Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{4} - x^{2}) d x

\int 4 x \cdot e^{- x^{2}} d x

\int \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3} d x

Fasit

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

$- 2 e^{- x^{2}} + C$

$\ln | \frac{x - 3}{x + 1} | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int (x^{4} - x^{2}) d x = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C

Vi substituerer $u = - x^{2}$ , som gir $d u = - 2 x d x$ , altså $4 x d x = - 2 d u$ .

\int 4 x \cdot e^{- x^{2}} d x = \int - 2 e^{u} d u = - 2 e^{u} + C = - 2 e^{- x^{2}} + C

Vi faktoriserer nevneren: $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , og spalter i partialbrøker.

\frac{4}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}

4 = A (x + 1) + B (x - 3)

Setter $x = 3$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$ . Setter $x = - 1$ : $4 = - 4 B \Rightarrow B = - 1$ . Dermed

\int \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3} d x = \int (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1}) d x = \ln | x - 3 | - \ln | x + 1 | + C = \ln | \frac{x - 3}{x + 1} | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Substitusjon

Innstillinger