Rekken

er geometrisk med første ledd $a_1=1$ og kvotient

(hvert ledd fremkommer ved å multiplisere forrige ledd med $-2x$). En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$:

$\underline{\underline{x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}⟩}}$

For $x$ i konvergensområdet er summen av rekken

Vi ser hvilke verdier $S(x)$ kan anta når $x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}⟩$. Siden $S$ er en avtagende funksjon av $x$ (nevneren $1+2x$ er voksende), er $S$ størst når $x$ er nærmest $-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ og minst når $x$ er nærmest ${\displaystyle \frac{1}{2}}$:

• Når $x\to -{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}$, går $1+2x\to 0^{+}$, så $S(x)\to +\infty$.
• Når $x\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{-}$, går $1+2x\to 2^{-}$, så $S(x)\to {{\displaystyle \frac{1}{2}}}^{+}$.

Siden endepunktene ikke er med i konvergensområdet, antar $S(x)$ alle verdier i det åpne intervallet $⟨{\displaystyle \frac{1}{2}},\infty ⟩$. Likningen $S(x)=a$ har dermed en løsning nøyaktig når

$\underline{\underline{a>{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$