Vektorprodukt og areal av trekant ABC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt vektorene $\vec{a}$ , $\vec{b}$ og $\vec{c}$ . Ingen av vektorene er $\vec{0}$ .

Forklar hvordan vektorene ligger i forhold til hverandre

når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

når $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$

når $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Bruk definisjonen av $\vec{a} \cdot \vec{b}$ og $\vec{a} \times \vec{b}$ til å vise

(\vec{a} \times \vec{b})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2

Skisse 1 viser en trekant utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Skisse 1: trekant utspent av vektorene a og b med areal F

Forklar at arealet $F$ av trekanten er

F = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}

Kommenter hvert av de to tilfellene $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ og $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ .

Skisse 2: trekant ABC med A(1, 1, 1), B(2, 3, 4) og C(3, 1, 5)

Bruk uttrykket i oppgave c) til å regne ut arealet av $\triangle ABC$ i skisse 2.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter