Vektorer i firkant ABCD

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkanten $A B C D$ er gitt ved $A (- 2, 1)$ , $B (2, - 1)$ , $C (4, 2)$ og $D (t, 3)$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{B C}$ .

Avgjør om $\vec{A B} ⟂ \vec{B C}$ .

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $\vec{A B} ⟂ \vec{A D}$ .

For hvilke verdier av $t$ er firkanten $A B C D$ et trapes?

Fasit

$\vec{A B} = (4, - 2), \vec{B C} = (2, 3)$

$\vec{A B} ⟂̸ \vec{B C}$

$t = - 1$

$t = 2 eller t = - \frac{2}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

\vec{A B} = B - A = (2 - (- 2), - 1 - 1) = (4, - 2)

\vec{B C} = C - B = (4 - 2, 2 - (- 1)) = (2, 3)

To vektorer er ortogonale hvis skalarproduktet er null.

\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 4 \cdot 2 + (- 2) \cdot 3 = 8 - 6 = 2

Siden skalarproduktet er ulik null, er $\vec{A B}$ og $\vec{B C}$ ikke ortogonale.

Vi finner $\vec{A D} = D - A = (t - (- 2), 3 - 1) = (t + 2, 2)$ .

Kravet $\vec{A B} ⟂ \vec{A D}$ gir $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ .

4 (t + 2) + (- 2) \cdot 2 = 0

4 t + 8 - 4 = 0 \Rightarrow 4 t + 4 = 0 \Rightarrow t = - 1

$A B C D$ er et trapes dersom ett par av motstående sider er parallelle, altså $\vec{A B} ∥ \vec{D C}$ eller $\vec{B C} ∥ \vec{A D}$ . To vektorer $(x_{1}, y_{1})$ og $(x_{2}, y_{2})$ er parallelle når $x_{1} y_{2} - y_{1} x_{2} = 0$ .

Vi finner $\vec{D C} = C - D = (4 - t, - 1)$ og bruker $\vec{A B} = (4, - 2)$ :

4 \cdot (- 1) - (- 2) (4 - t) = 0

- 4 + 8 - 2 t = 0 \Rightarrow 4 - 2 t = 0 \Rightarrow t = 2

Vi sjekker så $\vec{B C} ∥ \vec{A D}$ , med $\vec{B C} = (2,3)$ og $\vec{A D} = (t + 2, 2)$ :

2 \cdot 2 - 3 (t + 2) = 0

4 - 3 t - 6 = 0 \Rightarrow - 3 t - 2 = 0 \Rightarrow t = - \frac{2}{3}

Begge verdiene gir et gyldig trapes (ingen av dem gjør firkanten til et parallellogram).

t = 2 eller t = - \frac{2}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2019, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri

Vektorer i firkant ABCD

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer i firkant ABCD

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer i firkant ABCD

Vektorer i firkant ABCD

Lov på eksamen

Temaer