10. trinn Vår 2022

Vi kaller prisen på én sjokolade for $s$ og prisen på én vannflaske for $v$. Da kan vi skrive opplysningene som to likninger:

Vi bruker eliminasjonsmetoden. For å bli kvitt $v$, ganger vi den første likningen med 3, slik at begge likningene har $3v$:

Nå trekker vi den andre likningen fra denne:

Vi løser for $s$:

Til slutt setter vi $s=11$ inn i den første likningen for å finne $v$:

Kontroll: $2\cdot 11+18=40$ ✓ og $4\cdot 11+3\cdot 18=44+54=98$ ✓

Én sjokolade koster altså $\underline{\underline{11\mathrm{kr}}}$, og vannflasken koster $18\mathrm{kr}$.

Vi leser av grafen for hver påstand.

Påstand 1: Ved 40 km/h leser vi av at bremselengden er omtrent 8 m. Dette stemmer med påstanden, så den er korrekt.

Påstand 2: Vi følger den vannrette linja fra 15 m bort til kurven, og ser at det svarer til omtrent 55 km/h. Bremselengden er altså under 15 m helt til farten passerer omtrent 55 km/h, så påstanden er korrekt.

Påstand 3: Ved 80 km/h er bremselengden omtrent 31 m. Halverer vi farten til 40 km/h, er bremselengden omtrent 8 m — det er langt mindre enn halvparten av 31 m (som ville vært ca. 15,5 m). Grafen er ikke en rett linje gjennom origo, så bremselengden halveres ikke når farten halveres. Påstanden er ikke korrekt.

Påstand 4: Ved 70 km/h er bremselengden omtrent 24 m, altså under 30 m. Bremselengden passerer 30 m først et stykke over 70 km/h (rundt 75–76 km/h), så det stemmer ikke at all fart over 70 km/h gir bremselengde over 30 m. Påstanden er ikke korrekt.

Dette er en åpen oppgave — det finnes ikke bare ett riktig svar. Vi kan velge en hvilken som helst positiv verdi for $a$, så lenge lengden er $a$ og bredden er $2a$, altså dobbelt så stor som lengden.

Merk at oppgaven er formulert litt uvanlig: vanligvis er lengden den lengste siden i et rektangel, men her er bredden ($2a$) større enn lengden ($a$).

Vi velger for eksempel $a=3$:

• Lengde: $a=3\mathrm{cm}$
• Bredde: $2a=2\cdot 3=6\mathrm{cm}$

Da er bredden ($6\mathrm{cm}$) dobbelt så stor som lengden ($3\mathrm{cm}$), slik oppgaven krever.

Svar: Lengde $\underline{\underline{3\mathrm{cm}}}$ og bredde $\underline{\underline{6\mathrm{cm}}}$ (eller et hvilket som helst annet talpar $a$ og $2a$).

Papirkvadratet har sidelengde 10 cm. I hvert hjørne klippes det bort et lite kvadrat med sidelengde 2,5 cm.

Når esken brettes opp, blir det hjørnekvadratet klippet bort, høyden til esken, altså $\mathrm{2,5}\mathrm{cm}$.

Bunnen av esken (grunnflaten) blir det som er igjen av sidelengden når vi trekker fra et hjørnekvadrat i hver ende:

Grunnflaten er dermed et kvadrat med sidelengde 5 cm, og arealet av grunnflaten blir:

Volumet av esken finner vi ved å gange grunnflaten med høyden:

Riktig svar er derfor $\underline{\underline{\mathrm{62,5}{\mathrm{cm}}^3}}$.

Det store rektangelet har sidekantene 70 og 30, så hele arealet er

Rektangelet er delt inn i fire mindre rektangler:

• Grønt (øverst, bredt): $3\cdot 68=204$
• Lilla (øverst til høyre, smalt): $3\cdot 2=6$
• Rosa (nederst til høyre): $27\cdot 2=54$
• Cyan (det store feltet): $68\cdot 27$ — dette er akkurat produktet vi skal finne

De fire delarealene skal til sammen bli like store som hele rektangelet:

Da må $68\cdot 27$ være det som er igjen når vi trekker fra de tre andre feltene:

Altså er $\underline{\underline{68\cdot 27=1836}}$, slik figuren viser.

Hver billettype har sin egen pris, og inntekten fra én billettype er prisen multiplisert med antallet solgte billetter av den typen.

• Voksenbilletter koster $315\mathrm{kr}$, og det selges $x$ stykker: inntekten blir $315x$ kr.
• Honnørbilletter koster $250\mathrm{kr}$, og det selges $z$ stykker: inntekten blir $250z$ kr.
• Barnebilletter koster $210\mathrm{kr}$, og det selges $y$ stykker: inntekten blir $210y$ kr.

Totalinntekten $B$ er summen av disse tre:

De andre alternativene stemmer ikke:

• $B=x+z+y$ teller bare antall solgte billetter, uten å ta hensyn til prisene.
• $B=775$ er bare summen av de tre prisene ($315+250+210=775$) og sier ingenting om hvor mange billetter som er solgt.
• $B=x\cdot z\cdot y$ multipliserer antallene med hverandre i stedet for å gange hvert antall med sin pris.

Bakterietallet øker med $10\%$ hver dag, så vekstfaktoren er $\mathrm{1,10}$.

Trinnvis:

$10\%$ av $15000$ er $1500$. Etter dag 1 er det da

$10\%$ av $16500$ er $1650$. Etter dag 2 er det da

Alternativt med vekstfaktor to ganger:

Etter to dager er det altså $\underline{\underline{18150}}$ bakterier i skålen.

Vi kjenner igjen hver graf på formen til funksjonsuttrykket:

• $i(x)=x^2+7x+12$ er en andregradsfunksjon. Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel med et bunnpunkt (eller topp­punkt). Det stemmer med grafen øverst til venstre, som har et bunnpunkt like til venstre for $y$-aksen.

• $f(x)=2x+3$ er en lineær funksjon med stigningstall 2. Grafen er en rett linje. Det stemmer med den rette, stigende linja øverst til høyre.

• $g(x)={\mathrm{1,2}}^x$ er en eksponentialfunksjon. Slike funksjoner vokser sakte i starten og stadig raskere etter hvert, og verdien er alltid positiv. Det stemmer med kurven nederst til venstre.

• $h(x)={\displaystyle \frac{40}{x}}$ er omvendt proporsjonal med $x$. Grafen er en hyperbel med to grener, og funksjonen er ikke definert for $x=0$. Det stemmer med grafen nederst til høyre, som har to grener.

I funksjonsuttrykket

er $f(x)$ de totale utgiftene til Hanna når hun leier lokalet.

Tallet $2500$ er konstantleddet. Det er en fast utgift som kommer uansett hvor stor $x$ er, for eksempel selve leieprisen for lokalet.

Tallet $100$ er stigningstallet. Det forteller hvor mye utgiftene øker for hver enhet $x$ øker med, altså en variabel kostnad per enhet.

Oppgaveteksten forklarer ikke hva $x$ egentlig er. Det er en svakhet ved oppgaven. Vi kan for eksempel tolke $x$ som antall gjester i festen: da betyr uttrykket at Hanna må betale $2500$ kr i fast leie, pluss $100$ kr for hver gjest som kommer.

Med denne tolkningen, hvis $x=30$ gjester kommer:

Utgiftene ved $30$ gjester blir dermed $\underline{\underline{5500\mathrm{kr}}}$, som viser hvordan de faste og variable utgiftene til sammen bestemmer totalutgiften.

La sidene i ett av rektanglene være $x$ og $y$.

Omkretsen til hvert rektangel er $30$ cm, så

Se på figuren: langs hver side av det store kvadratet ligger en lang side og en kort side av et rektangel etter hverandre. Sidelengden i det store kvadratet er derfor

Omkretsen til det store kvadratet er fire ganger denne sidelengden:

Vi trenger altså ikke å kjenne $x$ og $y$ hver for seg — det holder å vite at $2x+2y=30$, siden omkretsen til det store kvadratet nettopp er det dobbelte av dette uttrykket.

Omkretsen til det store kvadratet er dermed $\underline{\underline{60\mathrm{cm}}}$.

Summen av to tall blir et partall bare når begge tallene er partall, eller begge tallene er oddetall (partall + partall = partall, oddetall + oddetall = partall, mens partall + oddetall = oddetall).

Blant tallene $1,2,3,4,5$ er det to partall ($2$ og $4$) og tre oddetall ($1,3,5$).

Metode 1: Telle opp alle par

Alle mulige par vi kan trekke (uten hensyn til rekkefølge) er:

Det er til sammen $10$ mulige par.

Par med to partall: $\{\mathrm{2,4}\}$ — det er $1$ par. Par med to oddetall: $\{\mathrm{1,3}\},\{\mathrm{1,5}\},\{\mathrm{3,5}\}$ — det er $3$ par.

Til sammen gir $1+3=4$ av de $10$ parene en partallssum:

Metode 2: Produktsetningen

Vi kan også regne ut sannsynligheten ved å trekke to kort etter hverandre uten tilbakelegging. Sannsynligheten for partallssum er sannsynligheten for at begge kortene er oddetall, pluss sannsynligheten for at begge er partall:

Begge metodene viser at sannsynligheten for å trekke to kort med partallssum er $\underline{\underline{40\%}}$, slik oppgaven ber om å argumentere for.

Vi setter inn $n=1$, $n=2$ og $n=3$ i formelen:

Mønsteret skal altså ha $3$, $6$ og $11$ elementer i de tre første figurene. Leddet $n^2$ passer godt med et kvadrat av ruter — et kvadrat med sidelengde $n$ har nettopp $n\cdot n$ ruter. Leddet $+2$ er likt for alle figurene, så vi legger til to ekstra ruter på samme måte i hver figur.

Vi lager mønsteret slik: figur $n$ består av et $n\times n$-kvadrat av ruter (grønt), pluss to ekstra ruter (oransje) festet til høyre for kvadratet, i bunnraden:

• Figur 1: $1\cdot 1=1$ rute i kvadratet $+2$ ruter $=3$ ruter.
• Figur 2: $2\cdot 2=4$ ruter i kvadratet $+2$ ruter $=6$ ruter.
• Figur 3: $3\cdot 3=9$ ruter i kvadratet $+2$ ruter $=11$ ruter.

Antallet stemmer med formelen $F_n=n^2+2$ for alle tre figurene, og de to ekstra rutene er de samme i hver figur, så mønsteret er gjenkjennelig.

Det finnes mange andre riktige svar. Det avgjørende er ikke akkurat hvordan figuren ser ut, men at antallet elementer stemmer med $3$, $6$ og $11$, og at det er et tydelig, gjenkjennelig mønster — for eksempel at de to ekstra elementene ligger på samme sted i alle figurene.

Av grafen leser vi av to punkter på linja:

• Linja skjærer $y$-aksen i $3$, altså punktet $(0,3)$.
• Linja skjærer $x$-aksen i $-1$, altså punktet $(-1,0)$.

Stigningstallet er endringen i $y$ delt på endringen i $x$ mellom de to punktene:

Vi kan også tenke på det slik: hvis vi går $1$ enhet til høyre fra et punkt på linja, må vi gå $3$ enheter opp for å komme tilbake på linja. Det stemmer med det vi ser på figuren fra punktet $(-1,0)$ til $(0,3)$.

Stigningstallet til grafen er dermed $\underline{\underline{3}}$.

I den blå rammen går Ahmad fra

til

Det Ahmad har gjort, er å trekke fra $12$ på begge sider av likhetstegnet:

Dette er korrekt, fordi en likning er en påstand om at det som står på venstre og høyre side av likhetstegnet, er like store. Hvis vi gjør nøyaktig det samme med begge sidene — her trekker fra $12$ på begge sider — forblir likningen sann. Likevekten mellom sidene bevares.

Hensikten med å trekke fra $12$ er å få leddet med $x$ alene på venstre side av likhetstegnet, slik at Ahmad kan jobbe videre mot å finne $x$.

(Resten av utregningen hans, som gir $3x=-9$ og til slutt $x=-3$, er også riktig, men oppgaven spør bare om det som skjer i den blå rammen.)

Det Ahmad har gjort i den blå rammen — å trekke fra $12$ på begge sider av likhetstegnet — er $\underline{\underline{\text{korrekt}}}$.

Grafen viser riktige tall fra SSB, men er satt sammen på en måte som overdriver hvor stor nedgangen er.

Avkortet $y$-akse. Aksen starter ikke på $0$, men på omtrent $51000$. Utslippene gikk ned fra ca. $54700$ i 2012 til ca. $52000$ i 2018, altså en nedgang på omtrent

En nedgang på ca. $5\%$ er reell, men ikke dramatisk. Fordi aksen bare dekker et lite tallområde ($51000$–$55000$), fyller denne nedgangen nesten hele høyden på diagrammet. Hadde aksen startet på $0$, ville kurven sett nesten flat ut, og nedgangen hadde virket langt mindre imponerende.

Årsak eller tilfeldighet? Overskriften «Klimautslippene går ned med Venstre i regjering» antyder at det er Venstre som har forårsaket nedgangen. Grafen viser bare at to ting skjedde i samme tidsrom — det er samvariasjon, ikke bevis for årsakssammenheng. Utslipp påvirkes av mange faktorer (økonomi, teknologi, vær, internasjonale forhold), så grafen alene kan ikke dokumentere at det var Venstres politikk som ga nedgangen.

Utviklingen er ikke jevn. Fra 2014 til 2015 økte faktisk utslippene, selv om totaltrenden 2012–2018 er nedadgående. Overskriften skjuler denne svingningen og gir inntrykk av en jevn nedgang.

Venstres rolle i perioden. Venstre var bare støtteparti for regjeringen fra 2013 til 2017, og satt selv i regjering først fra januar 2018 — altså bare det siste året av de seks som vises på grafen. Å tilskrive hele perioden 2012–2018 til «Venstre i regjering» er derfor misvisende.

Valg av tidsrom. Start- og sluttår (2012 og 2018) er valgt av partiet selv. Et annet tidsrom kunne gitt et annet, kanskje motsatt, inntrykk.

Konklusjon. Tallgrunnlaget er hentet fra en pålitelig kilde (SSB) og er i seg selv riktig, men selve framstillingen — den avkortede aksen, overskriften og det valgte tidsrommet — gir et overdrevet og misvisende bilde av både størrelsen på nedgangen og hvem som skal ha æren for den.

a)

Programmet setter først $a=4$ og $b=5$. Deretter kommer en løkke som gjentas $b=5$ ganger. Hver runde i løkka gjør to ting:

1. Tegner et linjestykke med lengde $a=4$.
2. Snur $360:b=360:5=72°$ til høyre.

Løkka kjøres altså $5$ ganger, så det blir tegnet $5$ like lange linjestykker, hver på $4$, og programmet snur $72°$ mellom hvert linjestykke. Siden alle sidene er like lange og alle dreiningene er like store, blir figuren en regulær (likesidet) femkant.

Summen av alle dreiningene blir

$$5\cdot 72°=360°,$$

altså en hel runde rundt. Det er grunnen til at figuren lukker seg igjen til slutt, slik at start- og sluttpunktet blir det samme.

b)

Figuren blir en regulær femkant med sidelengde $4$ i alle fem sidene:

Vinkelen på $72°$ som programmet snur med, er den ytre vinkelen — vinkelen mellom en side og forlengelsen av forrige side, altså hvor mye retningen endres i hvert hjørne. Det er ikke den indre vinkelen i femkanten, altså vinkelen inni figuren mellom de to sidene som møtes. Den indre vinkelen er

$$180°-72°=108°.$$

$\underline{\underline{\text{Programmet tegner en regulær femkant med sidelengde }4,\text{ ytre vinkel }72°\text{ og indre vinkel }108°.}}$

Sjekk av eksemplene. Begge påstandene i samtalen stemmer:

Mønsteret. I begge eksemplene ganges tallet rett over og tallet rett under $n$ sammen, og så legges det til $1$. Skrevet generelt, for et vilkårlig tall $n$:

Bevis. Uttrykket $(n-1)(n+1)$ er en konjugatsetning (tredje kvadratsetning):

Legger vi til $1$ på begge sider, får vi

Dette gjelder for alle tall $n$, ikke bare for de to eksemplene i samtalen. Vi kan sjekke med flere tall:

Grå boks: stemmer det for $5^2=(7\cdot 3)+1$? Nei. Vi regner ut høyresiden:

Grunnen er at $7$ og $3$ ikke er tallet rett over og rett under $5$ — de ligger $2$ unna $5$ i hver retning, ikke $1$. Mønsteret fra før gjelder for naboer, ikke for tall to steg unna.

Skal vi finne riktig regel for tall som ligger $2$ unna, bruker vi samme metode med konjugatsetningen:

For $n=5$ gir dette

som stemmer. Konklusjonen er derfor at man må legge til $4$, ikke $1$, når faktorene ligger to steg fra $n$ i stedet for ett.

Matematiske spørsmål jeg vil undersøke:

1. Hvor mye data bruker Lotte i gjennomsnitt per måned, og hvor mye varierer forbruket?
2. Dekker 7 GB-abonnementet forbruket hennes, særlig i april?
3. Hva koster de ulike alternativene samlet over 12 og 24 måneder?
4. Er telefontilbudet (7 GB til 599 kr/mnd i 24 måneder) lønnsomt sammenlignet med å kjøpe telefon og abonnement hver for seg?

Gjennomsnittlig forbruk

Lotte sitt forbruk over fire måneder:

Gjennomsnittlig forbruk per måned:

Gjennomsnittet alene gir ikke et godt bilde av situasjonen. Aprilforbruket på $\mathrm{12,23}\mathrm{GB}$ er mer enn dobbelt så stort som forbruket i de tre andre månedene, som alle ligger mellom $4$ og $\mathrm{5,5}\mathrm{GB}$. Det er denne variasjonen — ikke gjennomsnittet — som avgjør hvilket abonnement som er nødvendig, siden et abonnement må dekke også den måneden med høyest forbruk.

Dekker 7 GB-abonnementet forbruket?

Uten overføring av data ville 7 GB-abonnementet ($289\mathrm{kr}$) mangle $\mathrm{12,23}-7=\mathrm{5,23}\mathrm{GB}$ i april. Da måtte hun kjøpt ekstra datapakker. En 5 GB-pakke ($199\mathrm{kr}$) alene er ikke nok, men 5 GB + 1 GB koster $199+79=278\mathrm{kr}$ og er billigere enn 10 GB-pakken til $299\mathrm{kr}$. Det lønner seg altså å kombinere to små pakker framfor å kjøpe den største.

En av vennene opplyser imidlertid at ubrukt data overføres til neste måned. Dette endrer regnestykket betydelig:

Måned	Forbruk (GB)	Overført inn (GB)	Tilgjengelig (GB)	Overskudd/underskudd
Februar	5,47	0	7,00	+1,53
Mars	4,10	1,53	8,53	+4,43
April	12,23	4,43	11,43	−0,80

Med oppsparte data fra februar og mars ($\mathrm{1,53}+\mathrm{2,90}=\mathrm{4,43}\mathrm{GB}$) har Lotte $7+\mathrm{4,43}=\mathrm{11,43}\mathrm{GB}$ tilgjengelig i april, mot et forbruk på $\mathrm{12,23}\mathrm{GB}$. Hun mangler bare:

Dette dekkes av den minste ekstrapakken, 1 GB til $79\mathrm{kr}$ — ikke 299 kr slik det så ut uten overføringspoenget. Overføringsordningen er altså avgjørende for hvilket abonnement som lønner seg.

Sammenligning av totalkostnad

Fra regnearket:

• 7 GB-abonnement (med overføring, pluss én ekstrapakke i april): $289\cdot 12+79=3547\mathrm{kr}$ per år, og $289\cdot 24+2\cdot 79=7094\mathrm{kr}$ over to år (forutsatt at samme mønster med én “toppmåned” gjentar seg årlig).
• 10 GB-abonnement: dekker april uten ekstrapakke i det hele tatt, men koster $339-289=50\mathrm{kr}$ mer per måned, altså $50\cdot 12=600\mathrm{kr}$ mer per år enn 7 GB-abonnementet.
• Telefontilbudet: 7 GB til $599\mathrm{kr}$/mnd i 24 måneder gir en totalpris på $599\cdot 24=14376\mathrm{kr}$.

Hva koster telefonen egentlig i avtalen?

Et vanlig 7 GB-abonnement over 24 måneder koster:

Differansen mellom telefontilbudet og et vanlig abonnement er det Lotte i praksis betaler for telefonen:

Om dette er en god avtale, avhenger av hva telefonen koster å kjøpe kontant et annet sted. I tillegg binder avtalen henne til 7 GB i hele 24 måneder, uten mulighet til å bytte abonnement underveis.

Usikkerhetsmomenter

Den fjerde talebobla spør om dataforbruket endrer seg når Lotte flytter på hybel. Dette er et reelt poeng: uten fast bredbånd hjemme vil mobildata trolig brukes mer (strømming, video, arbeid/skole), noe som taler for enten et større abonnement eller mot å binde seg til et fast abonnement i 24 måneder gjennom telefontilbudet.

Konklusjon

Basert på forbruket i februar–mai, og forutsatt at overføring av ubrukte data fortsetter å gjelde, er 7 GB-abonnementet til 289 kr det rimeligste alternativet som dekker Lottes forbruk, med kun én liten ekstrapakke i den måneden forbruket er høyest. 10 GB-abonnementet gir mer trygghet mot svingninger, men koster 600 kr mer i året. Telefontilbudet er en 24-måneders binding der telefonen i praksis koster 7 440 kr — det kan være greit dersom prisen er konkurransedyktig og forbruket forblir stabilt, men er mindre gunstig dersom forbruket øker når Lotte flytter hjemmefra.

$\underline{\underline{\text{Anbefaling: 7 GB-abonnementet (289 kr/mnd), med forbehold om at forbruket ikke øker vesentlig på hybelen.}}}$