Volum av tønne ved integrasjon

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tønne med mål

En tønne er 75 cm høy. Diameteren i bunnen og toppen er 45 cm. Den største diameteren er 52 cm.

Siden i tønnen fra toppen til bunnen er formet som en parabel.

Bruk blant annet integrasjon til å bestemme volumet av tønnen.

Fasit

$V \approx 145 562 {cm}^{3} \approx 145,6 L$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp et koordinatsystem med $z = 0$ i midten av tønna, slik at tønna strekker seg fra $z = - 37,5$ til $z = 37,5 cm$ (høyde 75 cm).

Modell for radiusfunksjonen

Siden tønna er symmetrisk og siden er formet som en parabel, velger vi

r (z) = 26 + a \cdot z^{2}

der $r (0) = 26 cm$ (største radius, diameter 52 cm).

Randbetingelse: $r (\pm 37,5) = 22,5 cm$ (radius i bunn/topp, diameter 45 cm):

22,5 = 26 + a \cdot {37,5}^{2}

a = \frac{22,5 - 26}{{37,5}^{2}} = \frac{- 3,5}{1406,25} = - \frac{7}{2812,5} \approx - 0,00249

Volumet som omdreiningslegeme

Tønnen dannes ved å dreie kurven $r (z)$ om $z$ -aksen. Volumet er:

V = π \int_{- 37,5}^{37,5} [r (z)]^{2} d z

Beregning i GeoGebra CAS

a := -7/2812.5
r(z) := 26 + a*z^2
V := pi * Integral(r(z)^2, z, -37.5, 37.5)

GeoGebra CAS-utregning av volumet

GeoGebra gir $V \approx 145 561,77 {cm}^{3}$ .

Svar: Volumet av tønnen er $V \approx 145 562 {cm}^{3} \approx 145,6 L$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 2 poeng for å finne en funksjon som kan brukes til å bestemme volumet. Det gis i tillegg 1 poeng for å velge rett strategi med rett integral og i tillegg 1 poeng for å regne ut dette integralet rett.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Volum, Omdreiningslegeme
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Volum av tønne ved integrasjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Volum av tønne ved integrasjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Volum av tønne ved integrasjon

Volum av tønne ved integrasjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer