Rekken $a_1+a_2+a_3+\cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med kvotient $k={\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}$. Siden rekken er konvergent, er summen gitt ved

Vi setter inn $k={\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}$:

Q.E.D.

Trekanten $ABC$ er rettvinklet og likebeint med kateter $12$. Kvadratet inntil hjørnet $B$ har side $6$, og hvert påfølgende kvadrat (oppover mot $C$) har halvparten så lang side som det forrige. Siden arealet av et kvadrat er proporsjonalt med kvadratet av siden, blir arealene til kvadratene en geometrisk rekke med kvotient

Det første kvadratet har areal $a_1=6^2=36$, det neste $a_2=3^2=9$. Med formelen fra a):

Se utregning i GeoGebra CAS (Kvadratsum):

Summen av arealene til kvadratene er $\underline{\underline{S=48}}$.

Det første (og største) av de grønne trekantene har hjørne i $A$. Kvadratet med side $6$ ligger inntil $B$ langs $AB$, slik at det gjenstår en strekning $12-6=6$ fra $A$ til kvadratets nærmeste hjørne. Den grønne trekanten er dermed rettvinklet og likebeint med begge kateter $6$, og har areal

Hele konstruksjonen (kvadrat + grønn trekant + gjenværende trekant) gjentar seg i den mindre, gjenværende trekanten øverst, som er formlik med $△ABC$ med skala $\frac{1}{2}$. Dermed halveres kateten i den grønne trekanten for hver gang, og arealene til de grønne trekantene danner en geometrisk rekke med samme kvotient som for kvadratene:

Det andre leddet blir $a_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 3=\mathrm{4,5}$. Med formelen fra a):

Se utregning i GeoGebra CAS (Trekantsum) i samme utklipp som over.

Summen av arealene til de grønne trekantene er $\underline{\underline{S=24}}$.

For hver runde i konstruksjonen dekkes trekanten $△ABC$ av ett kvadrat, én grønn trekant og en ny, mindre trekant som er formlik med $△ABC$ (skalert med $\frac{1}{2}$ i lengde, altså $\frac{1}{4}$ i areal). Etter uendelig mange runder krymper den gjenværende ufargede trekanten mot areal $0$, slik at kvadratene og de grønne trekantene til sammen dekker hele $△ABC$:

Dette stemmer med svarene i b) og c), siden $48+24=72$ (se ArealABC i CAS-utklippet).

Alternativt kan man bruke selvlikheten direkte: siden den gjenværende trekanten etter første runde er en skalert kopi av $△ABC$ (skala $\frac{1}{4}$ i areal), må totalsummen $X$ av kvadratarealene tilfredsstille

og tilsvarende for de grønne trekantene, $Y=18+\frac{1}{4}Y\Rightarrow Y=24$ — samme svar som i b) og c), men funnet uten å bruke summeformelen for en geometrisk rekke direkte.