10. trinn Eksempeloppgave 2015

Vi legger sammen tallene siffer for siffer, fra høyre mot venstre.

• Enere: $7+9=16$. Vi skriver $6$ og fører over $1$.
• Tiere: $8+8+1=17$. Vi skriver $7$ og fører over $1$.
• Hundrere: $9+5+1=15$.

Det gir $987+589=\underline{\underline{1576}}$.

Vi trekker fra siffer for siffer, fra høyre mot venstre.

• Enere: $3-9$ går ikke opp, så vi låner $1$ fra tierplassen: $13-9=4$.
• Tiere: vi har lånt bort $1$, så vi har $3$ tiere igjen: $3-8$ går ikke opp, vi låner $1$ fra hundrerplassen: $13-8=5$.
• Hundrere: vi har lånt bort $1$, så vi har $5$ hundrere igjen: $5-7$ går ikke opp, vi låner $1$ fra tusenerplassen: $15-7=8$.
• Tusenere: vi har lånt bort $1$, så vi har $7$ tusenere igjen: $7-4=3$.

Det gir $8643-4789=\underline{\underline{3854}}$.

Vi deler opp $678$ i hundrere, tiere og enere, og ganger $345$ med hver del:

Det gir $345\cdot 678=\underline{\underline{233910}}$.

Vi ganger både $32$ og $\mathrm{0,64}$ med $100$, slik at divisoren blir et helt tall. Da endres ikke svaret på regnestykket:

Vi ser at $64\cdot 50=3200$, så

Én time er $60$ minutter. Vi finner ut hvor mange hele timer det er i $205$ minutter:

Det betyr at $205$ minutter er $3$ hele timer, med $25$ minutter til overs. Altså er

Vi gjør om i to steg: fra milligram til gram, og fra gram til kilogram. $1000\mathrm{mg}=1\mathrm{g}$, så

$1000\mathrm{g}=1\mathrm{kg}$, så

$1000\mathrm{mL}=1\mathrm{L}$. Vi deler derfor $750$ på $1000$:

$1$ dekar er $1000{\mathrm{m}}^2$. Vi deler derfor $11500$ på $1000$:

Vi ganger telleren i brøken med $15$:

Vi forkorter brøken ved å dele teller og nevner på $5$:

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den snudde brøken:

Regnerekkefølgen er: parentes, potens, multiplikasjon/divisjon, addisjon/subtraksjon.

Først regner vi ut parentesen:

Så regner vi ut potensen:

Til slutt multipliserer og adderer vi:

Vi begynner med parentesen:

Så regner vi ut potensene:

Så multipliserer og dividerer vi:

Til slutt trekker vi sammen:

Vi samler alle $x$-ledd på venstre side og alle tall på høyre side. Det vi gjør på den ene siden, må vi også gjøre på den andre siden.

Svar: $\underline{\underline{x=1}}$

Nevnerne i likningen er $6$, $4$ og $3$. Minste felles multiplum av disse tallene er $12$, så vi ganger begge sider med $12$ for å bli kvitt brøkene.

Vi fortsetter å samle $x$-ledd på venstre side og tall på høyre side.

Svar: $\underline{\underline{x=18}}$

Én T-skjorte koster $100$ kroner. Uten tilbud koster tre T-skjorter

Med tilbudet TA 3, BETAL FOR 2 betaler du bare for to T-skjorter:

Avslaget i kroner er differansen mellom det du skulle betalt, og det du faktisk betaler:

For å finne avslaget i prosent, deler vi avslaget i kroner på den opprinnelige prisen og ganger med $100\%$:

Svar: Du får omtrent $\underline{\underline{\mathrm{33,3}\%}}$ avslag.

Pondus har fem flasker sjampo. Han tolker tilbudet slik at han skal ta tre flasker (altså få tre gratis), men han skal likevel betale for to av de fem flaskene han har med seg. Dermed betaler han bare for $2$ av $5$ flasker.

Om vi kaller prisen for én flaske $p$, skulle han normalt betalt

for fem flasker, men han betaler bare

Avslaget i kroner er da $5p-2p=3p$. Avslaget i prosent blir

Svar: Pondus fikk $\underline{\underline{60\%}}$ avslag — han betalte altså bare for to av de fem flaskene, i stedet for å bare få tre av dem billigere.

Vi setter $F=86$ inn i formelen $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$:

Svar: Det tilsvarer $\underline{\underline{30°\mathrm{C}}}$.

Vi skal snu formelen $C={\displaystyle \frac{5}{9}}(F-32)$ slik at $F$ står alene. Det vi gjør på den ene siden av likningen, må vi også gjøre på den andre siden.

Svar: $\underline{\underline{F={\displaystyle \frac{9}{5}}C+32}}$

Vi skal forkorte brøken

Vi deler tallene for seg og $x$-ene for seg. $4$ delt på $2$ er $2$, og $x^2$ delt på $x$ er $x$:

$\underline{\underline{2x}}$

Vi skal forkorte brøken

Først faktoriserer vi telleren. Begge ledd har felles faktor $5$:

Så faktoriserer vi nevneren med konjugatsetningen, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, der $a=x$ og $b=5$:

Nå setter vi de faktoriserte uttrykkene inn i brøken:

Faktoren $(x+5)$ finnes både i teller og nevner, så vi kan forkorte den bort:

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{x-5}}}}$

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Her er det $175$ som forekommer to ganger, mens de andre verdiene bare forekommer én gang hver.

$\underline{\underline{175\mathrm{cm}}}$

Det er $4$ spillere, altså et partall antall. Da finner vi medianen ved å ta gjennomsnittet av de to midterste verdiene i den sorterte lista, $175$ og $185$:

$\underline{\underline{180\mathrm{cm}}}$

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle høydene og dele på antall spillere, $4$:

$\underline{\underline{181\mathrm{cm}}}$

Vi setter $x=0$ og $x=15$ inn i uttrykket $T(x)=10x+50$.

$\underline{\underline{T(0)=50\mathrm{k}\mathrm{r}}}$ betyr at det koster $50$ kroner å bestille taxien selv om vi ikke kjører noen kilometer. Dette er startavgiften.

$\underline{\underline{T(15)=200\mathrm{k}\mathrm{r}}}$ betyr at det koster $200$ kroner å kjøre $15\mathrm{k}\mathrm{m}$ med taxien.

Grafen til $T(x)=10x+50$ er en rett linje. Vi finner to punkter på linja og trekker en rett strek gjennom dem:

• Når $x=0$: $T(0)=50$, altså punktet $(0,50)$.
• Når $x=40$: $T(40)=10\cdot 40+50=450$, altså punktet $(40,450)$.

Hvor langt kan vi kjøre for 250 kroner?

Vi leser av grafen der $T(x)=250$: vi går vannrett fra $250$ på andreaksen til vi treffer linja, og loddrett ned til førsteaksen. Det gir $x=\underline{\underline{20\mathrm{k}\mathrm{m}}}$.

Hvor store er utgiftene når vi kjører 35 km?

Vi leser av grafen der $x=35$: vi går loddrett opp fra $35$ på førsteaksen til vi treffer linja, og vannrett bort til andreaksen. Det gir $T(35)=\underline{\underline{400\mathrm{k}\mathrm{r}}}$.

Vi lager et regneark med kolonnene A–F: Vare, Pris, Rabatt, Pris etter rabatt, Antall og Sum, med én vare per rad (rad 2–6), frakt i rad 7 og totalsum i rad 8.

For varene med rabatt oppgitt i prosent finner vi prisen etter rabatt ved å multiplisere prisen med $(1-\text{rabatt})$. For fotballen, som har $60\%$ rabatt, blir det

Fotballskoa har derimot rabatten oppgitt i kroner ($90\mathrm{kr}$), så der trekker vi rabatten direkte fra prisen:

Vi regner ut prisen etter rabatt for alle varene på samme måte, og setter opp regnearket slik:

Formlene vi bruker i regnearket:

• D-kolonnen (pris etter rabatt): for varene med prosentrabatt skriver vi rabatten som desimaltall (formatert som prosent) i C-kolonnen, f.eks. $C2=\mathrm{0,60}$, og bruker formelen =B2*(1-C2) (tilsvarende i D3, D5 og D6). For fotballskoa, der rabatten står i kroner i C4, bruker vi i stedet =B4-C4.
• F-kolonnen (sum): antall ganger pris etter rabatt, f.eks. =D2*E2 i F2. I F7 skriver vi frakten direkte som 99, siden den er lik uansett hvor mye Anne kjøper.
• Totalsum i F8: =SUMMER(F2:F7).

Totalsummen i F8 blir $\mathrm{3108,96}\mathrm{kr}$.

Svar: Anne må betale $\underline{\underline{\mathrm{3108,96}\mathrm{kr}}}$ til sammen.

Siden vi har brukt formler i regnearket, trenger vi bare å endre tallene i Antall-kolonnen (E). Prisene, rabattene og summene oppdaterer seg automatisk fordi D- og F-kolonnen inneholder formler som viser til E-kolonnen.

Nye antall: 3 fotballer, 3 pumper, 4 fotballsko, 2 par keeperhansker og 4 hettegensere.

Totalsummen i F8 blir nå $\mathrm{5841,42}\mathrm{kr}$.

Svar: Anne må nå betale $\underline{\underline{\mathrm{5841,42}\mathrm{kr}}}$ til sammen.

Vi skal lage eit diagram som viser vekta til dei sju spelarane. Kvar spelar er ein eigen kategori, og vekta er eit enkelttal for kvar kategori. Då er eit søylediagram det diagrammet som passar best — det er laga nettopp for å samanlikne verdiar mellom ulike kategoriar.

Slik gjer vi det i regneark:

1. Skriv spelarnamna i kolonne A og vektene i kolonne B.

   	A	B
   1	Spiller	Vekt (kg)
   2	Sturridge	76
   3	Gerrard	83
   4	Skrtel	81
   5	Balotelli	80
   6	Saez	70
   7	Enrique	76
   8	Mignolet	87

2. Merk cellene A1:B8.

3. Vel «Sett inn diagram» og vel diagramtypen søylediagram (stolpediagram).

Resultatet blir eit diagram som dette:

Diagrammet viser tydeleg at Mignolet er tyngst med $87\mathrm{kg}$, og Saez lettast med $70\mathrm{kg}$.

Eit linjediagram blir brukt når verdiane heng saman i ei naturleg rekkefølgje, til dømes utvikling over tid. Linja mellom to punkt viser då korleis verdien endrar seg mellom dei to punkta.

Her er spelarane berre ramsa opp i ei tilfeldig rekkefølgje — det er ingen samanheng mellom til dømes Sturridge og Gerrard, som er naboar i tabellen berre av tilfelle. Teiknar vi ei linje mellom søylene, ser det ut som om vekta “utviklar seg” frå den eine spelaren til den neste, og at det finst verdiar mellom dei to punkta. Det gir ikkje meining — det finst ingen “mellomspelar” mellom Sturridge og Gerrard.

Difor er linjediagram ikkje eigna til å vise desse dataa, medan søylediagram, der kvar søyle står for seg sjølv, viser vektene rett fram.

Daniel skal velge én trøye, én bukse og ett par strømper/sko. Siden strømpene og skoene hører sammen og ikke kan blandes, teller hvert strømpe-sko-par som ett valg.

• Antall trøyer å velge mellom: $4$
• Antall bukser å velge mellom: $4$
• Antall strømpe-sko-par å velge mellom: $3$

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet: antall trøyer $\cdot$ antall bukser $\cdot$ antall strømpe-sko-par.

Svar: Daniel kan kle seg på $\underline{\underline{48}}$ forskjellige måter.

Daniel skal velge $2$ av de $4$ trøyene til bagen. Her spiller det ingen rolle i hvilken rekkefølge trøyene legges oppi bagen — det er bare hvilke to trøyer som havner der, som teller.

Vi tenker oss først at rekkefølgen betyr noe: han velger første trøye blant $4$, og deretter den andre trøya blant de $3$ som er igjen.

Dette gir $12$ måter å velge to trøyer på når rekkefølgen teller. Men trøye A og trøye B sammen i bagen er den samme kombinasjonen uansett hvilken av dem som ble lagt oppi først, så hvert par er telt to ganger. Vi deler derfor på $2$:

Svar: Det finnes $\underline{\underline{6}}$ forskjellige kombinasjoner av fotballtrøyer i bagen.

Omkretsen av en sirkel (storsirkelen rundt kulen) er $O=2\pi r$, der $r$ er radiusen. Vi setter inn $O=67\mathrm{cm}$ og løser for $r$:

Volumet av en kule er gitt ved $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$. Vi setter inn $r\approx \mathrm{10,66}\mathrm{cm}$:

Siden $\mathrm{5,08}\mathrm{L}\approx 5\mathrm{L}$, stemmer det at volumet er omtrent $5\mathrm{L}$ når omkretsen er ca. $67\mathrm{cm}$.

I a) fant vi at en fotball med omkrets $67\mathrm{cm}$ — altså radius $r\approx \mathrm{10,66}\mathrm{cm}$ — har et volum på omtrent $5\mathrm{L}$. Dette er nettopp fotballen oppgaven spør om, så vi bruker samme radius til å finne overflatearealet.

Overflatearealet av en kule er gitt ved $S=4\pi r^2$:

Vi gjør om til $\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2$ ($1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2=100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$):

Overflatearealet er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{14,3}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2}}$.

Overflatearealet er $S\approx 10\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2=1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$. Vi løser $S=4\pi r^2$ for $r$:

Nå kan vi finne volumet med $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3$:

I a) så vi at en fotball med størrelse $5$ har et volum på omtrent $5\mathrm{L}$. Da må en fotball med volum omtrent $3\mathrm{L}$ ha størrelse $\underline{\underline{3}}$.