Trigonometri med arealsetning og cosinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likesidet trekant med sidelengder 2

Bruk den likesidede trekanten ovenfor til å vise at $\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$

Gitt en trekant $A B C$ der $A B = 10$ , $A C = 6$ og $∠ A = 30 °$

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $P Q R$ der $P Q = 8$ , $P R = 3$ og $∠ P = 60 °$

Bestem lengden av siden $Q R$ .

Fasit

$\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ (vist ved halvering av likesidet trekant)

Areal $= 15$

$Q R = 7$

LøsningsforslagKI-generert

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

hypotenus $= 2$
kort katet $= 1$ (halvparten av bunnsiden)
lang katet $= \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$

Vinklene i den rettvinklede trekanten er $30 °$ , $60 °$ og $90 °$ .

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

\sin 30 ° = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{1}{2}

\cos 60 ° = \frac{hosliggende katet}{hypotenus} = \frac{1}{2}

Dermed er $\sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ .

Vi bruker arealsetningen:

T = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin A

T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30 ° = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 15

Vi bruker cosinussetningen:

Q R^{2} = P Q^{2} + P R^{2} - 2 \cdot P Q \cdot P R \cdot \cos P

Q R^{2} = 8^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60 °

Q R^{2} = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49

Q R = \sqrt{49} = 7

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som setter opp riktige uttrykk for sinus og cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, kan få 1 poeng. For å få full uttelling, må det gå tydelig fram hvordan den likesidede trekanten er brukt.

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut arealet, kan få 1 poeng.

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke regner ut lengden av $Q R$ , kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2025, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Trigonometri med arealsetning og cosinus

Lov på eksamen

Temaer