10. trinn Høst 2013

a)

Vi legger sammen tallene ved å stille dem under hverandre.

Enerne: $3+9=12$. Vi skriver ned $2$ og har $1$ i mente. Tierne: $3+7+1=11$. Vi skriver ned $1$ og har $1$ i mente. Hundrerne: $3+6+1=10$.

$$333+679=\underline{\underline{1012}}$$

b)

Vi stiller tallene under hverandre og trekker fra, siffer for siffer.

Enerne: $9-8=1$. Tierne: $5-7$ går ikke, så vi låner en hundrer. Da blir det $15-7=8$, og hundrertallet i det første tallet blir $7$. Hundrerne: $7-3=4$.

$$859-378=\underline{\underline{481}}$$

c)

Vi ganger tallene som om de var hele tall, og setter desimaltegnet på plass til slutt.

$$74\cdot 36=74\cdot 30+74\cdot 6=2220+444=2664$$

Begge tallene i oppgaven har til sammen $2$ desimaler ($\mathrm{7,4}$ har én, $\mathrm{3,6}$ har én), så svaret skal ha $2$ desimaler:

$$\mathrm{7,4}\cdot \mathrm{3,6}=\underline{\underline{\mathrm{26,64}}}$$

d)

Vi ganger begge tallene med $10$ for å bli kvitt desimaltallet i divisoren.

$$24:\mathrm{0,3}=240:3=\underline{\underline{80}}$$

a)

Det går $10$ desiliter på én liter. Da deler vi på $10$:

$$78\mathrm{dL}=78:10\mathrm{L}=\underline{\underline{\mathrm{7,8}\mathrm{L}}}$$

b)

Én mil er $10$ kilometer, og én kilometer er $1000$ meter. Da er $1$ mil $=10\cdot 1000=10000$ meter. Vi ganger med $10000$:

$$\mathrm{1,3}\text{ mil}=\mathrm{1,3}\cdot 10000\mathrm{m}=\underline{\underline{13000\mathrm{m}}}$$

c)

Ett tonn er $1000$ kilogram. Da ganger vi med $1000$:

$$\mathrm{2,5}\mathrm{t}=\mathrm{2,5}\cdot 1000\mathrm{kg}=\underline{\underline{2500\mathrm{kg}}}$$

d)

Én meter er $100$ centimeter. Da blir én kvadratmeter et kvadrat som er $100\mathrm{cm}$ på hver side, altså

$$1{\mathrm{m}}^2=100\mathrm{cm}\cdot 100\mathrm{cm}=10000{\mathrm{cm}}^2$$

Vi deler derfor på $10000$:

$$12000{\mathrm{cm}}^2=12000:10000{\mathrm{m}}^2=\underline{\underline{\mathrm{1,2}{\mathrm{m}}^2}}$$

a)

Vi regner ut det som står i parentesen først. Der regner vi potens før addisjon.

$$\begin{array}{cc}(-3+2^2)\cdot 3& =(-3+4)\cdot 3\\ & =1\cdot 3\\ & =\underline{\underline{3}}\end{array}$$

b)

Her er det ingen parentes rundt $-1$, så potensen gjelder bare tallet $1$. Det betyr at $-1^2=-(1^2)=-1$. Dette er noe annet enn ${(-1)}^2$, som er $1$, fordi der er det hele $-1$ som blir kvadrert.

I parentesen ${(-6+3)}^2$ regner vi først ut det som står inni parentesen, og kvadrerer så hele svaret:

$$\begin{array}{cc}-1^2-{(-6+3)}^2& =-1-{(-3)}^2\\ & =-1-9\\ & =\underline{\underline{-10}}\end{array}$$

a)

For å addere brøker må de ha samme nevner. Vi bruker $6$ som fellesnevner:

$${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{6}}=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{6}}}}$$

Brøken ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ kan ikke forkortes.

b)

Vi bruker $4$ som fellesnevner:

$${\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{4}}=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{7}{4}}}}$$

Brøken ${\displaystyle \frac{7}{4}}$ kan ikke forkortes.

c)

Vi ganger brøker ved å gange teller med teller og nevner med nevner:

$${\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{2\cdot 9}}={\displaystyle \frac{12}{18}}$$

Vi forkorter med $6$:

$${\displaystyle \frac{12}{18}}=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{2}{3}}}}$$

d)

Vi deler på en brøk ved å gange med den snudde brøken:

$$6:{\displaystyle \frac{3}{4}}=6\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{24}{3}}=\underline{\underline{8}}$$

a)

Vi samler alle $x$-ledd på venstre side og alle tallene på høyre side.

$$\begin{array}{cc}5x+3& =2x+6\\ 5x+3-2x& =2x+6-2x\\ 3x+3& =6\\ 3x+3-3& =6-3\\ 3x& =3\\ \frac{3x}{3}& =\frac{3}{3}\\ x& =\underline{\underline{1}}\end{array}$$

b)

Vi ganger først ut parentesen på høyre side: $-(x-2)=-x+2$.

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2x}{3}}+x& =-(x-2)\\ {\displaystyle \frac{2x}{3}}+x& =-x+2\end{array}$$

For å bli kvitt brøken ganger vi alle ledd på begge sider med $3$:

$$\begin{array}{cc}3\cdot ({\displaystyle \frac{2x}{3}}+x)& =3\cdot (-x+2)\\ 2x+3x& =-3x+6\end{array}$$

Nå samler vi $x$-leddene på venstre side og tallet på høyre side.

$$\begin{array}{cc}5x& =-3x+6\\ 5x+3x& =-3x+6+3x\\ 8x& =6\\ \frac{8x}{8}& =\frac{6}{8}\\ x& =\underline{\underline{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}\end{array}$$

Målestokken $1:50000$ betyr at $1\mathrm{cm}$ på kartet tilsvarer $50000\mathrm{cm}$ i virkeligheten.

Avstanden på kartet er $2\mathrm{cm}$. Vi ganger med målestokken for å finne avstanden i virkeligheten:

Så gjør vi om til kilometer. Vi vet at $1\mathrm{km}=1000\mathrm{m}=100000\mathrm{cm}$, så:

Avstanden mellom byene i virkeligheten er altså $\underline{\underline{1\mathrm{km}}}$.

Gjennomsnitt

Vi finner gjennomsnittet ved å summere alle de ti tallene og dele på hvor mange tall det er.

Median

For å finne medianen sorterer vi tallene fra minst til størst:

Det er ti tall, altså et partall, så medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (5. og 6. tall i den sorterte rekken):

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{\mathrm{3,4}}}$, og medianen er $\underline{\underline{\mathrm{2,5}}}$.

Vi runder av prisene til tall som er enkle å regne med i hodet:

Samlet pris før avslag er da omtrent:

Anne får $38\%$ avslag, som vi runder til $40\%$. Når hun får $40\%$ avslag, betaler hun de resterende $60\%$ av prisen. Vi finner $60\%$ av $2000$ kr:

Anne må altså betale omtrent $\underline{\underline{1200\mathrm{kr}}}$.

En PIN-kode består av 4 sifre, og hvert siffer kan være et av tallene $0,1,2,\dots ,9$, altså $10$ mulige valg for hvert siffer.

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet: siden valget av siffer på hver plass er uavhengig av de andre plassene, ganger vi sammen antall muligheter for hver av de fire plassene:

Det er altså mulig å lage $\underline{\underline{10000}}$ ulike PIN-koder.

Vi løser ulikheten steg for steg, på samme måte som en likning.

Nå skal vi dele begge sider på $-2$. Når vi deler en ulikhet på et negativt tall, snur ulikhetstegnet:

Løsningen av ulikheten er $\underline{\underline{x>-1}}$.

Trekanten

Trekanten har to vinkler som begge er $60°$. Da må den tredje vinkelen også være $60°$, siden vinkelsummen i en trekant alltid er $180°$:

Alle vinklene er $60°$, så trekanten er likesidet. Da er alle sidene like lange som grunnlinjen, $4\mathrm{m}$. Omkretsen blir

Sirkelen

Omkretsen av en sirkel er $O=2\pi r$. Med radius $r=2\mathrm{m}$ får vi

Sammenligning

Sirkelen har størst omkrets.

$\underline{\underline{\text{Sirkelen har størst omkrets}}}$

a)

Vi regner ut det som står i parentesen først:

$$a+2a=3a$$

Så trekker vi fra:

$$4a-(a+2a)=4a-3a=a$$

$\underline{\underline{4a-(a+2a)=a}}$

b)

Vi forkorter brøken først. I telleren er $a$ en felles faktor i begge leddene, så vi kan skrive $a^2+a=a(a+1)$:

$$\frac{a^2+a}{a}=\frac{a(a+1)}{a}$$

Vi forkorter bort $a$ i teller og nevner (siden $a\ne 0$):

$$\frac{a(a+1)}{a}=a+1$$

Da sitter vi igjen med

$$\frac{a^2+a}{a}-a=(a+1)-a=1$$

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{a^2+a}{a}}-a=1}}$

Vi starter med formelen

og skal flytte om slik at $h$ står alene. Først ganger vi begge sider med $2$ for å bli kvitt brøken:

Så deler vi begge sider på $(a+b)$ for å få $h$ alene:

$\underline{\underline{h={\displaystyle \frac{2A}{a+b}}}}$

Sjekk at punktene ligger på sirkelen

Sirkelen har sentrum i origo og radius $5$. For et punkt $(x,y)$ på sirkelen er avstanden til origo lik radiusen, så $x^2+y^2=5^2$ (Pytagoras). Vi sjekker punktene:

Alle de seks punktene ligger på sirkelen.

Finner skjæringspunktet $G$ (linjene $AB$ og $DE$)

Stigningstallet til $AB$ gjennom $A(-\mathrm{3,4})$ og $B(0,-5)$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $B(0,-5)$, så $AB$: $y=-3x-5$.

Stigningstallet til $DE$ gjennom $D(-4,-3)$ og $E(\mathrm{0,5})$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $E(\mathrm{0,5})$, så $DE$: $y=2x+5$.

Vi setter uttrykkene like hverandre for å finne skjæringspunktet:

Vi setter $x=-2$ inn i $DE$: $y=2\cdot (-2)+5=1$. Altså $G(-\mathrm{2,1})$.

Finner skjæringspunktet $H$ (linjene $AF$ og $CD$)

Stigningstallet til $AF$ gjennom $A(-\mathrm{3,4})$ og $F(3,-4)$:

Vi setter inn $F(3,-4)$ for å finne konstantleddet: $-4=-\frac{4}{3}\cdot 3+b=-4+b$, som gir $b=0$. Altså $AF$: $y=-\frac{4}{3}x$.

Stigningstallet til $CD$ gjennom $C(\mathrm{4,3})$ og $D(-4,-3)$:

Vi setter inn $D(-4,-3)$: $-3=\frac{3}{4}\cdot (-4)+b=-3+b$, som gir $b=0$. Altså $CD$: $y=\frac{3}{4}x$.

Vi setter uttrykkene like hverandre:

Vi setter $x=0$ inn i $CD$: $y=\frac{3}{4}\cdot 0=0$. Altså $H(\mathrm{0,0})$ — skjæringspunktet er origo.

Finner skjæringspunktet $K$ (linjene $EF$ og $BC$)

Stigningstallet til $EF$ gjennom $E(\mathrm{0,5})$ og $F(3,-4)$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $E(\mathrm{0,5})$, så $EF$: $y=-3x+5$.

Stigningstallet til $BC$ gjennom $B(0,-5)$ og $C(\mathrm{4,3})$:

Linjen skjærer $y$-aksen i $B(0,-5)$, så $BC$: $y=2x-5$.

Vi setter uttrykkene like hverandre:

Vi setter $x=2$ inn i $BC$: $y=2\cdot 2-5=-1$. Altså $K(2,-1)$.

Finner Pascal-linjen gjennom $G$, $H$ og $K$

Vi finner stigningstallet mellom $H(\mathrm{0,0})$ og $K(2,-1)$:

Siden linjen går gjennom origo, $H(\mathrm{0,0})$, er konstantleddet $0$. Pascal-linjen er da

Vi kontrollerer med $G(-\mathrm{2,1})$: $-\frac{1}{2}\cdot (-2)=1$ ✓, som stemmer.

$\underline{\underline{y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x}}$

Vi lar $b$ være prisen for 1 pall bjørkeved (i kroner), og $g$ være prisen for 1 pall granved (i kroner).

Ut fra opplysningene i oppgaven kan vi sette opp to likninger:

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Først isolerer vi $b$ i likning (1):

Så setter vi dette uttrykket for $b$ inn i likning (2):

Vi setter $g=600$ inn i uttrykket for $b$:

Vi kontrollerer svaret i den opprinnelige likning (1): $3\cdot 1000+6\cdot 600=3000+3600=6600$, som stemmer.

Én pall bjørkeved koster $1000\mathrm{kr}$, og én pall granved koster $600\mathrm{kr}$.

$\underline{\underline{b=1000\mathrm{kr},g=600\mathrm{kr}}}$

Hjelpefigur

Før vi konstruerer, tegner vi en enkel frihåndsskisse av det ferdige parallellogrammet $ABCD$, slik at vi vet hvordan resultatet skal se ut:

• $B$ ligger nederst til venstre og $C$ nederst til høyre, med $BC=\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$ langs bunnlinja.
• Fra $B$ går siden $BA$ skrått oppover mot venstre, med $AB=\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$, slik at vinkelen $\angle ABC$ mellom $BA$ og $BC$ er $75°$.
• $D$ ligger forskjøvet fra $C$ på samme måte som $A$ er forskjøvet fra $B$, siden $AD\parallel BC$ med $AD=BC$, og $DC\parallel AB$ med $DC=AB$.
• Diagonalen $AC$ deler parallellogrammet i de to kongruente trekantene $ABC$ og $ACD$.

Vi merker av de gitte målene $\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$, $\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$ og $75°$ på skissen.

Konstruksjonsforklaring

Vi har ikke gradskive, så vinkelen $75°$ må konstrueres med passer og linjal. Vi bruker at $75°$ er midtvinkelen mellom $60°$ og $90°$, fordi ${\displaystyle \frac{60°+90°}{2}}=75°$. Både $60°$ og $90°$ er enkle å konstruere med passer:

Steg 1 — Tegn grunnlinja $BC$. Tegn en rett linje og sett av punktet $B$ på den. Sett passeren i $B$ med åpning $\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$, og merk av punktet $C$ på linja.

Steg 2 — Konstruer en vinkel på $60°$ i $B$.

• Sett passerspissen i $B$ og tegn en bue med en vilkårlig radius som skjærer linja $BC$ i et punkt $P$.
• Behold samme passeråpning, sett passerspissen i $P$, og tegn en ny bue som skjærer den første buen i punktet $Q$.
• Strålen fra $B$ gjennom $Q$ danner en vinkel på nøyaktig $60°$ med $BC$ (dette er standardkonstruksjonen for en likesidet trekant, der alle vinkler er $60°$).

Steg 3 — Konstruer en vinkel på $90°$ i $B$.

• Sett passeren i $B$ og tegn en bue med en radius som skjærer grunnlinja på begge sider av $B$, i punktene $E$ og $F$.
• Sett passerspissen i $E$ og tegn en bue over linja med en åpning større enn halve $EF$. Gjør det samme fra $F$ med samme åpning. De to buene skjærer hverandre i punktet $R$.
• Strålen fra $B$ gjennom $R$ står vinkelrett på $BC$, altså en vinkel på $90°$.

Steg 4 — Halver vinkelen mellom $60°$- og $90°$-strålen.

• Sett passerspissen i $B$ og tegn en bue med samme radius som skjærer både $60°$-strålen (i punkt $M$) og $90°$-strålen (i punkt $N$).
• Sett passeren i $M$ og tegn en bue mellom strålene. Gjør det samme fra $N$ med samme passeråpning. De to buene skjærer hverandre i punktet $K$.
• Strålen fra $B$ gjennom $K$ halverer vinkelen mellom $60°$- og $90°$-strålen, og danner dermed en vinkel på $60°+15°=75°$ med grunnlinja $BC$. Dette er strålen som siden $BA$ skal ligge langs.

Steg 5 — Sett av punktet $A$. Sett passeren i $B$ med åpning $\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$, og merk av punktet $A$ der buen skjærer $75°$-strålen fra steg 4.

Steg 6 — Tegn trekanten $ABC$. Trekk linja mellom $A$ og $C$. Nå er $△ABC$ ferdig konstruert, med $AB=\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$, $BC=\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$ og $\angle ABC=75°$.

Steg 7 — Konstruer det fjerde hjørnet $D$. Parallellogrammet $ABCD$ skal ha $AD\parallel BC$ med $AD=BC=\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$, og $DC\parallel AB$ med $DC=AB=\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$:

• Sett passeren i $A$ med åpning $\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$ (lik $BC$) og tegn en bue på den siden av $AC$ som er motsatt av $B$.
• Sett passeren i $C$ med åpning $\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$ (lik $AB$) og tegn en ny bue som skjærer den forrige.
• Skjæringspunktet mellom de to buene er $D$.

Steg 8 — Fullfør parallellogrammet. Trekk linjene $AD$ og $CD$. Nå er parallellogrammet $ABCD$ ferdig konstruert.

a)

Prismet står på en kvadratisk flate med sider $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$, og høyden er $\mathrm{8,0}\mathrm{dm}$.

De to endeflatene i prismet er rettvinklede trekanter. På skissen ser vi at den ene kateten er den vannrette siden på $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$, og den andre kateten er den loddrette høyden på $\mathrm{8,0}\mathrm{dm}$. Den rette vinkelen mellom dem er markert på figuren.

Arealet av den trekantede endeflaten:

$$G=\frac{\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{8,0}}{2}=\frac{48}{2}=24{\mathrm{dm}}^2$$

Volumet av et prisme finner vi ved å multiplisere arealet av tverrsnittet med lengden av prismet. Lengden er den andre siden i det kvadratiske underlaget, $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$:

$$V=G\cdot \mathrm{6,0}=24\cdot \mathrm{6,0}=144{\mathrm{dm}}^3$$

$\underline{\underline{V=144{\mathrm{dm}}^3}}$

Vi kan kontrollere svaret: prismet er nøyaktig halvparten av en kasse med målene $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}\cdot \mathrm{6,0}\mathrm{dm}\cdot \mathrm{8,0}\mathrm{dm}$, og

$$\frac{\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{6,0}\cdot \mathrm{8,0}}{2}=\frac{288}{2}=144{\mathrm{dm}}^3$$

b)

Overflaten består av fem flater: de to trekantede endeflatene og tre rektangler.

De to endeflatene fant vi arealet av i a), $24{\mathrm{dm}}^2$ hver:

$$2\cdot 24=48{\mathrm{dm}}^2$$

Den kvadratiske flaten prismet står på har sidene $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$ og $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$:

$$\mathrm{6,0}\cdot \mathrm{6,0}=36{\mathrm{dm}}^2$$

Den loddrette sideflaten er et rektangel med sidene $\mathrm{8,0}\mathrm{dm}$ og $\mathrm{6,0}\mathrm{dm}$:

$$\mathrm{8,0}\cdot \mathrm{6,0}=48{\mathrm{dm}}^2$$

Den skrå sideflaten (den blå på skissen) er et rektangel der den ene siden er hypotenusen $c$ i den rettvinklede endeflaten. Vi finner $c$ med Pytagoras’ setning:

$$\begin{array}{cc}{c}^2& ={\mathrm{6,0}}^2+{\mathrm{8,0}}^2\\ c^2& =36+64\\ c^2& =100\\ c& =\sqrt{100}=10\mathrm{dm}\end{array}$$

Arealet av den skrå sideflaten blir da

$$10\cdot \mathrm{6,0}=60{\mathrm{dm}}^2$$

Overflaten er summen av alle de fem flatene:

$$O=48+36+48+60=192{\mathrm{dm}}^2$$

$\underline{\underline{O=192{\mathrm{dm}}^2}}$

a)

For å legge sammen ingrediensene må alle mengdene skrives med samme måleenhet. Vi gjør alt om til kilogram. Siden $\mathrm{1,0}\mathrm{L}$ vann veier $\mathrm{1,0}\mathrm{k}\mathrm{g}$, veier $\mathrm{1,5}\mathrm{L}$ vann $\mathrm{1,5}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$$\begin{array}{cc}600\mathrm{g}& =\mathrm{0,6}\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 50\mathrm{g}& =\mathrm{0,05}\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 150\mathrm{g}& =\mathrm{0,15}\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 100\mathrm{g}& =\mathrm{0,1}\mathrm{k}\mathrm{g}\\ 100\mathrm{g}& =\mathrm{0,1}\mathrm{k}\mathrm{g}\end{array}$$

Så legger vi sammen alle kilogrammene:

$$\mathrm{1,8}+\mathrm{0,6}+\mathrm{0,05}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}+\mathrm{1,5}=\mathrm{4,3}\mathrm{kg}$$

Ingrediensene veier til sammen $\underline{\underline{\mathrm{4,3}\mathrm{kg}}}$.

b)

Espen skal bake $5$ brød i stedet for $4$. Da må hver ingrediens (unntatt gjæren, som han bruker like mye av) skaleres med forholdstallet

$$\frac{5}{4}=\mathrm{1,25}$$

Vi ganger hver mengde med $\mathrm{1,25}$:

$$\begin{array}{cc}\text{Hvetemel:}& \mathrm{1,8}\mathrm{kg}\cdot \mathrm{1,25}=\mathrm{2,25}\mathrm{kg}\\ \text{Grovt mel:}& 600\mathrm{g}\cdot \mathrm{1,25}=750\mathrm{g}\\ \text{Gjær:}& 50\mathrm{g}\text{(uendret)}\\ \text{Havregryn:}& 150\mathrm{g}\cdot \mathrm{1,25}=\mathrm{187,5}\mathrm{g}\\ \text{Havrekli:}& 100\mathrm{g}\cdot \mathrm{1,25}=125\mathrm{g}\\ \text{Olje:}& 100\mathrm{g}\cdot \mathrm{1,25}=125\mathrm{g}\\ \text{Vann:}& \mathrm{1,5}\mathrm{L}\cdot \mathrm{1,25}=\mathrm{1,875}\mathrm{L}\end{array}$$

Espen trenger $\underline{\underline{\mathrm{2,25}\mathrm{kg}}}$ hvetemel, $\underline{\underline{750\mathrm{g}}}$ grovt mel, $\underline{\underline{50\mathrm{g}}}$ gjær, $\underline{\underline{\mathrm{187,5}\mathrm{g}}}$ havregryn, $\underline{\underline{125\mathrm{g}}}$ havrekli, $\underline{\underline{125\mathrm{g}}}$ olje og $\underline{\underline{\mathrm{1,875}\mathrm{L}}}$ vann.