Trekanttall og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall kan illustreres som antall golfballer som danner en trekanttall. Figuren nedenfor viser de tre første trekanttallene $a_{1}$ , $a_{2}$ og $a_{3}$ .

De tre første trekanttallene illustrert med golfballer

$S_{n}$ er summen av de $n$ første trekanttallene.

For hånd

Skriv opp de fem første trekanttallene $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , $a_{4}$ og $a_{5}$ og de fem første summene $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og $S_{5}$ .

For hånd

Forklar at $a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ . Bruk dette til å vise at $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Krever PC

Bruk regresjon på de fem første summene $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og $S_{5}$ til å finne et tredjegradsuttrykk for $S_{n}$ . Vis at tredjegradsuttrykket er en tilnærming av

S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

Resultatet ovenfor gjelder i prinsippet bare for de fem første summene $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og $S_{5}$ . Vi ønsker å undersøke om formelen gjelder for alle $n$ -verdier. Da må vi gjennomføre et matematisk bevis.

For hånd

Bruk induksjon til å bevise at formelen $S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$ er riktig.

Fasit

$a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 6, a_{4} = 10, a_{5} = 15$ og $S_{1} = 1, S_{2} = 4, S_{3} = 10, S_{4} = 20, S_{5} = 35$

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

$S_{n} \approx 0,16667 n^{3} + 0,5 n^{2} + 0,33333 n$ , som tilsvarer $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$

Bevist ved induksjon

LøsningsforslagKI-generert

Trekanttallene bygges opp ved at hvert nytt tall legger til én rad flere golfballer enn forrige tall. Vi teller $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 3$ , $a_{3} = 6$ , og fortsetter mønsteret:

a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{3} = 6, a_{4} = 10, a_{5} = 15

$S_{n}$ er summen av de $n$ første trekanttallene:

S_{1} = 1

S_{2} = 1 + 3 = 4

S_{3} = 4 + 6 = 10

S_{4} = 10 + 10 = 20

S_{5} = 20 + 15 = 35

Ser vi på figuren, ser vi at trekanttall nummer $n$ består av $n$ rader, der rad $k$ inneholder $k$ golfballer ( $k = 1, 2, \dots, n$ ). Derfor er

a_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n

Dette er en aritmetisk rekke med $n$ ledd, første ledd $a_{1} = 1$ og siste ledd $n$ . Summen av en aritmetisk rekke er

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Setter vi inn $a_{1} = 1$ og siste ledd $= n$ , får vi

a_{n} = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n (n + 1)}{2}

$a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

Vi kjører kubisk regresjon (FitPoly med grad 3) på punktene $(1, S_{1}), (2, S_{2}), (3, S_{3}), (4, S_{4}), (5, S_{5})$ , altså $(1,1), (2,4), (3,10), (4,20), (5,35)$ , i GeoGebra CAS.

Kubisk regresjon på S_n

Regresjonen gir

S_{n} \approx 0,16667 n^{3} + 0,5 n^{2} + 0,33333 n

Vi sammenligner koeffisientene med desimaltilnærmingene til brøkene $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{2}$ og $\frac{1}{3}$ :

\frac{1}{6} \approx 0,16667, \frac{1}{2} = 0,5, \frac{1}{3} \approx 0,33333

Dette gir mistanke om at

S_{n} = \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{3} n

Vi utvider $\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}$ for å bekrefte at dette stemmer:

\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} = \frac{n (n^{2} + 3 n + 2)}{6} = \frac{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n}{6} = \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{3} n

Dette stemmer nøyaktig overens med regresjonsuttrykket. Regresjonen viser altså at

S_{n} \approx \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

Vi skal bevise ved induksjon at

S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

gjelder for alle naturlige tall $n \geq 1$ .

Steg 1: Vis at påstanden er sann for $n = 1$ .

Venstre side: $S_{1} = 1$ .

Høyre side: $\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .

Siden venstre side er lik høyre side, er påstanden sann for $n = 1$ .

Steg 2: Anta at påstanden er sann for $n = k$ (induksjonsantagelsen), og vis at den da også er sann for $n = k + 1$ .

Induksjonsantagelsen:

S_{k} = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{6}

Vi skal vise at

S_{k + 1} = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{6}

Per definisjon er $S_{k + 1} = S_{k} + a_{k + 1}$ , der $a_{k + 1} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}$ (fra b). Vi bruker induksjonsantagelsen:

S_{k + 1} = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{6} + \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

Vi setter $(k + 1) (k + 2)$ utenfor parentes med felles nevner $6$ :

S_{k + 1} = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{6} + \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{6} = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{6}

S_{k + 1} = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{6}

Dette er nøyaktig det vi skulle vise. Dermed er påstanden sann for $n = k + 1$ når den er sann for $n = k$ .

Konklusjon. Siden påstanden er sann for $n = 1$ , og siden sannhet for $n = k$ medfører sannhet for $n = k + 1$ , er påstanden

S_{n} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

sann for alle naturlige tall $n \geq 1$ ved induksjonsprinsippet. $■$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Tallfølger, Rekker, Induksjon, Bevis

Trekanttall og induksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekanttall og induksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekanttall og induksjon

Trekanttall og induksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer