagende igjen, ca. $\mathrm{2,95}$ år etter 1. januar 2000 (i løpet av 2002/2003). Mellom disse to tidspunktene var det altså flere enn $850$ hjort i kommunen.

Vi finner først funksjonsverdiene i endepunktene:

Punktene $C(4,788)$ og $D(8,524)$ er markert i utklippet, og graftegneren gir linjen $\text{Sekant}$ gjennom disse punktene med stigningstall $\text{Stigning}=-66$.

Stigningstallet finner vi også direkte:

Konstantleddet finnes ved innsetting av $C(4,788)$:

Likningen for den rette linjen blir dermed

Stigningstallet $-66$ forteller at hjortebestanden i gjennomsnitt minket med $66$ hjort per år i perioden fra 2004 til 2008 (fra $x=4$ til $x=8$).

Vi setter opp et regneark med kolonnene A (post), B (timer), C (timelønn/sats) og D (beløp i kroner), og bygger utregningen med formler slik at den regner seg selv ut fra timelønn og timetall:

Noen forklaringer til formlene:

• Timelønnen for overtid bygger på den ordinære timelønnen i C2 (med absolutt referanse $C$2, slik at den ikke endrer seg når formelen kopieres).
• Pensjonstrekket i D6 regner kun av den ordinære lønnen (D2), siden oppgaven sier at det ikke skal trekkes pensjon av overtidslønn.
• Fagforeningskontingenten i D7 er $\mathrm{1,4}\%$ av hele bruttolønnen (D5), slik oppgaveteksten sier.
• Trekkgrunnlaget i D8 er det beløpet Tommy faktisk sitter igjen med etter pensjonstrekk og fagforeningskontingent, og det er dette beløpet skatten skal regnes av.
• Tommy har prosentkort, som betyr at skatten er en fast prosentandel som trekkes av trekkgrunnlaget. Derfor er D9 $=36\%\cdot \text{D8}$.
• Nettolønnen i D10 er trekkgrunnlaget minus skatten.

Når formlene regnes ut med Tommys tall, gir regnearket denne resultattabellen:

$\underline{\underline{\text{Tommys nettolønn}\approx 6\mathrm{333,25}\mathrm{kr}}}$ denne måneden.

Forskjellen mellom Tommy og Tina er at Tinas fagforeningskontingent ikke er en prosent av bruttolønnen, men et fast kronebeløp ($200$ kr). Da må vi endre celle D7 fra en formel som regner ut $\mathrm{1,4}\%$ av bruttolønnen, til rett og slett tallet $200$ skrevet direkte inn i cellen. Skattesatsen hennes ($42\%$ i stedet for $36\%$) må også legges inn i skatteformelen. De øvrige formlene (B–D for lønn, pensjon og nettolønn) kan gjenbrukes uendret, siden strukturen i regnearket er den samme.

I tillegg endrer vi inndataene i B2, C2, B3 og B4 til Tinas timelønn og timetall:

Med disse endringene gir regnearket denne resultattabellen for Tina:

$\underline{\underline{\text{Tinas nettolønn}\approx 8\mathrm{488,30}\mathrm{kr}}}$ denne måneden.

Vi setter opp et regneark der personinntekten og fradraget legges inn øverst, og de andre postene beregnes med formler som bygger på tallene i tabellen i oppgaven. Toppskatten har to trinn som bare slår inn når personinntekten overstiger de to grensene, så disse cellene bruker HVIS.

Formlene i regnearket (2013):

HVIS-formlene sørger for at toppskatten blir $0$ dersom personinntekten ikke overstiger den aktuelle grensen, og at hvert trinn bare regnes av den delen av inntekten som ligger over grensen for det trinnet.

Resultater (personinntekt $550000\mathrm{kr}$, fradrag $140450\mathrm{kr}$):

Personinntekten på $550000\mathrm{kr}$ overstiger den nedre grensen for toppskatt ($509600\mathrm{kr}$), men ikke den øvre grensen ($828300\mathrm{kr}$). Derfor blir toppskatt trinn 2 lik $0\mathrm{kr}$, og all toppskatt kommer fra trinn 1.

$\underline{\underline{\text{Nettoinntekt i 2013}=388790\mathrm{kr}}}$

Vi bruker samme oppsett, men med satsene og grensene for 2014, og med Hannas nye tall: personinntekt $925000\mathrm{kr}$ og fradrag $280950\mathrm{kr}$. Nå overstiger personinntekten begge grensene for toppskatt, så begge trinnene gir et bidrag.

Skatter og avgifter er summen av trygdeavgift, toppskatt og inntektsskatt:

$\underline{\underline{\text{Hanna må betale }293\mathrm{651,50}\mathrm{kr}\text{ i skatter og avgifter i 2014}}}$

Vi setter sparebeløpet ($60000$ kr) og renten ($5\%$) inn i de lyseblå cellene B2 og B3. I celle E3 regner vi ut vekstfaktoren ut fra renten:

Deretter bygger vi opp tabellen: kolonne B viser saldoen ved begynnelsen av året, og kolonne C viser saldoen ved slutten av året (saldo ved begynnelsen multiplisert med vekstfaktoren). Første års begynnelsessaldo er lik sparebeløpet, og fra og med år 2 er begynnelsessaldoen lik forrige års sluttsaldo:

I det faktiske regnearket skrives referansen til vekstfaktoren som $E$3 (absolutt referanse), slik at den ikke endrer seg når formelen dras nedover, mens referansen til forrige rad ($\text{B8}$, $\text{C8}$, osv.) er relativ og flytter seg automatisk én rad ned for hver rad vi drar formelen til.

Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Vi utvider tabellen fra a) nedover ved å dra formlene i B og C videre til flere år, og ser når sluttsaldoen i kolonne C passerer $150000$ kr:

Tabellen viser at saldoen ved slutten av år 18 er $144\mathrm{397,15}$ kr, mens saldoen ved slutten av år 19 er $151\mathrm{617,01}$ kr. Saldoen passerer altså $150000$ kr i løpet av det $19.$ året.

$\underline{\underline{\text{Det tar 19 år før Geir har mer enn }150000\text{ kr på kontoen.}}}$

Vi skal løse likningen $60000\cdot {\mathrm{1,05}}^x=150000$ grafisk. Vi tegner grafen til

sammen med den vannrette linjen $y=150000$, og leser av skjæringspunktet mellom de to grafene:

Grafene skjærer hverandre ved $x\approx \mathrm{18,78}$. Siden renten legges til én gang i året, må vi runde opp til et helt antall år: etter 18 hele år er saldoen fortsatt under $150000$ kr, og først i løpet av det $19.$ året passerer saldoen $150000$ kr. Dette stemmer overens med svaret i b).

$\underline{\underline{\text{Det tar 19 år før Geir har mer enn }150000\text{ kr på kontoen.}}}$

Kontoen har stått urørt i 5 år, og vi kjenner startbeløpet ($60000$ kr) og sluttbeløpet ($75\mathrm{201,21}$ kr). Vi kaller vekstfaktoren $x$. Da er

En vekstfaktor på $x\approx \mathrm{1,0462}$ tilsvarer en årlig rente på

$\underline{\underline{\text{Den årlige renten var }\approx \mathrm{4,6}\%}}$

Overflaten av bassenget er et rektangel som er $\mathrm{25,0}\mathrm{m}$ langt og $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$ bredt. I målestokk $1:250$ blir lengdene på tegningen

Vi tegner altså et rektangel som er $10\mathrm{cm}\times 5\mathrm{cm}$:

Skråplanet $ABCD$ er bunnen i bassenget der dybden endrer seg fra $\mathrm{3,5}\mathrm{m}$ til $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$. Den vannrette lengden av skråplanet (langs bassenget) finner vi ved å trekke fra lengdene til de to flate bunn-delene fra totallengden:

Høydeforskjellen mellom de to dybdene er

Strekningen $AB$ er da hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter $\mathrm{6,25}\mathrm{m}$ og $\mathrm{2,3}\mathrm{m}$. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Skråplanet $ABCD$ er et rektangel med sidene $AB\approx \mathrm{6,66}\mathrm{m}$ og bredden til bassenget, $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$. Arealet blir

Vi deler bassenget i tre deler langs lengden: et rett prisme med dybde $\mathrm{3,5}\mathrm{m}$, skråplanet (et trapesprisme), og et rett prisme med dybde $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$. Alle tre delene har bredde $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$.

Den dype delen har lengde $\mathrm{6,25}\mathrm{m}$, bredde $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$ og dybde $\mathrm{3,5}\mathrm{m}$:

Den grunne delen har lengde $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$, bredde $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$ og dybde $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$:

Skråplandelen har et tverrsnitt formet som et trapes med parallelle sider $\mathrm{3,5}\mathrm{m}$ og $\mathrm{1,2}\mathrm{m}$, og høyde (i lengderetningen) $\mathrm{6,25}\mathrm{m}$. Arealet av trappeset er