10. trinn Vår 2024

Vi lar $v$ være prisen for én voksenbillett og $b$ være prisen for én barnebillett, begge i kr. Ut fra teksten kan vi sette opp to likninger:

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Fra den andre likningen uttrykker vi $b$ ved $v$:

Så setter vi dette uttrykket for $b$ inn i den første likningen:

En voksenbillett koster altså $140\mathrm{kr}$. Vi setter dette inn i uttrykket for $b$:

En barnebillett koster dermed $\underline{\underline{120\mathrm{kr}}}$.

a)

Vi ser på mønsteret i tabellen: Figur 2 har $2$ rader og $3$ kolonner ($6$ ruter), og Figur 4 har $4$ rader og $5$ kolonner ($20$ ruter). Antall rader er altså det samme som figurnummeret, og antall kolonner er én mer enn figurnummeret.

Da må Figur 1 tegnes som et rutenett med $1$ rad og $2$ kolonner, altså $2$ ruter på rad. Figur 3 må tegnes som et rutenett med $3$ rader og $4$ kolonner, altså $12$ ruter i et rektangel.

b)

Vi teller antall ruter i hver figur:

Figur $n$	Rader	Kolonner	Antall ruter
1	1	2	2
2	2	3	6
3	3	4	12
4	4	5	20

Vi ser at antall rader alltid er lik figurnummeret $n$, og antall kolonner alltid er $n+1$. Siden hver figur er et rektangel, er antall ruter lik antall rader multiplisert med antall kolonner:

$$\underline{\underline{\text{Antall ruter i figur }n=n\cdot (n+1)}}$$

Vi kan kontrollere formelen: for $n=4$ får vi $4\cdot 5=20$, som stemmer med Figur 4.

Påstand 1: «Lese bøker er det ungdommer bruker mest tid på.»

I diagrammet ser vi at $64\%$ av ungdommene bruker «ikke noe tid» på å lese bøker. Det betyr at de fleste ungdommene ikke leser bøker i det hele tatt. Dette er den kategorien med aller minst tidsbruk i hele diagrammet, ikke mest. Påstanden er derfor usann.

Påstand 2: «Det er flere som spiller Dataspill/TV-spill enn som ser på TV.»

For «Spille dataspill/TV-spill» bruker $40\%$ ikke noe tid, altså er det $100\%-40\%=60\%$ som spiller noe. For «Se på TV» bruker $29\%$ ikke noe tid, altså er det $100\%-29\%=71\%$ som ser noe TV. Siden $71\%>60\%$, er det flere som ser på TV enn som spiller dataspill/TV-spill. Påstanden er derfor usann.

Påstand 3: «Nesten tre firedeler av ungdommene spiller på telefon/nettbrett.»

For «Spille på telefon/nettbrett» bruker $28\%$ ikke noe tid, altså er det $100\%-28\%=72\%$ som spiller noe. Tre firedeler er $75\%$, og $72\%$ ligger tett opp mot dette. Påstanden er derfor sann.

Påstand 4: «Omtrent 40 % av ungdommene bruker mindre enn en time daglig på sosiale medier.»

Mindre enn en time daglig vil si kategoriene «ikke noe tid», «under 30 minutter» og «30 minutter–1 time». For «Være på sosiale medier» er dette $3\%+9\%+12\%=24\%$. Dette er ikke i nærheten av $40\%$. Påstanden er derfor usann.

Stigningstallet til en rett linje regner vi ut ved å lese av to punkter på linja og bruke formelen

Vi leser av to punkter langt fra hverandre på grafen, for eksempel $(10,145)$ og $(16,169)$. Her er alderen $10$ år og $16$ år, og høyden $145\mathrm{cm}$ og $169\mathrm{cm}$.

Stigningstallet er dermed $\underline{\underline{4}}$. Det betyr at Kristin i gjennomsnitt vokste $4\mathrm{cm}$ per år i denne perioden.

Vi finner først hvor mye prisen er satt ned med. Det gjør Ruben riktig:

Feilen er hva Ruben deler dette tallet på. Når vi skal finne avslaget i prosent, skal vi alltid sammenligne med den opprinnelige prisen, altså prisen før avslaget ($\mathrm{229,00}\mathrm{kr}$) — ikke prisen etter avslaget.

Ruben deler i stedet på tilbudsprisen $\mathrm{206,10}\mathrm{kr}$:

Dette tallet er ikke avslaget i prosent. Det Ruben egentlig har regnet ut, er hvor mange prosent tilbudsprisen må økes for å komme tilbake til den opprinnelige prisen på $\mathrm{229,00}\mathrm{kr}$.

Riktig metode er å dele avslaget på den opprinnelige prisen:

Ruben har altså regnet feil. Han har delt på feil pris, og det riktige svaret er at avslaget er $\underline{\underline{10\%}}$, ikke $11\%$.

Dette er en åpen oppgave. Vi kan velge sidekanter fritt, så lenge de er realistiske for en matboks som skal ligge i en skolesekk. Vi velger:

• Lengde: $l=18\mathrm{cm}$
• Bredde: $b=12\mathrm{cm}$
• Høyde: $h=6\mathrm{cm}$

Disse målene er realistiske fordi en matboks på ca. $18\mathrm{cm}\times 12\mathrm{cm}\times 6\mathrm{cm}$ er stor nok til å romme en matpakke, men samtidig liten nok til å få plass i en skolesekk sammen med bøker og annet utstyr.

Volumet av et rett prisme finner vi ved å multiplisere lengde, bredde og høyde:

Siden $1000{\mathrm{cm}}^3=1\mathrm{L}$, tilsvarer dette omtrent

Matboksen til Lise rommer altså omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,3}\text{ liter}}}$, som er en fornuftig størrelse på en matboks.

Merk: Andre fornuftige mål gir også full uttelling, så lenge de er realistiske for en matboks (verken altfor liten eller altfor stor) og volumet er regnet ut riktig ut fra de valgte målene.

Hele figuren er et stort kvadrat med sidekant $a+b$. I nedre høyre hjørne er det trukket fra et lite kvadrat med sidekant $b$ — det er gressplenen. Arealet av hytta er da arealet av hele kvadratet minus arealet av gressplenen.

Vi kan også dele hytta opp i to rektangler, uten å bruke det store kvadratet:

• Et rektangel øverst, med sidekantene $a+b$ og $a$.
• Et rektangel nederst til venstre, med sidekantene $a$ og $b$.

Arealet av det øverste rektangelet er

Arealet av det nederste rektangelet er

Det totale arealet av hytta er summen av de to rektanglene:

Vi kan kontrollere svaret ved å regne på den andre måten, med det store kvadratet minus gressplenen. Det store kvadratet har sidekant $a+b$, og arealet er

Gressplenen har sidekant $b$, og arealet er $b^2$. Arealet av hytta blir da

Begge metodene viser at arealet av hytta kan skrives som $\underline{\underline{a^2+2ab}}$.

Begge diagrammene viser de samme fire prisene, men andreaksen (loddrett akse) er ikke lik i de to diagrammene.

I Ida sitt diagram starter andreaksen på $0\mathrm{kr}$ og går opp til $250\mathrm{kr}$. Da er høyden på søylene proporsjonal med prisen — en søyle som er dobbelt så høy, viser en pris som er dobbelt så stor. Diagrammet gir derfor et riktig bilde av hvor store prisene faktisk er, og hvor store forskjellene mellom butikkene er i forhold til prisnivået.

I Juan sitt diagram starter andreaksen på $180\mathrm{kr}$ og går bare opp til $215\mathrm{kr}$. Aksen er «avkortet» (klippet av nederst). Det gjør at små forskjeller i pris blir vist som store forskjeller i søylehøyde. To priser som i virkeligheten bare skiller $5$–$10\mathrm{kr}$, kan se ut som om den ene søylen er mange ganger høyere enn den andre. Diagrammet overdriver dermed forskjellene mellom butikkene.

Juan sitt diagram kan likevel være nyttig hvis man bare vil se de små forskjellene mellom butikkene tydeligere, for eksempel for å avgjøre hvilken butikk som er billigst. Men det gir et feil inntrykk av hvor store forskjellene egentlig er i kroner og øre.

Siden Ida sitt diagram viser søylehøyder som er proporsjonale med de faktiske prisene, gir det det mest ærlige og beste bildet av matvareprisene i de fire butikkene.

Andre gode og godt begrunnede vurderinger av diagrammene gir også uttelling.

a)

Vi tegner grafene til de tre funksjonene i GeoGebra.

$f(x)=200x+40$ er en $\text{lineær funksjon}$. Grafen er en rett linje. Konstantleddet er $40$, så linja skjærer andreaksen i punktet $(0,40)$. Stigningstallet er $200$, som betyr at $f(x)$ øker med $200$ hver gang $x$ øker med $1$. Grafen stiger jevnt hele veien.

$h(x)=-100x$ er også en $\text{lineær funksjon}$, men her er konstantleddet $0$. Det betyr at grafen går gjennom origo, punktet $(0,0)$. Vi sier at $h$ er proporsjonal. Stigningstallet er $-100$, altså negativt, så $h(x)$ minker med $100$ hver gang $x$ øker med $1$. Grafen synker jevnt.

$g(x)={\displaystyle \frac{1000}{x}}+80$ er en $\text{omvendt proporsjonal funksjon}$ pluss et tillegg på $80$. Uttrykket er ikke definert for $x=0$, siden vi ikke kan dele på $0$. Grafen synker når $x$ øker, men den synker raskere i starten enn lenger ute. Når $x$ blir stor, blir $\frac{1000}{x}$ nesten $0$, og verdiene til $g(x)$ nærmer seg $80$. Grafen er en hyperbelgren som flater ut mot linja $y=80$ uten noen gang å nå den helt.

b)

Vi velger $f(x)=200x+40$.

Uttrykket kan beskrive prisen for å leie en elsparkesykkel. Konstantleddet $40$ er en fast startpris (åpningsgebyr) på $40\mathrm{kr}$ som du betaler uansett hvor lenge du leier. Stigningstallet $200$ er prisen per time, $200\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}$. Da vil $f(x)$ være totalprisen i kroner for å leie sparkesykkelen i $x$ timer.

Andre forslag som også passer:

• $g(x)={\displaystyle \frac{1000}{x}}+80$ kan være hvor mye hver person må betale når en fast utgift på $1000\mathrm{kr}$ (for eksempel leie av hytte) deles likt på $x$ personer, i tillegg til at hver person betaler $80\mathrm{kr}$ i et eget bidrag.
• $h(x)=-100x$ kan være saldoen på en konto som starter på $0\mathrm{kr}$, når du bruker $100\mathrm{kr}$ hver dag i $x$ dager. Da viser $h(x)$ hvor mye du “skylder” (et negativt beløp).

Andre fornuftige og realistiske forslag til situasjoner gir også full uttelling.

a)

Vi fullfører regnearket ved å regne ut rente, gebyr og ny gjeld for hver måned. Gjelda etter én måned blir lånebeløpet for neste måned – dette er rentesrente, fordi vi betaler rente av renta fra tidligere måneder også.

I regnearket har vi Lån i kolonne B, Rente i kolonne C, Gebyr i kolonne D og Gjeld i kolonne E, med data fra rad 2 (Måned 1). Formlene i rad 2 er:

• C2 = B2*0,015 (renta er $\mathrm{1,5}\%$ av lånet den måneden)
• D2 = 15 (fast termingebyr)
• E2 = B2+C2+D2 (ny gjeld)
• B3 = E2 (gjelda blir lånebeløpet neste måned)

Disse formlene fylles nedover til rad 13 (Måned 12).

Måned	Lån	Rente	Gebyr	Gjeld
1	7 750,00	116,25	15,00	7 881,25
2	7 881,25	118,22	15,00	8 014,47
3	8 014,47	120,22	15,00	8 149,69
4	8 149,69	122,25	15,00	8 286,93
5	8 286,93	124,30	15,00	8 426,24
6	8 426,24	126,39	15,00	8 567,63
7	8 567,63	128,51	15,00	8 711,14
8	8 711,14	130,67	15,00	8 856,81
9	8 856,81	132,85	15,00	9 004,66
10	9 004,66	135,07	15,00	9 154,73
11	9 154,73	137,32	15,00	9 307,05
12	9 307,05	139,61	15,00	9 461,66

Etter 12 måneder skylder Trond $9\mathrm{461,66}\mathrm{kr}$. Han lånte opprinnelig $7500\mathrm{kr}$, så utsettelsen koster

$$9\mathrm{461,66}-7500=1\mathrm{961,66}\mathrm{kr}$$

$\underline{\underline{\text{Utsettelsen koster }1\mathrm{961,66}\mathrm{kr}}}$ – altså nesten $2000\mathrm{kr}$ i tillegg til selve lånebeløpet.

Her regner vi kostnaden ut fra de $7500\mathrm{kr}$ Trond faktisk trengte, ikke ut fra $7750\mathrm{kr}$. Etableringsgebyret på $250\mathrm{kr}$ er nemlig også en del av det utsettelsen koster ham. At dette er riktig tolkning, ser vi i oppgave b): det er nettopp $1\mathrm{961,66}$ av $7500$ som gir den effektive renta på omtrent $26\%$ som oppgaven ber oss vise.

b)

Effektiv rente er hele kostnaden ved lånet – renter, etableringsgebyr og termingebyrer til sammen – regnet i prosent av det beløpet Trond faktisk låner, altså $7500\mathrm{kr}$ (ikke $7750\mathrm{kr}$, som inkluderer etableringsgebyret).

Vi bruker kostnaden fra a):

$$\frac{1\mathrm{961,66}}{7500}\cdot 100\%\approx \mathrm{26,16}\%\approx 26\%$$

$\underline{\underline{\text{Effektiv rente}\approx 26\%}}$

Det er verdt å legge merke til hvor mye gebyrene betyr her. Hvis vi bare hadde regnet med den månedlige renta på $\mathrm{1,5}\%$, ville vekstfaktoren over 12 måneder vært ${\mathrm{1,015}}^{12}\approx \mathrm{1,1956}$, altså en effektiv rente på bare ca. $\mathrm{19,6}\%$. Etableringsgebyret på $250\mathrm{kr}$ og de tolv termingebyrene på $15\mathrm{kr}$ løfter dermed den effektive renta helt opp til ca. $26\%$.

Kulene trekkes uten tilbakelegging. Det betyr at når vi har trukket den første kula, er det én kule mindre igjen i skålen, og sannsynligheten for den andre trekningen endrer seg. Vi bruker et valgtre/produktsetningen: $P(\text{to blå})=P(\text{blå først})\cdot P(\text{blå etterpå})$.

Skål 1 (3 blå og 2 røde, 5 kuler totalt)

Skål 2 (2 blå og 3 røde, 5 kuler totalt)

Skål 3 (2 blå og 1 rød, 3 kuler totalt)

Skål 4 (5 blå og 3 røde, 8 kuler totalt)

Vi sammenligner de fire sannsynlighetene:

Skål 4 har den høyeste sannsynligheten for å trekke to blå kuler, med ${\displaystyle \frac{5}{14}}\approx \mathrm{35,7}\%$.

Legg merke til at skål 3 og skål 4 ligger tett. Skål 3 har faktisk den største andelen blå kuler til å begynne med ($2$ av $3$, altså $\approx 67\%$, mot $5$ av $8=\mathrm{62,5}\%$ i skål 4). Men i skål 3 er det bare tre kuler, så når vi har trukket én blå, er det bare én blå igjen av to kuler — sannsynligheten faller helt ned til $\frac{1}{2}$. I skål 4 er det flere kuler, så andelen blå holder seg høyere også i den andre trekningen ($\frac{4}{7}\approx 57\%$). Det er derfor skål 4 vinner.

Den lineære modellen ($g$)

Grafen til $g$ er en rett linje fra origo $(0,0)$ til punktet $A(6,30000)$. En rett linje betyr at antall følgere øker med samme antall hver måned.

Stigningstallet finner vi ved å dele veksten i antall følgere på antall måneder:

Modellen blir da

Denne modellen sier at Nikoline får $5000$ nye følgere hver eneste måned, uansett hvor mange følgere hun allerede har.

Den eksponentielle modellen ($f$)

Grafen til $f$ ligger nær null de første månedene, og stiger deretter svært bratt mot slutten. Det er typisk for eksponentiell vekst: antall følgere vokser med en fast faktor hver måned, ikke med et fast antall.

Fra måned $0$ til måned $6$ vokser antallet følgere fra $30$ til $30000$, altså $1000$ ganger så mange. Vi kan prøve oss fram til hvilken vekstfaktor per måned dette svarer til. Prøver vi faktor $3$:

Det er i overkant av $30000$, men ikke veldig langt unna, så vekstfaktoren per måned må være litt over $3$. Modellen kan da skrives omtrent som

Denne modellen sier at antall følgere blir litt over tre ganger så stort for hver måned som går.

Sammenligning

Begge grafene starter lavt og går gjennom samme punkt $(6,30000)$, men de beskriver helt forskjellig vekst:

• $g$ (lineær) øker med det samme antallet følgere hver måned.
• $f$ (eksponentiell) øker lite i starten, men svært raskt mot slutten, fordi veksten er en fast faktor og ikke et fast antall.

I virkeligheten passer den eksponentielle modellen ofte best for vekst i følgere på sosiale medier, fordi flere følgere gjør at enda flere oppdager og følger kontoen — veksten «bygger på seg selv».

a)

Programmet spør først brukeren om å skrive inn radius til den minste kula og radius til den største kula.

Deretter regner programmet ut volumet til hver av de to kulene, med formelen for volumet av en kule:

$$V=\frac{4\pi r^3}{3}$$

I koden er $\pi$ satt til $\mathrm{3,14}$.

Til slutt deler programmet volumet til den store kula på volumet til den lille kula, og skriver ut dette forholdet. Forholdet forteller hvor mange ganger så stort volumet til den store kula er, sammenlignet med den lille.

b)

Vi kan sjekke resultatet fra testkjøringen ved å regne ut volumene selv, med $r=2$ og $r=4$:

$$V(2)=\frac{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot 2^3}{3}=\frac{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot 8}{3}\approx \mathrm{33,5}$$

$$V(4)=\frac{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot 4^3}{3}=\frac{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot 64}{3}\approx \mathrm{267,9}$$

$$\frac{V(4)}{V(2)}=\frac{\mathrm{267,9}}{\mathrm{33,5}}\approx \mathrm{8,0}$$

Dette stemmer med testkjøringen i programmet, som ga forholdet $\mathrm{8,0}$.

Grunnen til at volumet blir $8$ ganger så stort når radien dobles, er at radien er opphøyd i tredje potens i volumformelen. Når $r$ dobles, blir $r^3$ dermed

$${(2r)}^3=2^3\cdot r^3=8\cdot r^3$$

altså $8$ ganger så stor. Siden volumet er proporsjonalt med $r^3$, blir også volumet $8$ ganger så stort.

Numerisk kontroll av de to kvadratene i figuren

Det røde kvadratet har tallene $12,13,17,18$:

Det blå kvadratet har tallene $4,5,9,10$:

Begge kvadratene gir differansen $5$, akkurat som jentene fant.

Flere kvadrater i rutetabellen

Prøver vi flere $2\times 2$-kvadrater andre steder i rutetabellen, for eksempel $1,2,6,7$, får vi

Det stemmer altså også her. Det tyder på at differansen alltid er $5$, uansett hvor i rutetabellen vi velger et $2\times 2$-kvadrat.

Generell bevis med algebra

Rutetabellen har $5$ tall i hver rad. Det betyr at tallet rett under et tall $n$, er $5$ mer enn $n$, altså $n+5$.

Vi kaller det øverste, venstre tallet i et vilkårlig $2\times 2$-kvadrat for $n$. Tallet til høyre for $n$ er da $n+1$. Tallet rett under $n$ er $n+5$, og tallet i det siste hjørnet, diagonalt fra $n$, er dermed $n+6$. De fire tallene i kvadratet er altså $n$, $n+1$ (øverste rad) og $n+5$, $n+6$ (nederste rad).

Diagonalproduktene blir

Differansen mellom det største og det minste produktet blir

Leddene $n^2$ og $6n$ kansellerer hverandre, og igjen står bare tallet $5$. Dette viser at differansen er $5$ uansett hvilket tall $n$ er, altså uansett hvor i rutetabellen kvadratet ligger.

Utvidelse — hva om kvadratet er større, eller rutetabellen er bredere?

Sammenhengen kan generaliseres videre. I en rutetabell med $k$ tall per rad (her er $k=5$), blir differansen for et $2\times 2$-kvadrat lik $k$.

For et $3\times 3$-kvadrat i denne rutetabellen (med $5$ tall per rad) blir differansen mellom hjørneproduktene $2\cdot 5\cdot 2=20$. Vi kan sjekke dette med et eksempel fra figuren, kvadratet med hjørnene $1,3,11,13$:

Det stemmer med det generelle mønsteret.

Andre gode utforskninger og algebraiske generaliseringer av mønsteret gir også full uttelling.

Hvor lenge dusjer elevene, og er det forskjell på gutter og jenter?

Vi sorterer tallene fra minst til størst, slik at det blir lettere å finne sentralmål og spredningsmål.

Gutter (14 elever):

Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle tallene og dele på antall elever:

Det er 14 elever, altså et partall, så medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (nummer 7 og 8 i den sorterte lista):

Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Her forekommer $5$, $10$ og $18$ hver to ganger, så datasettet har flere typetall.

Variasjonsbredden viser hvor stor spredning det er i materialet, og finnes ved å trekke minste verdi fra største verdi:

Jenter (15 elever):

Her er det 15 elever, altså et oddetall, så medianen er det midterste tallet (nummer 8 av 15):

Typetallet er $15$, siden dette tallet forekommer tre ganger — flere enn noe annet tall.

Sammenligning. Vi setter resultatene inn i et søylediagram, slik Emma og Lucas kunne ha gjort i et regneark:

Jentene bruker i gjennomsnitt om lag $3\min$ lenger tid på å dusje enn guttene ($\mathrm{14,4}$ mot $\mathrm{11,5}\min$), og medianen deres er $2\min$ høyere. Spredningen er tydelig størst hos jentene: variasjonsbredden er $35\min$ mot $21\min$ hos guttene.

Gjennomsnittet blir dratt opp av noen få elever med svært lang dusjetid — særlig jentene med $30$ og $40\min$, og gutten med $25\min$. Disse ekstremverdiene påvirker ikke medianen like mye. Medianen gir derfor et mer typisk bilde av hvor lenge en vanlig elev i klassen dusjer, mens gjennomsnittet og variasjonsbredden viser at det finnes noen elever som skiller seg mye ut.

Hva koster det å dusje?

Kostnaden ved å dusje avhenger av flere ting: hvor mye vann som brukes per minutt, prisen på vannet, og hvor mye energi som trengs for å varme det opp. Ingen av disse tallene er oppgitt i oppgaveteksten (bortsett fra strømprisen og vanntemperaturene), så vi må selv velge forutsetninger som er realistiske, og oppgi dem tydelig.

Forutsetninger vi velger:

• Dusjen bruker $9$ liter vann per minutt (en vanlig sparedusj).
• Vannet fra springen holder $10°\mathrm{C}$ og varmes opp til $70°\mathrm{C}$ i varmtvannsberederen, altså en temperaturøkning på $60°\mathrm{C}$, slik oppgaven opplyser.
• Strømprisen er $\mathrm{1,00}\mathrm{kr}$ per kWh, slik oppgaven opplyser.
• Vannprisen er $\mathrm{0,02}\mathrm{kr}$ per liter, slik oppgaven opplyser.

Energikostnad for å varme opp 1 liter vann. 1 liter vann veier 1 kg. Vi bruker formelen fra oppgaveteksten:

Vi gjør om til kWh:

Med strømpris $\mathrm{1,00}\mathrm{kr}$ per kWh koster oppvarmingen av 1 liter vann:

Total pris per liter varmt dusjvann. Vi legger sammen prisen på selve vannet og prisen på oppvarmingen:

Modell. Kostnaden $K$ (i kroner) som funksjon av vannforbruket $x$ (i liter) blir da en lineær sammenheng som går gjennom origo:

Kostnad ved en dusj på 10 minutter. Med $9$ liter per minutt blir vannforbruket:

Kostnad over et år. Dusjer man 10 minutter hver dag i et år (365 dager):

Vurdering av modellen. Regnestykket bygger på forutsetninger vi selv har valgt (vannmengde per minutt), og på opplysningene som er gitt i oppgaven (vannpris, strømpris og temperaturer). Endres vannmengden per minutt, dusjetiden, strømprisen eller vanntemperaturen, endres også kostnaden. Modellen $K(x)=\mathrm{0,09}x$ er dessuten en forenkling: den regner med at prisen per liter er konstant hele veien, og tar ikke hensyn til at kaldtvannstemperaturen varierer med årstiden, eller at vann- og avløpsavgiften ofte har et fastledd i tillegg til literprisen. Modellen gir likevel et fornuftig anslag på hvordan kostnaden øker med vannforbruket.