Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{u}{v}

der $u$ og $v$ er funksjoner av $x$ . Vi antar i denne oppgaven at $u > 0$ og $v > 0$ .

Logaritmeregelen for en brøk gir $\ln (f (x)) = \ln u - \ln v$

For hånd

Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ${(\ln f (x))}^{'}$ uttrykt ved $u$ , $v$ , $u^{'}$ og $v^{'}$ .

For hånd

Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Fasit

${(\ln f (x))}^{'} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}$

$f^{'} (x) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f (x) = \frac{u}{v}$ , og logaritmeregelen for en brøk gir

\ln (f (x)) = \ln u - \ln v

Vi deriverer begge sider. På venstre side bruker vi kjerneregelen, siden $f (x)$ er en funksjon av $x$ :

\frac{d}{d x} [\ln (f (x))] = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}

På høyre side deriverer vi $\ln u$ og $\ln v$ , der $u$ og $v$ også er funksjoner av $x$ (kjerneregelen gir $u^{'} / u$ og $v^{'} / v$ ):

\frac{d}{d x} [\ln u - \ln v] = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

Siden venstre og høyre side er like, får vi

{(\ln f (x))}^{'} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

GeoGebra CAS bekrefter dette resultatet (linje 1 i utklippet):

Verifisering av logaritmederivasjon og kvotientregel

Fra a) vet vi at ${(\ln f (x))}^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ , altså

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

Vi multipliserer begge sider med $f (x) = \frac{u}{v}$ for å isolere $f^{'} (x)$ :

f^{'} (x) = \frac{u}{v} \cdot (\frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}) = \frac{u}{v} \cdot \frac{u^{'}}{u} - \frac{u}{v} \cdot \frac{v^{'}}{v}

Vi forkorter i det første leddet ( $u$ mot $u$ ) og setter det andre leddet på fellesnevner $v^{2}$ :

f^{'} (x) = \frac{u^{'}}{v} - \frac{u v^{'}}{v^{2}} = \frac{u^{'} v}{v^{2}} - \frac{u v^{'}}{v^{2}} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Dette er kvotientregelen. GeoGebra CAS bekrefter samme uttrykk ved å derivere $\frac{u (x)}{v (x)}$ direkte (linje 2 i utklippet ovenfor).

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Bevis, Kjerneregelen

Innstillinger