10. trinn Eksempeloppgave 2 — 2009

a)

Per og de tre kameratene hans er til sammen 4 personer. De deler pengene likt, så vi deler beløpet på 4 personer:

$$1200:4=300$$

Per får $\underline{\underline{300\mathrm{kr}}}$.

b)

Skoene koster 525 kroner, og Samira får 60 kroner i avslag. Vi trekker avslaget fra prisen:

$$525-60=465$$

Samira må betale $\underline{\underline{465\mathrm{kr}}}$ for skoene.

c)

Teresa kjøper en bluse til 325,50 kroner og en bukse til 595,50 kroner. Vi legger sammen de to prisene:

$$\mathrm{325,50}+\mathrm{595,50}=921$$

Teresa har brukt $\underline{\underline{921\mathrm{kr}}}$ til sammen.

d)

Ante kjøper 3 CD-er som koster 129 kroner hver. Vi ganger prisen per CD med antall CD-er:

$$3\cdot 129=387$$

Ante må betale $\underline{\underline{387\mathrm{kr}}}$ totalt.

Rektangelet er delt inn i $3\cdot 6=18$ like store ruter. I øverste rad er alle 6 rutene skyggelagt, og i den midterste raden er 4 av 6 ruter skyggelagt. Det gir til sammen

skyggelagte ruter av 18. Brøkdelen som er skyggelagt, er da

altså litt mer enn halvparten av rektangelet.

Nå ser vi på de fire sirklene:

• Sirkel A har omtrent en tredjedel skyggelagt.
• Sirkel B er delt nøyaktig i to, så halvparten er skyggelagt.
• Sirkel C har litt mer enn halvparten skyggelagt.
• Sirkel D har omtrent tre firedeler skyggelagt.

Brøkdelen $\frac{5}{9}\approx \mathrm{0,56}$ i rektangelet passer best med sirkel C, som også har litt mer enn halvparten skyggelagt.

Svaret er $\underline{\underline{\text{Sirkel C}}}$.

Vi setter $b=2$ inn i uttrykket $2b^3-b$.

Først regner vi ut potensen:

Deretter setter vi inn og regner ut:

Verdien av uttrykket er $\underline{\underline{14}}$.

Vi skal regne ut $\mathrm{0,5}+2^3+\sqrt{36}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Først regner vi ut potensen, kvadratroten og brøken hver for seg.

Potensen:

Kvadratroten (tallet som ganget med seg selv gir 36):

Brøken som desimaltall:

Nå setter vi inn de utregnede verdiene og legger sammen fra venstre mot høyre:

Uttrykket trekkes sammen til $\underline{\underline{13}}$.

En rett linje har et funksjonsuttrykk på formen $y=ax+b$, der $a$ er stigningstallet og $b$ er verdien der linja skjærer $y$-aksen.

Vi leser av grafen at linja skjærer $y$-aksen i $y=3$, altså er $b=3$.

For å finne stigningstallet $a$ leser vi av to punkter på linja. Fra punktet $(0,3)$ går linja til punktet $(1,5)$. Stigningstallet er endringen i $y$ delt på endringen i $x$:

Vi setter inn $a=2$ og $b=3$ i uttrykket $y=ax+b$:

Vi kan kontrollere svaret ved å regne ut hvor linja skjærer $x$-aksen, altså der $y=0$:

Dette stemmer med grafen, der linja krysser $x$-aksen mellom $x=-1$ og $x=-2$.

I Fibonacci-tallfølgen er hvert tall lik summen av de to foregående tallene. Vi sjekker mønsteret:

Vi bruker samme mønster for å finne de to neste tallene. Det neste tallet er summen av de to siste tallene i følgen, $8$ og $13$:

Det tallet etter det igjen er summen av $13$ og $21$:

De to neste tallene er $\underline{\underline{21}}$ og $\underline{\underline{34}}$.

a)

Terningen med seks sider har like mange muligheter for hvert tall, altså $6$ mulige utfall: $1,2,3,4,5,6$. Bare ett av utfallene er en 3-er. Sannsynligheten for et enkelt utfall er da:

$$P(3)=\frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}=\frac{1}{6}$$

Sannsynligheten for å få en 3-er er $\underline{\underline{P=\frac{1}{6}}}$.

b)

Terningen med åtte sider har $8$ like sannsynlige utfall: $1,2,3,4,5,6,7,8$. Vi skal finne sannsynligheten for å få $1$ eller $2$, altså to gunstige utfall av åtte mulige:

$$P(1\text{ eller }2)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

Sannsynligheten for å få 1 eller 2 er $\underline{\underline{P=\frac{1}{4}}}$.

Et tall på standardform skrives som $a\cdot {10}^n$, der $a$ er et tall mellom $1$ og $10$ (altså med bare ett siffer foran komma).

Vi starter med $384000$ og flytter kommaet til det står mellom $3$ og $8$, slik at tallet foran blir mellom $1$ og $10$:

Vi teller hvor mange plasser kommaet er flyttet: fra $384\mathrm{000,0}$ til $\mathrm{3,84}$ er kommaet flyttet $5$ plasser mot venstre. Det gir eksponenten $5$:

Dermed er $384000=\mathrm{3,84}\cdot {10}^5$.

Riktig svar er $\underline{\underline{\mathrm{3,84}\cdot {10}^5}}$.

Vi skal velge én størrelse og ett smørvalg. Det er $3$ mulige størrelser (liten, medium, stor) og $3$ mulige smørvalg (uten smør, med smør, med ekstra smør).

For hver av de $3$ størrelsene kan vi velge mellom $3$ ulike smørvalg. Da bruker vi multiplikasjonsprinsippet: antall kombinasjoner finner vi ved å multiplisere antall valg i hvert trinn:

Vi kan også telle det opp direkte for å sjekke svaret:

• Liten: uten smør, med smør, med ekstra smør (3 valg)
• Medium: uten smør, med smør, med ekstra smør (3 valg)
• Stor: uten smør, med smør, med ekstra smør (3 valg)

Det gir til sammen $3+3+3=9$ mulige popkornposer.

Du har $\underline{\underline{9}}$ forskjellige popkornposer å velge mellom.

Vi kaller tallet som mangler for $x$. Gjennomsnittet av de fire tallene skal bli $3$, så vi setter opp likningen:

Vi ganger begge sider med $4$ for å bli kvitt brøken:

Så trekker vi sammen leddene på venstre side:

Til slutt trekker vi $10$ fra begge sider:

Vi kan kontrollere svaret ved å sette $2$ inn i ruten: $(2+4+2+4):4=12:4=3$. Det stemmer.

Tallet som mangler i ruten er $\underline{\underline{2}}$.

a)

En T-skjorte koster $100\mathrm{kr}$. Tre T-skjorter til vanlig pris koster derfor

$$3\cdot 100\mathrm{kr}=300\mathrm{kr}$$

Med tilbudet betaler du bare for to skjorter:

$$2\cdot 100\mathrm{kr}=200\mathrm{kr}$$

Du sparer altså

$$300\mathrm{kr}-200\mathrm{kr}=100\mathrm{kr}$$

Prosentvis avslag finner vi ved å dele det du sparer på den opprinnelige prisen, og gange med $100\%$:

$$\frac{100}{300}\cdot 100\%\approx \mathrm{33,3}\%$$

Du får omtrent $\underline{\underline{33\%}}$ avslag.

b)

I tegneseriestripen ser vi at det står fem flasker sjampo på disken. Pondus har misforstått tilbudet: i stedet for å betale for to av tre flasker, tror han at han skal ta tre flasker ekstra gratis og betale for de to han opprinnelig ville ha. Han sier selv «Jeg tok tre og betalte for to!» — han endte altså opp med $5$ flasker, men betalte bare for $2$.

Sier vi at én flaske sjampo koster $p$ kroner, skulle $5$ flasker til vanlig pris kostet

$$5p$$

Pondus betalte bare for $2$ flasker:

$$2p$$

Han sparte dermed

$$5p-2p=3p$$

Prosentvis avslag:

$$\frac{3p}{5p}\cdot 100\%=\frac{3}{5}\cdot 100\%=60\%$$

Pondus fikk $\underline{\underline{60\%}}$ avslag — mye mer enn det vanlige tilbudet ga, fordi han fikk tre gratis flasker i tillegg til de to han hadde tenkt å kjøpe.

Vi setter inn $x=3$ og $y=2$ i punktet $(-x,-y)$:

Punktet $(-3,-2)$ ligger $3$ enheter til venstre for origo (negativ $x$-verdi) og $2$ enheter under origo (negativ $y$-verdi). På figuren er det punkt $S$ som ligger der.

Punktet $(-x,-y)$ er $\underline{\underline{S}}$.

a)

$$\begin{array}{cc}4x+3& =11\\ 4x+3-3& =11-3\\ 4x& =8\\ \frac{4x}{4}& =\frac{8}{4}\\ x& =2\end{array}$$

b)

Vi ganger først ut parentesen $3(x+3)$:

$$2x-2-3(x+3)=2x-2-3x-9$$

Vi trekker sammen like ledd på venstre side:

$$2x-2-3x-9=-x-11$$

Likningen blir dermed

$$\begin{array}{cc}-x-11& =9x-1\\ -x-11+x& =9x-1+x\\ -11& =10x-1\\ -11+1& =10x-1+1\\ -10& =10x\\ \frac{-10}{10}& =\frac{10x}{10}\\ -1& =x\end{array}$$

Altså er $x=-1$.

Kontroll: Setter vi $x=-1$ inn i den opprinnelige likningen, får vi $2(-1)-2-3(-1+3)=-2-2-6=-10$ på venstre side, og $9(-1)-1=-10$ på høyre side. Likningen stemmer.

Michael Jordan er $6$ fot og $6$ tommer høy. Vi regner om hver del til centimeter og legger sammen.

Seks fot:

Seks tommer:

Total høyde i centimeter:

Vi gjør om til meter ved å dele på $100$:

Michael Jordan er omtrent $\underline{\underline{\mathrm{1,98}\mathrm{m}}}$ høy.

a)

Vi samler leddene med $a$ for seg og leddene med $b$ for seg:

$$4b+10a-3b-9b=10a+(4b-3b-9b)$$

Vi trekker sammen $b$-leddene:

$$4b-3b-9b=-8b$$

Så uttrykket blir

$$10a-8b$$

b)

Vi ganger først ut parentesen $4(3a-2b)$ ved å multiplisere hvert ledd med $4$:

$$4(3a-2b)=12a-8b$$

Parentesen $(b+3a)$ har minustegn foran, så vi må skifte fortegn på begge leddene inni når vi løser den opp:

$$-(b+3a)=-b-3a$$

Uttrykket blir dermed

$$12a-8b-b-3a$$

Vi samler leddene med $a$ for seg og leddene med $b$ for seg:

$$(12a-3a)+(-8b-b)=9a-9b$$

Vi skal løse ulikheten $2x-3<-2(x-1)-1$.

Først ganger vi ut parentesen på høyre side:

Nå samler vi alle $x$-leddene på venstre side og tallene på høyre side. Vi legger til $2x$ på begge sider, og deretter legger vi til $3$ på begge sider:

Til slutt deler vi begge sider på $4$. Siden vi deler på et positivt tall, beholder ulikheten samme retning:

$\underline{\underline{x<1}}$

a)

Vi skal gjøre om fra liter til desiliter. Vi vet at $1$ liter $=10$ dl, så vi ganger med $10$:

$$\mathrm{1,5}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}=\mathrm{1,5}\cdot 10\mathrm{dl}=15\mathrm{dl}$$

$\underline{\underline{15\mathrm{dl}}}$

b)

Vi skal gjøre om fra meter til mil. Vi vet at $1$ mil $=10$ km $=10000$ m, så vi deler på $10000$:

$$5100\mathrm{m}=\frac{5100}{10000}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}=\mathrm{0,51}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}$$

$\underline{\underline{\mathrm{0,51}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}}}$

c)

Vi skal gjøre om fra kilogram til hektogram. Vi vet at $1$ kg $=10$ hg, så vi ganger med $10$:

$$\mathrm{0,4}\mathrm{kg}=\mathrm{0,4}\cdot 10\mathrm{hg}=4\mathrm{hg}$$

$\underline{\underline{4\mathrm{hg}}}$

d)

Vi skal gjøre om fra km/t til m/s. $10$ km/t betyr at vi kjører $10$ km på $1$ time. Vi gjør om km til m og time til sekund: $1$ km $=1000$ m og $1$ time $=3600$ s.

$$10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{t}=\frac{10\cdot 1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}=\frac{10000}{3600}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx \mathrm{2,8}\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

$\underline{\underline{\mathrm{2,8}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$

Vi skal gjøre et overslag over volumet av kjeglen, og vi skal bruke at $\pi \approx 3$.

Diameteren i grunnflaten er $4$ meter, så radien er halvparten:

Høyden i kjeglen er $h=5$ m. Vi setter $r=2$, $h=5$ og $\pi \approx 3$ inn i formelen for volumet av en kjegle:

Volumet av kjeglen er altså omtrent $20{\mathrm{m}}^3$.

$\underline{\underline{V\approx 20{\mathrm{m}}^3}}$

Vi skriver alle tallene som vanlige desimaltall, slik at vi lettere kan sammenlikne dem.

$2\cdot {10}^{-1}$ betyr $2$ ganget med $\frac{1}{10}$, altså

${\displaystyle \frac{1}{10}}$ er det samme som

De to siste tallene er allerede skrevet som desimaltall: $\mathrm{0,250}$ og $\mathrm{0,14}$.

Nå sammenlikner vi de fire tallene:

Det minste av disse tallene er $\mathrm{0,1}$, som er det samme som ${\displaystyle \frac{1}{10}}$.

$\underline{\underline{{\displaystyle \frac{1}{10}}}}$

a)

For å finne medianen sorterer vi de ti tallene fra minst til størst:

$$0233345667$$

Det er ti tall, altså et partall. Da er medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene — det 5. og det 6. tallet i den sorterte lista. Det 5. tallet er $3$, og det 6. tallet er $4$:

$$\text{Median}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=\mathrm{3,5}$$

Medianen er altså $\mathrm{3,5}$ dager. Det betyr at halvparten av personene så mindre enn $\mathrm{3,5}$ dager på TV, og halvparten så mer.

b)

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger i datasettet. Vi teller hvor mange ganger hvert tall forekommer:

Tall	0	2	3	4	5	6	7
Antall ganger	1	1	3	1	1	2	1

Tallet $3$ forekommer flest ganger, hele tre ganger. Typetallet er derfor $3$ dager.

Vi legger sammen prisen på alle varene, litt om gangen:

Alle varene til sammen koster $\mathrm{157,70}\mathrm{kr}$.

Vi sammenligner med hvor mye penger som er igjen på kortet:

Siden $\mathrm{157,70}\mathrm{kr}$ er mindre enn $170\mathrm{kr}$, er det nok penger på kortet til å betale for alle varene. Det blir til og med $\mathrm{12,30}\mathrm{kr}$ igjen etter handelen.

Kuben er tegnet i ett-punkts perspektiv: forsida er tegnet som et vanlig kvadrat, mens linjene som går «innover» i bildet (dybdelinjene) egentlig er parallelle kanter på kuben. I perspektivtegning ser parallelle linjer ut til å møtes i ett felles punkt langt borte — forsvinningspunktet.

Slik finner vi det:

1. Finn de linjene på figuren som går skrått «innover» — dette er de tre kantene som viser dybden på kuben (kanten oppe til venstre, kanten oppe til høyre og kanten nede til høyre).
2. Legg linjalen langs én av disse linjene, og forleng den med blyant helt til den krysser horisontlinja.
3. Gjør det samme med de to andre dybdelinjene.
4. Fordi linjene egentlig er parallelle i virkeligheten, vil alle tre forlengede linjer møtes i samme punkt på horisontlinja. Dette punktet er forsvinningspunktet.

Figuren under viser metoden: de heltrukne, sorte linjene er kubens egne kanter, og de stiplede, røde linjene er forlengelsene som møtes i forsvinningspunktet på horisontlinja.

Vi bruker innsettingsmetoden. Først løser vi den første likningen med hensyn på $y$:

Altså er $y=2x+3$. Dette setter vi inn for $y$ i den andre likningen:

Nå løser vi likningen for $x$:

Til slutt setter vi $x=-1$ inn i uttrykket $y=2x+3$ for å finne $y$:

Kontroll: Vi setter $x=-1$ og $y=1$ inn i begge de opprinnelige likningene:

Løsningen av likningssettet er $x=-1$ og $y=1$.

Vi ser at $y$-aksen på diagrammet er brutt – det er en «hakk»-strek nederst på aksen, som betyr at den ikke starter på $0$. Aksen starter et sted rundt $700$ solgte biler, og skalaen viser bare verdiene mellom $705$ og $720$.

Vi leser av søylene:

• I 2006 ble det solgt omtrent $708$ biler.
• I 2007 ble det solgt omtrent $718$ biler.

Økningen er da

Det er en økning på om lag

Dette er langt fra en fordobling. Fordi $y$-aksen er brutt og bare viser et lite utsnitt av tallene, ser søylene ut til å være dobbelt så høye, selv om den virkelige økningen bare er på rundt $10$ biler av $708$. Bilselgeren gir derfor en misvisende tolkning av diagrammet – økningen er reell, men langt fra en fordobling.

$\underline{\underline{\text{Nei, bilselgerens påstand er ikke en rimelig tolkning av diagrammet.}}}$

Vi gjør om hver brøk til prosent ved å utvide brøken slik at nevneren blir $100$.

4 av 5:

3 av 4:

2 av 10:

6 av hvor mange er 60 %?

Vi vet at $60\%={\displaystyle \frac{60}{100}}={\displaystyle \frac{6}{10}}$, altså er $6$ av $10$ det samme som $60\%$.

Vi kan også sjekke dette ved å tenke: $6$ er $60\%$ av et tall $x$. Da må $6$ tilsvare $6$ tideler av $x$, siden $60\%=\frac{6}{10}$. Det gir $x=10$.

$\underline{\underline{80\%,75\%,20\%,6\text{ av }10}}$

Vi ser på hver situasjon for seg og finner ut hva slags graf den må gi: rett linje som stiger, rett linje som synker, eller en kurve som bøyer.

Situasjon 1 – folketall i Fossefjell kommune

Folketallet er $9000$ i dag og synker med $150$ innbyggere hvert år. Det betyr at folketallet minker med samme antall hvert år, altså en rett linje som synker jevnt, og som starter høyt oppe på $y$-aksen (ved $x=0$). Det passer med graf $C$, som er en rett linje som starter høyt og synker jevnt. (Graf $F$ synker også, men den bøyer seg – det passer ikke med en jevn nedgang på $150$ per år.)

Situasjon 2 – Enoks inntekt som jordbærplukker

Enok tjener $10$ kr per kurv, så inntekten er $10$ kr ganger antall kurver. Det er en rett linje som starter i origo (ingen kurver gir ingen inntekt) og stiger jevnt. Det passer med graf $D$. (Graf $A$ starter også i origo, men den bøyer oppover og stiger raskere og raskere – det passer ikke med en fast pris per kurv.)

Situasjon 3 – arealet av et kvadrat

Arealet av et kvadrat med side $x$ er $x^2$. Når $x$ blir dobbelt så stor, blir arealet fire ganger så stort – grafen bøyer seg og stiger raskere og raskere. Det passer med graf $A$, som starter i origo og krummer oppover.

Situasjon 4 – ballen som kastes rett opp

Høyden er gitt ved $-\mathrm{4,9}{x}^2+12x+\mathrm{1,8}$. Ved $x=0$ er høyden $\mathrm{1,8}\mathrm{m}$, altså litt over $0$ – ballen starter ikke i origo. Deretter stiger den til den når toppunktet sitt (etter litt over eitt sekund), og faller så ned igjen mot bakken. Dette gir en kurve som ligner et fjell, med toppunkt tidlig og som treffer $y=0$ igjen etter litt under $3$ sekunder. Det passer med graf $E$. (Graf $B$ har også et toppunkt, men den starter i $y=0$ og strekker seg helt til $x=10$ – det passer ikke med at ballen treffer bakken etter kort tid.)

$\underline{\underline{\text{Situasjon 1: graf }C,\text{Situasjon 2: graf }D,\text{Situasjon 3: graf }A,\text{Situasjon 4: graf }E}}$

Målestokken $1:50000$ betyr at $1\mathrm{cm}$ på kartet svarer til $50000\mathrm{cm}$ i virkeligheten.

Avstanden på kartet er $6\mathrm{cm}$. Da må vi gange med $50000$ for å finne den virkelige avstanden:

Vi gjør om til meter ved å dele på $100$, og deretter til kilometer ved å dele på $1000$:

Det er altså om lag $3\mathrm{km}$ mellom fjelltoppene i luftlinje.

$\underline{\underline{3\mathrm{km}}}$

Vi ser nøye på tegningen og kjenner igjen de kjente geometriske figurene den er satt sammen av.

Trapes. Den øverste linjen i figuren ($DC$, som fortsetter til $G$) er parallell med den nederste linjen ($AB$), men de to linjene har ulik lengde. Hele figuren har derfor grunnform som et trapes.

Rektangel. I midten av figuren, mellom punktene $D$, $C$, $B$ og $F$, er det et rektangel. Vi ser det på de rette vinklene som er markert i $D$ og $C$.

Trekant. Det er to trekanter i figuren:

• $△AFE$ til venstre, med en rett vinkel i $F$ og en vinkel på $45°$ i $A$.
• $△BCG$ til høyre, med en rett vinkel i $C$ og en vinkel på $30°$ i $B$.

Halvsirkel. Ytterst til høyre er det en halvsirkel, med linjestykket $BG$ som diameter.