Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (- 2, - 1)$ , $B (- 1, - 3)$ , $C (3, - 1)$ og $D (t, t^{2} + 2)$ er gitt, der $t \in ℝ$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{B C}$ .

Bruk vektorregning til å vise at $\vec{A B} ⟂ \vec{B C}$ .

Bestem $t$ slik at $\vec{C D} ∥ \vec{A B}$ .

Fasit

$\vec{A B} = (1, - 2), \vec{B C} = (4, 2)$

$\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0 \Rightarrow \vec{A B} ⟂ \vec{B C}$

$t = - 3 eller t = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vektoren mellom to punkter finner vi ved å trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til endepunktet:

\vec{A B} = B - A = (- 1 - (- 2), - 3 - (- 1)) = (1, - 2)

\vec{B C} = C - B = (3 - (- 1), - 1 - (- 3)) = (4, 2)

To vektorer er vinkelrette hvis prikkproduktet er null. Vi bruker vektorene fra a):

\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 1 \cdot 4 + (- 2) \cdot 2 = 4 - 4 = 0

Siden prikkproduktet er $0$ , er $\vec{A B} ⟂ \vec{B C}$ .

Vi finner først $\vec{C D}$ :

\vec{C D} = D - C = (t - 3, t^{2} + 2 - (- 1)) = (t - 3, t^{2} + 3)

To vektorer $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ er parallelle når $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ . Med $\vec{C D} = (t - 3, t^{2} + 3)$ og $\vec{A B} = (1, - 2)$ får vi:

(t - 3) \cdot (- 2) - (t^{2} + 3) \cdot 1 = 0

- 2 t + 6 - t^{2} - 3 = 0

- t^{2} - 2 t + 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0

Vi faktoriserer eller bruker abc-formelen, og finner:

(t + 3) (t - 1) = 0 \Rightarrow t = - 3 \lor t = 1

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2018, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri

Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Vektorer og vinkelrett betingelse med punkter

Lov på eksamen

Temaer