Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2}, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonen av den deriverte er

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi setter inn $f (x) = x^{2}$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}

Vi utvider parentesen ${(x + h)}^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - x^{2}}{h}

Leddene $x^{2}$ og $- x^{2}$ kansellerer:

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h}

Vi forkorter med $h$ (siden $h \neq 0$ i grenseverdien):

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h)

Når $h \to 0$ , går $2 x + h \to 2 x$ . Dermed er

f^{'} (x) = 2 x

som skulle vises.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2013, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi

Innstillinger