10. trinn Vår 2013 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Regnestykker med 1292, 954 og 1206

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

$1292 + 576 =$

$954 - 428 =$

$4,3 \cdot 7,5 =$

$1206 : 3 =$

Fasit

$1868$

$526$

$32,25$

$402$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger sammen $1292$ og $576$ . Først legger vi til $500$ , så resten:

1292 + 500 = 1792 1792 + 76 = 1868

$1292 + 576 = 1868$

Vi trekker $428$ fra $954$ . Først trekker vi fra $400$ , så resten:

954 - 400 = 554 554 - 28 = 526

$954 - 428 = 526$

Vi ganger tallene som hele tall, og setter desimaltegnet til slutt. $4,3$ har én desimal og $7,5$ har én desimal, så svaret skal ha to desimaler:

43 \cdot 75 = 3225

Vi flytter desimaltegnet to plasser til venstre:

$4,3 \cdot 7,5 = 32,25$

Vi deler $1206$ på $3$ . Vi deler opp tallet i $1200$ og $6$ :

1200 : 3 = 400 6 : 3 = 2

400 + 2 = 402

$1206 : 3 = 402$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Gjør om 218 minutter og 4500 millimeter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gjør om

$218 m i n =$ h min

$8 h g =$ kg

$4 500 m m =$ m

$50 d m^{2} =$ m²

Fasit

$3 h 38 m i n$

$0,8 kg$

$4,5 m$

$0,5 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Én time er $60$ minutter. Vi finner hvor mange hele timer det er i $218$ minutter:

3 \cdot 60 = 180

Det er $3$ hele timer igjen, og vi finner resten som er igjen i minutter:

218 - 180 = 38

$218 m i n = 3 h 38 m i n$

Én kilogram er $10$ hektogram, så vi deler antall hektogram på $10$ :

8 : 10 = 0,8

$8 hg = 0,8 kg$

Én meter er $1000$ millimeter, så vi deler antall millimeter på $1000$ :

4500 : 1000 = 4,5

$4500 mm = 4,5 m$

Én meter er $10$ desimeter, så én kvadratmeter er $10 \cdot 10 = 100$ kvadratdesimeter. Vi deler derfor antall kvadratdesimeter på $100$ :

50 : 100 = 0,5

$50 {dm}^{2} = 0,5 m^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Potensregning med negative tall og nullte potens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

${(4 - 2)}^{2} + 2^{3} =$

$\frac{- 2^{2} \cdot (- 2) \cdot 2^{0}}{2^{2}} =$

Fasit

$12$

$2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut parentesen først, deretter potensene, og til slutt adderer vi:

{(4 - 2)}^{2} + 2^{3} = 2^{2} + 2^{3} = 4 + 8

${(4 - 2)}^{2} + 2^{3} = 12$

Vi regner ut telleren for seg og nevneren for seg.

I telleren husker vi at $- 2^{2}$ betyr $- (2^{2}) = - 4$ , siden det ikke står noen parentes rundt $- 2$ . Alt som er opphøyd i $0$ , er lik $1$ , så $2^{0} = 1$ :

- 2^{2} \cdot (- 2) \cdot 2^{0} = - 4 \cdot (- 2) \cdot 1 = 8

I nevneren har vi $2^{2} = 4$ . Til slutt deler vi telleren på nevneren:

\frac{- 2^{2} \cdot (- 2) \cdot 2^{0}}{2^{2}} = \frac{8}{4}

$\frac{- 2^{2} \cdot (- 2) \cdot 2^{0}}{2^{2}} = 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Potenser, Negative tall, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Brøkregning med fjerdedeler og tredjedeler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut, og forkort brøken hvis mulig

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} =$

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} =$

$\frac{2}{3} \cdot 12 =$

$\frac{4}{3} : \frac{2}{3} =$

Fasit

$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{6}$

$8$

$2$

LøsningsforslagKI-generert

Brøkene har allerede samme nevner, så vi kan bare legge sammen tellerne:

\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4}

Brøken kan ikke forkortes mer.

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

Brøkene har ulik nevner, så vi må utvide dem til felles nevner. Minste felles nevner for $3$ og $2$ er $6$ :

\frac{2}{3} = \frac{4}{6} \frac{1}{2} = \frac{3}{6}

Nå kan vi trekke fra:

\frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Vi ganger $12$ med telleren og deler på nevneren:

\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 12}{3} = \frac{24}{3} = 8

$\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den snudde brøken:

\frac{4}{3} : \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2

$\frac{4}{3} : \frac{2}{3} = 2$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Brøk, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5To likninger med x på begge sider

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

4 x - 1 = 3 x

\frac{4}{5} (x - 1) = 1 + \frac{x}{2}

Fasit

$x = 1$

$x = 6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $x$ på begge sider av likhetstegnet. Vi trekker $3 x$ fra begge sider for å samle $x$ -leddene på venstre side:

\begin{matrix} 4 x - 1 & = 3 x \\ 4 x - 1 - 3 x & = 3 x - 3 x \\ x - 1 & = 0 \end{matrix}

Så legger vi til $1$ på begge sider for å få $x$ alene:

\begin{matrix} x - 1 + 1 & = 0 + 1 \\ x & = 1 \end{matrix}

$x = 1$

Likningen har brøker med nevnerne $5$ og $2$ . Vi ganger begge sider med $10$ (minste felles nevner) for å bli kvitt brøkene:

\begin{matrix} \frac{4}{5} (x - 1) & = 1 + \frac{x}{2} \\ 10 \cdot \frac{4}{5} (x - 1) & = 10 \cdot (1 + \frac{x}{2}) \\ 8 (x - 1) & = 10 + 5 x \end{matrix}

Vi ganger ut parentesen på venstre side:

8 x - 8 = 10 + 5 x

Vi trekker $5 x$ fra begge sider for å samle $x$ -leddene på venstre side:

\begin{matrix} 8 x - 8 - 5 x & = 10 + 5 x - 5 x \\ 3 x - 8 & = 10 \end{matrix}

Så legger vi til $8$ på begge sider:

\begin{matrix} 3 x - 8 + 8 & = 10 + 8 \\ 3 x & = 18 \end{matrix}

Til slutt deler vi begge sider på $3$ :

\begin{matrix} \frac{3 x}{3} & = \frac{18}{3} \\ x & = 6 \end{matrix}

$x = 6$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Likninger, Algebra, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Pris for seks flasker vann og to kilo druer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ei flaske vann koster 14,90 kroner. Druer koster 48,20 kroner per kilogram

Omtrent hvor mange kroner må du betale for 6 flasker vann og 2 kg druer?

Fasit

$\approx 190 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Siden vi bare skal finne et overslag, runder vi av prisene før vi regner.

Prisen på ei flaske vann rundes av: $14,90 kr \approx 15 kr$ .

Prisen på ett kilo druer rundes av: $48,20 kr \approx 50 kr$ .

6 flasker vann koster da omtrent

6 \cdot 15 = 90 kr

2 kg druer koster da omtrent

2 \cdot 50 = 100 kr

Til sammen betaler du omtrent

90 + 100 = 190 kr

Du må betale omtrent $190$ kroner for 6 flasker vann og 2 kg druer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Tallregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Lesebrett satt ned 25 prosent til 3000 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Prisen for et lesebrett er satt ned med 25 % og koster nå 3 000 kroner.

Før prisen ble satt ned, kostet lesebrettet

Fasit

$4 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller den opprinnelige prisen for lesebrettet $x$ .

Prisen ble satt ned med $25 %$ , så nå koster lesebrettet $75 %$ av $x$ , altså $0,75 x$ . Dette skal være lik $3 000$ kroner:

\begin{matrix} 0,75 x & = 3 000 \\ \frac{0,75 x}{0,75} & = \frac{3 000}{0,75} \\ x & = 4 000 \end{matrix}

Før prisen ble satt ned, kostet lesebrettet $4 000$ kroner.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Sum og gjennomsnitt av ti matematikkarakterer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en matematikkprøve fikk 10 elever disse karakterene:

Karakter	1	2	3	4	5	6
Frekvens (antall)	1	0	1	3	3	2

Summen av alle karakterene for de 10 elevene ble

Gjennomsnittskarakteren for de 10 elevene ble

Fasit

$43$

$4,3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ganger hver karakter med antall elever som fikk den, og legger sammen:

1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 1 + 0 + 3 + 12 + 15 + 12 = 43

Summen av alle karakterene ble $43$ .

Gjennomsnittet finner vi ved å dele summen av karakterene på antall elever:

\frac{43}{10} = 4,3

Gjennomsnittskarakteren for de 10 elevene ble $4,3$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Forenkle bokstavuttrykk med a, x og y

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

a - (a - 2 a)

\frac{x^{2} y^{2} + x y^{2}}{x y^{2}}

Fasit

$2 a$

$x + 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut det som står i parentesen først:

a - 2 a = - a

Så setter vi dette inn i uttrykket. Siden det er minus foran parentesen, snur vi fortegnet på det vi trekker fra:

a - (- a) = a + a = 2 a

Uttrykket forenkles til $2 a$ .

Vi faktoriserer telleren ved å sette $x y^{2}$ utenfor parentes, siden det er en felles faktor i begge leddene:

x^{2} y^{2} + x y^{2} = x y^{2} \cdot (x + 1)

Da kan vi skrive brøken som

\frac{x y^{2} \cdot (x + 1)}{x y^{2}}

Telleren og nevneren har den felles faktoren $x y^{2}$ , som forkortes bort:

\frac{x y^{2} \cdot (x + 1)}{x y^{2}} = x + 1

Uttrykket forenkles til $x + 1$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Algebra, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Sekser med én terning eller to like med to terninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hva er mest sannsynlig å få?

A: En sekser når du kaster én terning

ELLER

B: To like når du kaster to terninger

Fasit

$A og B er like sannsynlige$

LøsningsforslagKI-generert

A: en sekser med én terning

Terningen har 6 like sannsynlige utfall: 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Bare ett av dem er en sekser, så

P (A) = \frac{1}{6}

B: to like tall med to terninger

Når vi kaster to terninger, er det $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall til sammen (én verdi på hver terning). De utfallene der terningene viser to like tall, er

(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

Det er 6 slike utfall av de 36 mulige, så

P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Sammenligning

Siden $P (A) = \frac{1}{6}$ og $P (B) = \frac{1}{6}$ , er sannsynligheten lik. Svaret er $A og B er like sannsynlige$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Sondre kjøper epler og bananer for 80 kroner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et eple koster 5 kroner. En banan koster 6 kroner

Sondre kjøper dobbelt så mange epler som bananer. Han betaler til sammen 80 kroner.

Regn ut hvor mange epler og hvor mange bananer Sondre kjøper.

Fasit

Sondre kjøper $10 epler og 5 bananer$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller antall bananer for $b$ . Sondre kjøper dobbelt så mange epler som bananer, så antall epler er $2 b$ .

Et eple koster $5 kr$ og en banan koster $6 kr$ . Til sammen betaler han $80 kr$ , så vi kan sette opp likningen

\begin{matrix} 5 \cdot 2 b + 6 \cdot b & = 80 \\ 10 b + 6 b & = 80 \\ 16 b & = 80 \\ \frac{16 b}{16} & = \frac{80}{16} \\ b & = 5 \end{matrix}

Sondre kjøper altså $5$ bananer, og dermed $2 \cdot 5 = 10$ epler.

Kontroll: $10$ epler koster $10 \cdot 5 = 50 kr$ , og $5$ bananer koster $5 \cdot 6 = 30 kr$ . Til sammen $50 + 30 = 80 kr$ , som stemmer.

$10 epler og 5 bananer$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Likninger, Tekstoppgave, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Kartavstand ved målestokk 1 til 1 000 000

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Avstanden i luftlinje mellom to steder er 25 km. På et kart er målestokken $1 : 1 000 000$

Avstanden på kartet mellom de to stedene er

Fasit

$2,5 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Målestokken $1 : 1 000 000$ betyr at $1 cm$ på kartet svarer til $1 000 000 cm$ i terrenget.

Vi regner om til kilometer:

1 000 000 cm = 10 000 m = 10 km

Altså svarer $1 cm$ på kartet til $10 km$ i terrenget. Avstanden i terrenget er $25 km$ , så avstanden på kartet blir

\frac{25 km}{10 k m / c m} = 2,5 cm

$2,5 cm$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Kjørelengde med 60 km per time i 2,5 timer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bil kjører med farten 60 km/h. På 2,5 h kjører bilen

Fasit

$150 km$

LøsningsforslagKI-generert

Strekningen bilen kjører finner vi ved å multiplisere fart med tid:

strekning = fart \cdot tid = 60 k m / h \cdot 2,5 h = 150 km

$150 km$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 0.5
Temaer: Fart, Sammensatte måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Verditabell og grafer for x pluss 2 og x i andre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fyll ut det som mangler i verditabellen for funksjonene $f (x) = x + 2$ og $g (x) = x^{2}$

$x$	$f (x)$	Koordinater
$- 2$
$- 1$	$1$	$(- 1, 1)$
$0$	$2$	$(0, 2)$
$1$
$2$	$4$	$(2, 4)$

$x$	$g (x)$	Koordinater
$- 2$
$- 1$
$0$	$0$	$(0, 0)$
$1$	$1$	$(1, 1)$
$2$	$4$	$(2, 4)$

Tegn grafene til $f$ og $g$ i koordinatsystemet nedenfor.

Skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$ er ( , ) og ( , )

Koordinatsystem med x-akse fra −3 til 3 og y-akse fra −2 til 5

Fasit

$f (- 2) = 0$ , $f (1) = 3$ ; $g (- 2) = 4$ , $g (- 1) = 1$ (se tabell i løsningsforslaget)

Se løsningsforslag

$(- 1, 1) og (2, 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x$ -verdiene i funksjonsuttrykkene.

For $f (x) = x + 2$ :

f (- 2) = - 2 + 2 = 0 koordinater: (- 2, 0)

f (1) = 1 + 2 = 3 koordinater: (1, 3)

For $g (x) = x^{2}$ :

g (- 2) = {(- 2)}^{2} = 4 koordinater: (- 2, 4)

g (- 1) = {(- 1)}^{2} = 1 koordinater: (- 1, 1)

Vi setter av punktene fra begge tabellene i koordinatsystemet:

$f$ : $(- 2, 0)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 2)$ , $(1, 3)$ , $(2, 4)$
$g$ : $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$

Grafen til $f$ er en rett linje, siden $f$ er en lineær funksjon. Vi trekker en rett strek gjennom punktene til $f$ .

Grafen til $g$ er en parabel, siden $g$ er en andregradsfunksjon. Vi tegner en jevn, buet kurve gjennom punktene til $g$ , med bunnpunkt i $(0, 0)$ .

Vi sammenligner de to tabellene: ved $x = - 1$ har begge funksjonene verdien $1$ , og ved $x = 2$ har begge funksjonene verdien $4$ . Det betyr at grafene til $f$ og $g$ møtes nettopp i disse punktene, noe vi også kan se på figuren fra b).

$(- 1, 1) og (2, 4)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2.5
Temaer: Funksjoner, Graftegning, Lineære funksjoner, Andregradsfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 1-15Konstruksjon av trapes ABCD med 30 og 45 grader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Konstruer $△ A B C$ der $A B = 8,0 c m$ , $∠ B = 90 °$ og $∠ A = 30 °$ .

$△ A B C$ er en del av trapeset $A B C D$ der $∠ C A D = 45 °$ .

Konstruer trapeset $A B C D$ .

Ta med hjelpefigur og konstruksjonsforklaring.

Fasit

Se løsningsforslaget for full konstruksjonsforklaring. Det ferdige trapeset $A B C D$ har $∠ A = 75 °$ , $∠ B = 90 °$ , $∠ C = 90 °$ og $∠ D = 105 °$ .

LøsningsforslagKI-generert

Hjelpefigur

Vi skisserer først hvordan det ferdige trapeset skal se ut, før vi konstruerer det nøyaktig med passer og linjal.

$△ A B C$ er en rettvinklet trekant med $A B = 8,0 c m$ , $∠ B = 90 °$ og $∠ A = 30 °$ . Trapeset $A B C D$ lages ved å legge til en vinkel $∠ C A D = 45 °$ fra $A$ , videre ut fra $∠ B A C$ , slik at $D$ ligger på linjen gjennom $C$ som er parallell med $A B$ .

I det ferdige trapeset er da:

$∠ D A B = ∠ B A C + ∠ C A D = 30 ° + 45 ° = 75 °$
$∠ A B C = 90 °$
$∠ B C D = 90 °$ , fordi $C D ∥ A B$ og $B C ⟂ A B$ , så må $B C ⟂ C D$ også
$∠ A D C = 360 ° - 75 ° - 90 ° - 90 ° = 105 °$ (vinkelsummen i en firkant er $360 °$ )

Trapeset er altså et rettvinklet trapes: $A B$ er den lengste av de to parallelle sidene, $D C$ er den korteste, og $B C$ står vinkelrett på begge.

Konstruksjonsforklaring

Steg 1 — Tegn $A B$

Tegn linjestykket $A B = 8,0 c m$ med linjal.

Steg 2 — Konstruer $90 °$ i $B$

Sett passerspissen i $B$ og tegn en bue som skjærer linjen $A B$ i to punkter, ett på hver side av $B$ . Sett deretter passerspissen i hvert av disse to skjæringspunktene (med samme, litt større radius enn før) og tegn to nye buer som skjærer hverandre. Linjen gjennom $B$ og dette skjæringspunktet står vinkelrett på $A B$ — dette er $90 °$ -vinkelen i $B$ .

Steg 3 — Konstruer $30 °$ i $A$

Vi konstruerer først $60 °$ , og halverer den:

Sett passerspissen i $A$ og tegn en bue med en valgfri radius som skjærer $A B$ . Kall skjæringspunktet $S$ .
Behold samme radius, sett passerspissen i $S$ , og tegn en ny bue som skjærer den første. Kall skjæringspunktet $T$ .
Linjen fra $A$ gjennom $T$ danner en vinkel på $60 °$ med $A B$ , fordi $△ A S T$ er likesidet (alle sidene har samme lengde som passerradiusen).
For å halvere denne $60 °$ -vinkelen: sett passerspissen først i $S$ , så i $T$ (samme radius begge ganger), og tegn to buer som skjærer hverandre inni vinkelen. Linjen fra $A$ gjennom dette skjæringspunktet halverer vinkelen og gir $30 °$ .

Steg 4 — Finn $C$

Punktet $C$ er der $30 °$ -linjen fra $A$ skjærer $90 °$ -linjen fra $B$ . Tegn $A C$ og $B C$ . Nå er $△ A B C$ ferdig konstruert.

Steg 5 — Konstruer $45 °$ videre fra $A$

Vinkelen $∠ C A D = 45 °$ skal ligge på utsiden av $∠ B A C$ , altså lenger bort fra $A B$ enn $A C$ . Vi konstruerer først en $90 °$ -vinkel fra linjen $A C$ (samme metode som i steg 2, men nå med $A C$ i stedet for $A B$ ), og halverer så denne $90 °$ -vinkelen (samme halveringsmetode som i steg 3) for å få $45 °$ . Dette gir stråla $A D$ .

Steg 6 — Konstruer linjen gjennom $C$ parallell med $A B$

Siden $B C ⟂ A B$ , vil en linje gjennom $C$ som står vinkelrett på $B C$ automatisk bli parallell med $A B$ . Konstruer denne $90 °$ -vinkelen i $C$ med samme metode som i steg 2, men nå med utgangspunkt i linjen $B C$ .

Steg 7 — Finn $D$

Punktet $D$ er der stråla fra steg 5 ( $45 °$ -linjen fra $A$ ) skjærer linjen fra steg 6 (den parallelle linjen gjennom $C$ ). Tegn $A D$ og $C D$ .

Trapeset $A B C D$ er nå ferdig konstruert.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Vinkler
Egen side: Åpne oppgave 1-15 for seg selv

Oppgave 1-16Grus og gjerde rundt rektangel og rettvinklet trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et område har form som et rektangel og en rettvinklet trekant. Se skissen nedenfor.

Skisse av området. Rektangelet er 20 m bredt og 50 m høyt. Hele området er 50 m bredt, og den rettvinklete trekanten har en loddrett katet på 10 m

Vi skal legge et 10 cm tykt lag med grus jevnt utover hele området.

Regn ut hvor mange kubikkmeter grus vi trenger til dette området.

Vi skal sette opp et gjerde rundt området.

Vis ved regning at vi trenger 180 m gjerde.

Fasit

$V = 160 m^{3}$

Omkretsen er $180 m$ (se løsningsforslag).

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner arealet av området ved å dele det opp i et rektangel og en rettvinklet trekant.

Rektangelet er $20 m$ bredt og $50 m$ høyt:

A_{rektangel} = 20 m \cdot 50 m = 1000 m^{2}

For trekanten trenger vi begge katetene. Hele området er $50 m$ bredt, og rektangelet er $20 m$ bredt, så den vannrette kateten til trekanten er:

50 m - 20 m = 30 m

Den loddrette kateten finner vi ved å se på figuren: hele høyden er $50 m$ , og den nederste, loddrette biten på høyre side som ikke er en del av trekanten, er $10 m$ . Da er den loddrette kateten til trekanten:

50 m - 10 m = 40 m

Arealet av trekanten blir:

A_{trekant} = \frac{1}{2} \cdot 30 m \cdot 40 m = 600 m^{2}

Totalt areal:

A = 1000 m^{2} + 600 m^{2} = 1600 m^{2}

Grusen skal legges $10 c m = 0,10 m$ tykt over hele arealet. Volumet blir da:

V = A \cdot h = 1600 m^{2} \cdot 0,10 m = 160 m^{3}

Vi trenger $160 m^{3}$ grus.

For å finne omkretsen (gjerdelengden) må vi først finne lengden av skråkanten (hypotenusen) til den rettvinklete trekanten. Katetene er $30 m$ og $40 m$ , så vi bruker Pytagoras’ setning:

\begin{matrix} c^{2} & = 30^{2} + 40^{2} \\ c^{2} & = 900 + 1600 \\ c^{2} & = 2500 \\ c & = \sqrt{2500} = 50 m \end{matrix}

Nå legger vi sammen alle yttersidene i området, i tur og orden rundt hele figuren:

Bunnen av rektangelet: $20 m$
Den nederste, loddrette biten på høyre side: $10 m$
Skråkanten (hypotenusen) til trekanten: $50 m$
Toppen av hele området: $50 m$
Venstre side av rektangelet: $50 m$

Omkrets = 20 m + 10 m + 50 m + 50 m + 50 m = 180 m

Vi trenger altså $180 m$ gjerde, som stemmer med det vi skulle vise.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Volum, Pytagoras, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-16 for seg selv

Oppgave 1-17Tre kuler og en sylinder med samme volum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre like store kuler har alle radius $r$ . En sylinder har samme radius $r$ som kulene og høyde $h$ . Sylinderen skal ha like stort volum som de tre kulene til sammen.

Formelen for volumet av en kule er $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

Tre like store kuler med radius r ved siden av en sylinder med radius r og høyde h

Bruk formler og bestem høyden $h$ i sylinderen uttrykt ved $r$ .

Fasit

$h = 4 r$

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av én kule med radius $r$ er $V_{kule} = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

Tre like kuler har da et samlet volum på:

3 \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = 4 π r^{3}

Volumet av sylinderen med radius $r$ og høyde $h$ er:

V_{sylinder} = π r^{2} h

Sylinderen skal ha like stort volum som de tre kulene til sammen, så vi setter de to uttrykkene like hverandre og løser likningen med hensyn på $h$ :

\begin{matrix} π r^{2} h & = 4 π r^{3} \\ \frac{π r^{2} h}{π r^{2}} & = \frac{4 π r^{3}}{π r^{2}} \\ h & = 4 r \end{matrix}

Sylinderen må altså være fire ganger så høy som radien $r$ for å ha samme volum som de tre kulene til sammen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 1
Temaer: Volum, Romgeometri, Kule, Formler, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-17 for seg selv

Oppgave 2-1Tannlegeregning med 75 prosent ungdomsrabatt

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Live trenger denne behandlingen hos tannlegen:

Behandlingen til Live
Undersøkelse
Bedøvelse
Røntgen (4 bilder)
3 tannfyllinger

Nedenfor ser du prisene (i kroner) for de ulike behandlingene hos tannlegen. Live får 75 % rabatt fordi hun er mellom 18 og 20 år.

Behandling	Pris
Undersøkelse	480
Bedøvelse	145
Røntgen (per bilde)	95
1 tannfylling	550
2 tannfyllinger	750
3 tannfyllinger	950

Regn ut hvor mye Live må betale totalt for behandlingen hos tannlegen.

Fasit

$489 kr$ (avrundet fra $488,75 kr$ )

LøsningsforslagKI-generert

Først finner vi hva behandlingen til Live koster før rabatt. Vi bruker prislisten og legger sammen det hun trenger.

Undersøkelse: $480 kr$
Bedøvelse: $145 kr$
Røntgen, 4 bilder: $4 \cdot 95 = 380 kr$
3 tannfyllinger: her bruker vi pakkeprisen for 3 fyllinger direkte fra prislisten, ikke $3 \cdot 550$ . Prisen er $950 kr$ .

Summen av alt Live trenger, blir da

480 + 145 + 380 + 950 = 1955 kr

Live er mellom 18 og 20 år og får $75 %$ rabatt. Da betaler hun de resterende $100 % - 75 % = 25 %$ av prisen. Vekstfaktoren blir

25 % = \frac{25}{100} = 0,25

Beløpet Live må betale, finner vi ved å multiplisere totalprisen med vekstfaktoren:

1955 \cdot 0,25 = 488,75 kr

Siden man betaler i hele kroner, runder vi opp til nærmeste krone.

Live må betale $489 kr$ for behandlingen hos tannlegen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Økonomi, Tekstoppgave
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Valg av tannbørste, tannkrem og tanntråd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I butikken kan Live velge mellom 11 typer tannbørste, 10 typer tannkrem og 8 typer tanntråd.

For hånd

På hvor mange ulike måter kan Live velge én type tannbørste, én type tannkrem og én type tanntråd?

Tannlegen anbefalte Live å kjøpe en bestemt type tannbørste og en bestemt type tanntråd som de har i butikken. Men Live har glemt hva tannlegen anbefalte, og velger tilfeldig én type tannbørste og én type tanntråd.

Live velger tannbørsten og tanntråden som vist nedenfor.

Tannbørsten og tanntråden Live velger

For hånd

Bestem sannsynligheten for at dette er de typene som tannlegen anbefalte.

Fasit

$880$ ulike måter

$P = \frac{1}{88}$

LøsningsforslagKI-generert

Live skal velge én tannbørste blant 11 typer, én tannkrem blant 10 typer og én tanntråd blant 8 typer. Hvert valg er uavhengig av de andre, så vi bruker multiplikasjonsprinsippet: vi ganger sammen antall muligheter for hvert valg.

11 \cdot 10 \cdot 8 = 880

Live kan velge tannbørste, tannkrem og tanntråd på $880$ ulike måter.

Live velger tilfeldig én av de 11 tannbørstene og én av de 8 tanntrådene. (Tannkremen er ikke med i dette valget, siden det bare er tannbørsten og tanntråden tannlegen anbefalte.)

Sannsynligheten for at hun tilfeldig velger nettopp den tannbørsten tannlegen anbefalte, er

P (riktig tannbørste) = \frac{1}{11}

Sannsynligheten for at hun tilfeldig velger nettopp den tanntråden tannlegen anbefalte, er

P (riktig tanntråd) = \frac{1}{8}

Siden de to valgene er uavhengige av hverandre, ganger vi sannsynlighetene sammen for å finne sannsynligheten for at begge valgene er riktige:

P (begge riktige) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{88}

Sannsynligheten for at Live tilfeldig velger nettopp de typene tannlegen anbefalte, er $\frac{1}{88} \approx 0,011 = 1,1 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Munnskyllevann blandet i forholdet 1 til 3

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En flaske munnskyllevann inneholder 300 mL. Live vil blande det ut med vann i forholdet $1 : 3$ (1 del munnskyllevann og 3 deler vann).

Hun bruker 40 mL ferdig utblandet munnskyllevann to ganger per dag.

Regn ut hvor mange dager en flaske med munnskyllevann vil vare for Live.

Fasit

$15 d a g e r$

LøsningsforslagKI-generert

Live blander munnskyllevann og vann i forholdet $1 : 3$ . Det betyr at den utblandede væsken består av $1 + 3 = 4$ deler til sammen, der $1$ del er konsentrert munnskyllevann.

Hver gang Live bruker $40 mL$ utblandet munnskyllevann, er derfor $\frac{1}{4}$ av dette rent konsentrat:

\frac{1}{4} \cdot 40 = 10 mL

Live bruker munnskyllevann to ganger per dag, så hun bruker

2 \cdot 10 = 20 mL

konsentrat per dag.

Flasken inneholder $300 mL$ konsentrat. Vi finner ut hvor mange dager den varer ved å dele totalt innhold på forbruket per dag:

\frac{300}{20} = 15

Flasken med munnskyllevann vil vare i $15 d a g e r$ for Live.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Forholdsregning, Tekstoppgave, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Volumet av et plastbeger til munnskylling

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Live bruker et plastbeger til munnskylling. Plastbegeret med innvendige mål ser du nedenfor.

Plastbeger med innvendige mål: R = 3,3 cm øverst, r = 2,3 cm nederst og høyde h = 8,0 cm

Formelen for volumet av et slikt plastbeger er $V = \frac{π \cdot h}{3} (R^{2} + r \cdot R + r^{2})$

Bruk formelen og vis at volumet av plastbegeret er ca. 2 dL.

Fasit

$V \approx 199 {cm}^{3} \approx 2,0 dL$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $R = 3,3 cm$ , $r = 2,3 cm$ og $h = 8,0 cm$ i formelen.

Først regner vi ut det som står inni parentesen:

\begin{matrix} R^{2} & = {3,3}^{2} = 10,89 \\ r \cdot R & = 2,3 \cdot 3,3 = 7,59 \\ r^{2} & = {2,3}^{2} = 5,29 \end{matrix}

Summen av disse tre leddene blir

R^{2} + r \cdot R + r^{2} = 10,89 + 7,59 + 5,29 = 23,77

Så setter vi alt inn i formelen for volumet:

\begin{matrix} V & = \frac{π \cdot h}{3} (R^{2} + r \cdot R + r^{2}) \\ = \frac{π \cdot 8,0}{3} \cdot 23,77 \\ = \frac{25,13}{3} \cdot 23,77 \\ = 8,38 \cdot 23,77 \\ \approx 199 {cm}^{3} \end{matrix}

Til slutt gjør vi om til desiliter. Siden $1 dL = 100 {cm}^{3}$ , deler vi svaret på $100$ :

V \approx \frac{199}{100} dL = 1,99 dL \approx 2,0 dL

Vi har dermed vist at volumet av plastbegeret er omtrent $2 dL$ , altså akkurat passe til én munnskylling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Volum, Formler, Romgeometri, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Nedbetalingsplan for tannlån i regneark

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Live skal få satt inn en ny tann. Behandlingen koster 10 000 kroner. Hun får tilbud om et lån som skal nedbetales i løpet av 10 måneder med avdrag på 1 000 kroner per måned. Renten er 2 % per måned. Alle beløp er i kroner.

Regneark med lån 10000, rente per måned 2 % og antall måneder 10, og en nedbetalingsplan med kolonnene Måned, Restlån, Avdrag, Rentebeløp og Terminbeløp der de to første månedene er fylt ut

Krever PC

Bruk formler og lag ferdig nedbetalingsplanen for Live. Ta med formelutskrift.

Krever PC

Framstill terminbeløpene for lånet i et stolpediagram.

En annen bank tilbyr Live et lån med en rente på 1,5 % per måned. Lånene er ellers like.

Krever PC

Hvor mye sparer Live totalt på å velge dette lånet? Du trenger ikke ta ny formelutskrift.

Fasit

Se nedbetalingsplanen under.

Se søylediagrammet under.

$275 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker cellene $B 1$ , $B 2$ og $B 3$ til de faste opplysningene: lånebeløp, rente per måned og antall måneder. Deretter bygger vi opp nedbetalingsplanen rad for rad, fra måned 1 til måned 10.

Første rad (måned 1, rad 6):

$A 6$ : 1 (måned nummer 1)
$B 6$ : =B1 (restlånet i måned 1 er hele lånebeløpet)
$C 6$ : =B1/B3 (avdraget er lånet delt på antall måneder: $10 000 : 10 = 1 000$ )
$D 6$ : =B6*B2 (rentebeløpet er restlånet ganger renten)
$E 6$ : =C6+D6 (terminbeløpet er avdrag pluss rentebeløp)

Andre rad og nedover (måned 2–10, rad 7–15): disse formlene skrives i rad 7 og kopieres ned til rad 15.

$A 7$ : =A6+1 (måned øker med 1)
$B 7$ : =B6-C6 (nytt restlån er forrige restlån minus forrige avdrag)
$C 7$ : =C6 (avdraget er det samme hver måned)
$D 7$ : =B7*B2
$E 7$ : =C7+D7

Siste rad (rad 16, sum):

$C 16$ : =SUMMER(C6:C15)
$D 16$ : =SUMMER(D6:D15)
$E 16$ : =SUMMER(E6:E15)

Regnearket gir denne nedbetalingsplanen:

Måned	Restlån	Avdrag	Rentebeløp	Terminbeløp
1	10 000	1 000	200	1 200
2	9 000	1 000	180	1 180
3	8 000	1 000	160	1 160
4	7 000	1 000	140	1 140
5	6 000	1 000	120	1 120
6	5 000	1 000	100	1 100
7	4 000	1 000	80	1 080
8	3 000	1 000	60	1 060
9	2 000	1 000	40	1 040
10	1 000	1 000	20	1 020
Sum			1 100	11 100

Live betaler altså totalt $11 100 kr$ tilbake, hvorav $1 100 kr$ er renter.

Terminbeløpene fra tabellen over settes inn i et søylediagram med måned langs den vannrette aksen og terminbeløp i kroner langs den loddrette aksen. I regnearket markerer vi cellene $A 6 : A 15$ (måned) og $E 6 : E 15$ (terminbeløp), og setter inn et søylediagram.

Søylediagram som viser terminbeløpet for hver av de 10 månedene, avtagende fra 1200 kr i måned 1 til 1020 kr i måned 10

Diagrammet viser tydelig at terminbeløpet avtar med $20 kr$ hver måned, siden avdraget er konstant mens rentebeløpet blir mindre etter hvert som restlånet minker.

Vi setter opp samme nedbetalingsplan på nytt, men nå med en rente på $1,5 %$ per måned i stedet for $2 %$ . Eneste endring i regnearket er celle $B 2$ , som settes til 1,5 %. Formlene i tabellen er de samme som i a).

Måned	Restlån	Avdrag	Rentebeløp	Terminbeløp
1	10 000	1 000	150,00	1 150,00
2	9 000	1 000	135,00	1 135,00
3	8 000	1 000	120,00	1 120,00
4	7 000	1 000	105,00	1 105,00
5	6 000	1 000	90,00	1 090,00
6	5 000	1 000	75,00	1 075,00
7	4 000	1 000	60,00	1 060,00
8	3 000	1 000	45,00	1 045,00
9	2 000	1 000	30,00	1 030,00
10	1 000	1 000	15,00	1 015,00
Sum			825,00	10 825,00

Med det nye lånet betaler Live totalt $10 825 kr$ , mot $11 100 kr$ med det første lånet. Besparelsen blir

11 100 kr - 10 825 kr = 275 kr

Live sparer altså $275 kr$ totalt ved å velge lånet med $1,5 %$ rente.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Regneark, Lån, Rente, Økonomi, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Motorsykkelhopp i X-Fighters modellert med andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen $h$ gitt ved

h (x) = - 0,05 x^{2} + x + 2

Her viser $h (x)$ hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er $x$ meter fra rampe 1, målt langs bakken. Se skissen av hoppet nedenfor.

Skisse av hoppet. Motorsykkelen hopper fra rampe 1 ved 0 m til rampe 2 ved 20 m

For hånd

Motorsykkelen er høyest over bakken 10 m fra rampe 1, altså når $x = 10$ . Bruk funksjonsuttrykket, og vis ved regning at motorsykkelen da er 7 m over bakken.

Krever PC

Tegn grafen til $h$ når $0 \leq x \leq 20$

Krever PC

Bestem grafisk hvor langt motorsykkelen har flyttet seg fra rampe 1, målt langs bakken, når motorsykkelen er 4 m over bakken.

Fasit

$h (10) = 7 m$

Se graf i løsningsforslaget.

$x \approx 2 m eller x \approx 18 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 10$ inn i funksjonsuttrykket:

\begin{matrix} h (10) & = - 0,05 \cdot 10^{2} + 10 + 2 \\ = - 0,05 \cdot 100 + 10 + 2 \\ = - 5 + 10 + 2 \\ = 7 \end{matrix}

Motorsykkelen er altså $7 m$ over bakken når $x = 10$ .

For å vise at dette faktisk er den største høyden, sammenligner vi med nabopunktene $x = 9$ og $x = 11$ :

\begin{matrix} h (9) & = - 0,05 \cdot 9^{2} + 9 + 2 = - 4,05 + 9 + 2 = 6,95 \\ h (11) & = - 0,05 \cdot 11^{2} + 11 + 2 = - 6,05 + 11 + 2 = 6,95 \end{matrix}

Både $h (9) = 6,95$ og $h (11) = 6,95$ er mindre enn $h (10) = 7$ . Motorsykkelen er derfor høyest over bakken når $x = 10$ , altså $7 m$ .

Vi tegner grafen til $h (x) = - 0,05 x^{2} + x + 2$ for $0 \leq x \leq 20$ :

Graf av h(x) med toppunkt (10, 7) og skjæring med linjen y = 4 ved x ≈ 2,25 og x ≈ 17,75

Grafen er en parabel som starter i $h (0) = 2 m$ (høyden på rampe 1), stiger til toppunktet $(10, 7)$ , og synker igjen til $h (20) = 2 m$ (høyden på rampe 2).

Vi tegner den vannrette linjen $y = 4$ inn i samme koordinatsystem som grafen til $h$ , og leser av $x$ -verdiene der linjen skjærer grafen (se punktene $S$ og $T$ på grafen i b)).

Grafen viser at $h (x) = 4$ på vei opp ved omtrent $x \approx 2 m$ , og på vei ned igjen ved omtrent $x \approx 18 m$ .

Svar: Motorsykkelen er $4 m$ over bakken når den har flyttet seg $x \approx 2 m$ fra rampe 1 (på vei opp), og igjen når den har flyttet seg $x \approx 18 m$ fra rampe 1 (på vei ned).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Graftegning, Grafisk løsning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Hippokrates fra Khios (ca. 470–410 f.Kr.) var trolig den første greske matematikeren som skrev en lærebok i geometri, 100 år før Euklid.

Grekerne forsøkte å konstruere et kvadrat som hadde like stort areal som en sirkel (sirkelens kvadratur).

Hippokrates-månen (i blå farge nedenfor) var en del av dette forsøket.

Kilde: Proclus, Kommentar til Euklid I

Halvsirkelen ACB med sentrum i O og diameter AB, og halvsirkelen AEC med sentrum i D og diameter AC. Hippokrates-månen mellom de to buene er farget blå. AO og OB er begge 5,0 cm, og vinklene ved A og B er 45 grader

$A C B$ er halvsirkelen med sentrum i $O$ og med diameter $A B$ .
$A E C$ er halvsirkelen med sentrum i $D$ og med diameter $A C$ .

Kalkulator

Forklar at $O C = 5,0 c m$ . Vis ved regning at $A C = \sqrt{50} c m$

Kalkulator

Vis at arealet til halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {c m}^{2} \approx 39,25 {c m}^{2}$ (Bruk at $π \approx 3,14$ )

Fasit

$O C = 5,0 cm$ fordi $O$ er sentrum i sirkelen $C$ ligger på. $A C = \sqrt{50} cm$ (vist)

Arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {cm}^{2} \approx 39,25 {cm}^{2}$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

$O$ er sentrum i den store sirkelen som halvsirkelen $A C B$ er en del av, og $C$ ligger på denne sirkelen (på buen fra $A$ til $B$ ). Da er $O C$ en radius i sirkelen, altså like lang som $O A$ og $O B$ . Siden $O A = O B = 5,0 cm$ , må også

O C = 5,0 cm

For å finne $A C$ bruker vi den rettvinklede trekanten $A O C$ . På figuren ser vi at vinkelen ved $O$ (mellom $O A$ og $O C$ ) er $90 °$ , og at katetene er

A O = 5,0 cm og O C = 5,0 cm

Pytagoras’ setning gir

\begin{matrix} A C^{2} & = A O^{2} + O C^{2} \\ A C^{2} & = {5,0}^{2} + {5,0}^{2} \\ A C^{2} & = 25 + 25 \\ A C^{2} & = 50 \end{matrix}

Vi tar kvadratroten på begge sider:

\sqrt{A C^{2}} = \sqrt{50}

A C = \sqrt{50} cm

Halvsirkelen $A C B$ har diameter $A B$ . Siden $A O = O B = 5,0 cm$ , er

A B = A O + O B = 5,0 + 5,0 = 10,0 cm

og radien i halvsirkelen er

r = \frac{A B}{2} = \frac{10,0}{2} = 5,0 cm

Arealet av en hel sirkel er $π \cdot r^{2}$ , så arealet av halvsirkelen blir halvparten av dette:

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {5,0}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 25 \\ = 12,5 π {cm}^{2} \end{matrix}

Vi setter inn $π \approx 3,14$ :

A \approx 12,5 \cdot 3,14 = 39,25 {cm}^{2}

Vi har dermed vist at arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {cm}^{2} \approx 39,25 {cm}^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Omkrets av Hippokrates-figuren med to kvadrater

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser halvsirkelen $A C B$ med sentrum i $O$ og diameter $A B$ , og halvsirkelen $A E C$ med diameter $A C$ . Her er $A O = O B = 5,0 c m$ .

Figuren er utvidet slik at to kvadrater, $A F B C$ og $A G H B$ , kommer fram.

Halvsirklene ACB og AEC sammen med kvadratene AFBC og AGHB. Omkretsen AGHBCEA er markert med blå farge. AO og OB er begge 5,0 cm

Regn ut omkretsen av figuren, det vil si $A G H B C E A$ (markert med blå farge).

Fasit

$O \approx 49,0 c m$

LøsningsforslagKI-generert

Omkretsen $A G H B C E A$ består av fem deler: de tre sidene $A G$ , $G H$ og $H B$ i kvadratet $A G H B$ , buen fra $B$ til $C$ , og buen fra $C$ via $E$ til $A$ .

Sidene i kvadratet $A G H B$

Kvadratet $A G H B$ er bygd på siden $A B$ , så alle fire sidene er like lange som $A B$ :

A B = A O + O B = 5,0 + 5,0 = 10,0 c m

De tre sidene $A G$ , $G H$ og $H B$ har da til sammen lengden:

3 \cdot 10,0 c m = 30,0 c m

Buen fra $B$ til $C$

$O$ er sentrum i storsirkelen, med radius $r = O A = O B = O C = 5,0 c m$ . Vinkelen $A O B$ er $180 °$ fordi $A$ , $O$ og $B$ ligger på en rett linje, og vinkelen $A O C$ er $90 °$ (markert med rett vinkel i figuren). Da må vinkelen $C O B$ også være $90 °$ :

∠ C O B = 180 ° - 90 ° = 90 °

Buen $B C$ er dermed en kvart sirkel med radius $5,0 c m$ . Omkretsen av en hel sirkel er $2 π r$ . Med $π \approx 3,14$ blir buen $B C$ :

\frac{1}{4} \cdot 2 π r = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 3,14 \cdot 5,0 \approx 7,85 c m

Buen fra $C$ via $E$ til $A$

Denne buen er hele halvsirkelen $A E C$ , siden $A$ og $C$ er endepunktene på diameteren $A C$ . I den rettvinklede trekanten $A O C$ er $∠ A O C = 90 °$ og $O A = O C = 5,0 c m$ . Med Pytagoras’ setning:

A C = \sqrt{O A^{2} + O C^{2}} = \sqrt{{5,0}^{2} + {5,0}^{2}} = \sqrt{50} \approx 7,07 c m

Halvsirkelen $A E C$ har diameter $A C$ , så lengden av buen er $π \cdot \frac{A C}{2}$ :

π \cdot \frac{7,07}{2} \approx 3,14 \cdot 3,54 \approx 11,10 c m

Total omkrets

O = 30,0 + 7,85 + 11,10 \approx 48,95 c m \approx 49,0 c m

$O \approx 49,0 c m$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser halvsirkelen $A C B$ med sentrum i $O$ og diameter $A B$ , og halvsirkelen $A E C$ med diameter $A C$ , sammen med kvadratene $A F B C$ og $A G H B$ . Her er $A O = O B = 5,0 c m$ , $A C = \sqrt{50} c m$ , og arealet av halvsirkelen $A C B$ er $12,5 π {c m}^{2}$ .

Halvsirklene ACB og AEC sammen med kvadratene AFBC og AGHB. AO og OB er begge 5,0 cm

Hippokrates fant at

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

Med figurer vil dette se slik ut:

Halvsirkelen AEC delt på halvsirkelen ACB er lik kvadratet AFBC delt på kvadratet AGHB

Kalkulator

Vis at arealet av halvsirkelen $A E C$ er $6,25 π {c m}^{2} \approx 19,625 {c m}^{2}$ (Bruk at $π \approx 3,14$ )

Kalkulator

Bruk blant annet opplysningene ovenfor og i oppgave a), og vis ved regning at

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

Fasit

$6,25 π \approx 19,625 {c m}^{2}$

Begge forholdene er $0,5$ — se utregning.

LøsningsforslagKI-generert

Halvsirkelen $A E C$ har diameter $A C = \sqrt{50} c m$ , så radien er:

r_{A E C} = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{50}}{2} c m

Arealet av en halvsirkel er $\frac{1}{2} π r^{2}$ :

\begin{matrix} Areal & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{\sqrt{50}}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot \frac{50}{4} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot 12,5 \\ = 6,25 π \end{matrix}

Med $π \approx 3,14$ :

6,25 \cdot 3,14 = 19,625 {c m}^{2}

$Areal av halvsirkel A E C = 6,25 π \approx 19,625 {c m}^{2}$

Vi finner arealet av de to kvadratene.

Kvadratet $A F B C$ har side $A C = \sqrt{50} c m$ :

Areal A F B C = A C^{2} = {(\sqrt{50})}^{2} = 50 {c m}^{2}

Kvadratet $A G H B$ har side $A B = 10,0 c m$ :

Areal A G H B = A B^{2} = {10,0}^{2} = 100 {c m}^{2}

Forholdet mellom kvadratarealene er:

\frac{Areal A F B C}{Areal A G H B} = \frac{50}{100} = 0,5

Fra oppgave a) vet vi at arealet av halvsirkelen $A E C$ er $6,25 π {c m}^{2}$ . Arealet av halvsirkelen $A C B$ er oppgitt til $12,5 π {c m}^{2}$ . Forholdet mellom halvsirkelarealene er:

\frac{Areal halvsirkel A E C}{Areal halvsirkel A C B} = \frac{6,25 π}{12,5 π} = 0,5

Begge forholdene er lik $0,5$ , så vi har vist at:

\frac{Areal av halvsirkel A E C}{Areal av halvsirkel A C B} = \frac{Areal av kvadrat A F B C}{Areal av kvadrat A G H B}

$Begge forhold er lik 0,5, så sammenhengen stemmer.$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Oppgave 2-10Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser halvsirkelen $A C B$ med sentrum i $O$ og radius $r$ , og halvsirkelen $A E C$ med diameter $A C$ . Hippokrates-månen er det blå området mellom de to buene $A E C$ og $A C$ .

Halvsirkelen ACB med sentrum i O og radius r, og halvsirkelen AEC med diameter AC. Hippokrates-månen og trekanten AOC er farget blå. Vinklene ved A og B er 45 grader

Vis ved regning at Hippokrates-månen har samme areal som $△ A O C$ , det vil si $\frac{r^{2}}{2}$ .

Tips: Vis først at $A C = \sqrt{2} \cdot r$

Fasit

$Arealet av månen er \frac{r^{2}}{2}, det samme som arealet av △ A O C .$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Vis at $A C = \sqrt{2} \cdot r$

I trekant $A O C$ er $∠ A O C = 90 °$ (markert i figuren), og $O A = O C = r$ , siden begge er radier i storsirkelen. Med Pytagoras’ setning:

A C = \sqrt{O A^{2} + O C^{2}} = \sqrt{r^{2} + r^{2}} = \sqrt{2 r^{2}} = \sqrt{2} \cdot r

Steg 2: Areal av halvsirkelen $A E C$

Halvsirkelen $A E C$ har diameter $A C = \sqrt{2} \cdot r$ , så radien er $\frac{\sqrt{2} \cdot r}{2}$ :

\begin{matrix} Areal halvsirkel A E C & = \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{\sqrt{2} \cdot r}{2})}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot π \cdot \frac{2 r^{2}}{4} \\ = \frac{π r^{2}}{4} \end{matrix}

Steg 3: Areal av sirkelsektoren $A O C$ i storsirkelen

Sektoren $A O C$ er en firedel av storsirkelen, siden $∠ A O C = 90 °$ av de $360 °$ i en hel sirkel:

Areal sektor A O C = \frac{90}{360} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}

Steg 4: Areal av trekant $A O C$

Trekanten er rettvinklet med de to katetene $O A = O C = r$ :

Areal △ A O C = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{r^{2}}{2}

Steg 5: Areal av Hippokrates-månen

Månen er det som er igjen av halvsirkelen $A E C$ når sirkelsegmentet mellom buen $A C$ (i storsirkelen) og korden $A C$ er fjernet. Dette sirkelsegmentet er sektoren $A O C$ minus trekanten $A O C$ :

Sirkelsegment = Areal sektor A O C - Areal △ A O C

Arealet av månen blir da:

\begin{matrix} Areal måne & = Areal halvsirkel A E C - Sirkelsegment \\ = Areal halvsirkel A E C - Areal sektor A O C + Areal △ A O C \\ = \frac{π r^{2}}{4} - \frac{π r^{2}}{4} + \frac{r^{2}}{2} \\ = \frac{r^{2}}{2} \end{matrix}

Leddene med $π r^{2}$ kansellerer hverandre, og igjen står $\frac{r^{2}}{2}$ — nøyaktig det samme som arealet av $△ A O C$ fra steg 4.

$Areal måne = \frac{r^{2}}{2} = Areal △ A O C$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-10 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 17 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Regnestykker med 1292, 954 og 1206

Oppgave 1-2·Gjør om 218 minutter og 4500 millimeter

Oppgave 1-3·Potensregning med negative tall og nullte potens

Oppgave 1-4·Brøkregning med fjerdedeler og tredjedeler

Oppgave 1-5·To likninger med x på begge sider

Oppgave 1-6·Pris for seks flasker vann og to kilo druer

Oppgave 1-7·Lesebrett satt ned 25 prosent til 3000 kroner

Oppgave 1-8·Sum og gjennomsnitt av ti matematikkarakterer

Oppgave 1-9·Forenkle bokstavuttrykk med a, x og y

Oppgave 1-10·Sekser med én terning eller to like med to terninger

Oppgave 1-11·Sondre kjøper epler og bananer for 80 kroner

Oppgave 1-12·Kartavstand ved målestokk 1 til 1 000 000

Oppgave 1-13·Kjørelengde med 60 km per time i 2,5 timer

Oppgave 1-14·Verditabell og grafer for x pluss 2 og x i andre

Oppgave 1-15·Konstruksjon av trapes ABCD med 30 og 45 grader

Hjelpefigur

Konstruksjonsforklaring

Oppgave 1-16·Grus og gjerde rundt rektangel og rettvinklet trekant

Oppgave 1-17·Tre kuler og en sylinder med samme volum

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Tannlegeregning med 75 prosent ungdomsrabatt

Oppgave 2-2·Valg av tannbørste, tannkrem og tanntråd

Oppgave 2-3·Munnskyllevann blandet i forholdet 1 til 3

Oppgave 2-4·Volumet av et plastbeger til munnskylling

Oppgave 2-5·Nedbetalingsplan for tannlån i regneark

Oppgave 2-6·Motorsykkelhopp i X-Fighters modellert med andregradsfunksjon

Oppgave 2-7·Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Oppgave 2-8·Omkrets av Hippokrates-figuren med to kvadrater

Oppgave 2-9·Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Oppgave 2-10·Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC

Temaer

Oppgave 1-1Regnestykker med 1292, 954 og 1206

Oppgave 1-2Gjør om 218 minutter og 4500 millimeter

Oppgave 1-3Potensregning med negative tall og nullte potens

Oppgave 1-4Brøkregning med fjerdedeler og tredjedeler

Oppgave 1-5To likninger med x på begge sider

Oppgave 1-6Pris for seks flasker vann og to kilo druer

Oppgave 1-7Lesebrett satt ned 25 prosent til 3000 kroner

Oppgave 1-8Sum og gjennomsnitt av ti matematikkarakterer

Oppgave 1-9Forenkle bokstavuttrykk med a, x og y

Oppgave 1-10Sekser med én terning eller to like med to terninger

Oppgave 1-11Sondre kjøper epler og bananer for 80 kroner

Oppgave 1-12Kartavstand ved målestokk 1 til 1 000 000

Oppgave 1-13Kjørelengde med 60 km per time i 2,5 timer

Oppgave 1-14Verditabell og grafer for x pluss 2 og x i andre

Oppgave 1-15Konstruksjon av trapes ABCD med 30 og 45 grader

Oppgave 1-16Grus og gjerde rundt rektangel og rettvinklet trekant

Oppgave 1-17Tre kuler og en sylinder med samme volum

Oppgave 2-1Tannlegeregning med 75 prosent ungdomsrabatt

Oppgave 2-2Valg av tannbørste, tannkrem og tanntråd

Oppgave 2-3Munnskyllevann blandet i forholdet 1 til 3

Oppgave 2-4Volumet av et plastbeger til munnskylling

Oppgave 2-5Nedbetalingsplan for tannlån i regneark

Oppgave 2-6Motorsykkelhopp i X-Fighters modellert med andregradsfunksjon

Oppgave 2-7Halvsirklene ACB og AEC i Hippokrates-figuren

Oppgave 2-8Omkrets av Hippokrates-figuren med to kvadrater

Oppgave 2-9Forholdet mellom halvsirkler og kvadrater hos Hippokrates

Oppgave 2-10Hippokrates-månen har samme areal som trekanten AOC