Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $V$ er gitt ved

V(x) = 0{,}064x^4 - 2{,}41x^3 + 28{,}4x^2 - 105x + 39 \qquad , \qquad 0 \le x \le 18

viser vannstanden $V(x)$ centimeter over eller under middelvann $x$ timer etter midnatt i Tromsø en dag.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$ .

Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.

Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00.

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf nedenfor.

$V(1) \approx -40 \, \mathrm{cm}$ (40 cm under middelvann), $V(12) \approx 31 \, \mathrm{cm}$ (31 cm over middelvann).

$\underline{\underline{141{,}2 \, \mathrm{cm}}}$

$\underline{\underline{V'(7) \approx 26{,}1 \, \mathrm{cm/time}}}$ — vannstanden stiger med ca. 26,1 cm per time kl. 07.00.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til $V(x) = 0{,}064x^4 - 2{,}41x^3 + 28{,}4x^2 - 105x + 39$ for $0 \le x \le 18$ .

Grafen viser bunnpunkter (røde), toppunkt (grønt) og tangenten i $x = 7$ (oransje).

Graf over vannstand i Tromsø

Vi setter inn $x = 1$ og $x = 12$ i funksjonsuttrykket.

Én time etter midnatt ( $x = 1$ ):

V(1) = 0{,}064 \cdot 1^4 - 2{,}41 \cdot 1^3 + 28{,}4 \cdot 1^2 - 105 \cdot 1 + 39

= 0{,}064 - 2{,}41 + 28{,}4 - 105 + 39 = -39{,}946 \approx -40

$\mathbf{V(1) \approx -40}$ , altså er vannstanden ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt.

Tolv timer etter midnatt ( $x = 12$ ):

V(12) = 0{,}064 \cdot 12^4 - 2{,}41 \cdot 12^3 + 28{,}4 \cdot 12^2 - 105 \cdot 12 + 39

= 0{,}064 \cdot 20736 - 2{,}41 \cdot 1728 + 28{,}4 \cdot 144 - 1260 + 39

= 1327{,}1 - 4164{,}5 + 4089{,}6 - 1260 + 39 = 31{,}2 \approx 31

$\mathbf{V(12) \approx 31}$ , altså er vannstanden ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.

Vi bruker GeoGebra til å finne høyeste og laveste vannstand i perioden $0 \le x \le 18$ .

Fra grafen og GeoGebra-beregninger finner vi:

Høyeste vannstand (toppunkt): $V \approx 59{,}7 \, \mathrm{cm}$ ved $x \approx 9{,}6$ (ca. kl. 09.36)
Laveste vannstand (bunnpunkt): $V \approx -81{,}5 \, \mathrm{cm}$ ved $x \approx 2{,}7$ (ca. kl. 02.40)

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand:

59{,}7 - (-81{,}5) = 141{,}2 \, \mathrm{cm}

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er $\underline{\underline{141{,}2 \, \mathrm{cm}}}$ .

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $V'(7)$ .

Vi deriverer $V(x)$ :

V'(x) = 4 \cdot 0{,}064x^3 - 3 \cdot 2{,}41x^2 + 2 \cdot 28{,}4x - 105

V'(x) = 0{,}256x^3 - 7{,}23x^2 + 56{,}8x - 105

Vi setter inn $x = 7$ :

V'(7) = 0{,}256 \cdot 7^3 - 7{,}23 \cdot 7^2 + 56{,}8 \cdot 7 - 105

= 0{,}256 \cdot 343 - 7{,}23 \cdot 49 + 397{,}6 - 105

= 87{,}808 - 354{,}27 + 397{,}6 - 105 = 26{,}138 \approx 26{,}1

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $\underline{\underline{V'(7) \approx 26{,}1 \, \mathrm{cm/time}}}$ .

Praktisk tolkning: Akkurat klokken 07.00 stiger vannstanden med ca. 26,1 cm per time. Vannstanden øker altså raskt på dette tidspunktet (det er flo på vei inn).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Modellering, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning

Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Sync på tvers av enheter

Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave