Rekken

er en $\text{uendelig geometrisk rekke}$. Hvert nytt ledd finner vi ved å multiplisere det forrige leddet med samme faktor:

Vi sjekker at forholdet mellom ledd 3 og ledd 2 er det samme:

Siden forholdet mellom påfølgende ledd er konstant lik $k={\displaystyle \frac{1}{x}}$, er dette en geometrisk rekke med $a_1=2$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

En uendelig geometrisk rekke konvergerer (har en endelig sum) når kvotienten oppfyller $|k|<1$. Her er $k={\displaystyle \frac{1}{x}}$, så vi må ha

Dette betyr at $|x|>1$, altså

Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er gitt ved

Med $a_1=2$ og $k={\displaystyle \frac{1}{x}}$ får vi

som er det vi skulle vise. $■$

Grafen til $S(x)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$ er tegnet i GeoGebra, sammen med hjelpelinjene $y=-1$ (rød) og $y=3$ (grønn) som brukes i deloppgave e). Funksjonen har en vertikal asymptote i $x=1$ og en horisontal asymptote i $y=2$.

Løser $S(x)=-1$:

Dette stemmer med skjæringspunktet mellom grafen og den røde linja $y=-1$ i figuren over. Men $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ligger ikke i konvergensområdet fra b) ($x<-1$ eller $x>1$). Rekken er da ikke konvergent for denne $x$-verdien, så

Løser $S(x)=3$:

Dette stemmer med skjæringspunktet mellom grafen og den grønne linja $y=3$ i figuren over. Siden $x=3>1$, ligger løsningen i konvergensområdet, så